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函数图象过定点的研究复习讲义
知识理解与构建
有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数解析式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y=kx+b(k≠0),当b确定时,无论k取不等于0的任何值,它总过定点(0,b);抛物线 0)，当c确定时，无论a，b取何值，它总过定点(0，c).有些特别的含参函数在研究过程中只需要把代数式变形整理，使得含字母的项组合为一组，赋值为零，即可求出自变量值，而后代入函数解析式，求得相对应的函数值，即得定点的坐标.
归纳基本的解题步骤：
1.将含有变系数的项集中；
2.将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；
3.令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化都“失效”了)；
4.解此方程，得到x的值x (定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，可得到一个y的值y (定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x ，y )；
5.反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.
方法剖析与提炼
例 1 求证：抛物线 过定点，并求出定点的坐标.
【解答】整理抛物线的解析式，得：
上式中令 =0,得.x =_,x =
将它们分别代入 解得 把点(-1,4),(2,7)分别代入 ，无论k取何值，等式总成立，即点 ， 总在抛物线. +(k-2)x+2k--1(k≠3)上,即抛物线 (k-2)x+2k-1(k≠3)过定点(--1,4),(2,7).
【解析】因为不论k取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k前面的系数化为零，从而得到此题的解法.另外，此题也可以任意取两个k的值，然后列方程组求解.
【解法】代数式恒等变形.解一元二次方程.
【解释】对于函数图象过定点的问题，需要对函数解析式进行变形，令参数的系数为零，从而构建方程来解决.
例2 (北京市西城区)无论m为任何实数，二次函数 的图象总过的点是( )
A.(1,3) B.(1,0)
【解答】解法一(特殊值法)：任意给m赋予两个特殊值，不妨设 和 .则 函 数 解 析 式 变 为: ,
联立方程组 解得 .
把 代入 中，无论 m为何值，等式总成立.
所以，抛物线群 中所有的抛物线恒经过定点(1，3).
故应选 A.
定点坐标与m的值无关，即关于 m 的一元一次方程 有无数解.
所以，无论m为何值时， 恒满足①式，故该二次函数的图象恒过定点(1，3).
故应选 A.
【解析】抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点.定点坐标与m的值无关，即关于m的一元一次方程( 有无数解.
【解法】代数式恒等变形.解一元二次方程.主元法.特殊值法.
【解释】图象总过定点说明函数的取值与 m的取值无关，所以把m看成元，其余看成常数，进行重新化简整合，含m项的系数为0得到关于x，y的方程(组)并求解.另一种思考就是m取不同的值得到不同的函数解析式，求出公共点.
例3 已知二次函数的顶点坐标为 与y轴的交点为( ，其顶点恰好在直线 上(其中m,n为正数).
(1)求证：此二次函数的图象与x 轴有 2个交点；
(2)在x轴上是否存在这样的定点：不论m，n如何变化，二次函数的图象总通过此定点 若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)把 代入 得 整理得 n=0.
或m=-1(舍去)，∴二次函数的顶点坐标为 ，与y轴的交点为 .∵m为 数，∴二次函数的顶点在第 象限，而抛物线过原点，∴抛物线开口向上，∴此二次函数的图象与x轴有2个交点.
(2)存在.∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，即不论m，n如何变化，二次函数的图象总通过点( 和(0.0).
【解析】(1)把二次函数顶点坐标代入 得 整理后利用因式分解得到(m-n)(m+1)=0,则m=n或m=--1(合去),于是二次函数的顶点坐标为 与 y轴的交点为(0，0)，由m 为正数可判断二次函数的顶点在第三象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；
(2)由(1)得到抛物线的对称轴为直线 抛物线与 x轴的一个交点坐标为(0，0)，利用对称性得到抛物线与 x轴的另一个交点坐标为(-1，0).
【解法】代入法.解一元二次方程.二次函数的性质.
【解释】解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.
能力训练与拓展
1.无论 m为何实数，二次函数 的图象总是过定点( )
A.(1,3) B.(1,0)
2.对于关于x的二次函数 下列说法正确的个数有( )
①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为 ；③当a>0时，函数在x<1时，y随x 的增大而减小；④当a<0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于 2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.某数学兴趣小组的同学在研究二次函数 的图象时发现，随着m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个定点的坐标： .
4.二次函数 满足b—c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是
5.无论 m为何实数，二次函数 的图象总是过定点 .
6.已知一个二次函数具有以下性质：①图象不经过三、四象限；②点(2.1)在函数的图象上；③当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： .
7.证明：无论m为何值，函数y=mx-(4m -3)图象恒过定点.并求出该定点坐标.
8.已知函数 m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
9.已知关于x的方程
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
(2)当抛物线 图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a,y ),Q(1,y )是此抛物线上的两点,且. 请结合函数图象确定实数a的取值范围；
(3)已知抛物线 恒过定点，求出定点坐标.

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