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相似三角形的存在性复习讲义
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.
1.应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.
2.判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：(1)寻找一组等角，(2)分两种情况列比例方程，(3)解方程并检验.
3.应用判应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组).
需要注意的问题：
1. 若题目中问题为△ABC∽△DEF，则对应线段已经确定。
2.若题目中为△ABC和(与)△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：
①△ABC∽△DEF; ②△ABC∽△EFD; ③△ABC∽△FDE.
3. 若题目中为△ABC和(与)△DEF相似、并且有∠A=∠D(或为 ，则确定了一条对应的线段，此时有二种情况: ①△ABC∽△DEF; ②△ABC∽△DFE
需要分类讨论上述的各种情况.
(一)以判定定理1作为解题依据
【例1】如图，抛物线 经过A(-3,0), B(1,0), C(0,3)三点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，D 为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与 相似 若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1) 把A(-3,0), B(1,0), C(0,3)代入抛物线解析式 得 解得 所以抛物线的函数表达式为
(2)如图, 过D点作DF 垂直x轴于F点, 过A 点作AE垂直BC于E 点,
另抛物线2x+3的顶点
又∵A(-3,0), ∴直线AD为y=2x+6, AF=2, DF=4, tan∠DAB=2,∵B(1,0), C(0,3),
直线BC解析式为y=-3x+3.
∴使得以M， A，O为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如图
Ⅰ. 当∠AOM =∠CAB=45°时, △ABC∽△OMA, 即OM 为y=-x,
设OM 与AD的交点M(x,y), 依题意得: 解得 即M 点为(-2,2).
Ⅱ. 若∠AOM=∠CBA, 即OM∥BC,
∵直线BC解析式为y=-3x+3. ∴直线OM 为y=-3x,
设直线OM 与AD的交点 M(x,y).
则依题意得： 解得 即M 点为
综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为(-2，2)或
(二)以判定定理2作为解题依据
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线 ，经过点A 和x轴正半轴上的点B, AO=OB=2, ∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)连接OM, 求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标。
【简答】
因此当点C在点 B 右侧时, 所以. 和 相似存在两种情况：①当 时, 此时点 C坐标为(4, 0)
②当 时, 此时点 C坐标为(8, 0)
(三)以判定定理3作为解题依据
【例3】如图，二次函数 的图象经过点A(1，a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D，在y轴上取一点 C(0, 2), 直线AC交抛物线于点 B, 连结OA、OB、OC、BD, 求坐标平面内使 的点E的坐标。
∴AO= , BO=2 , AB=3 , DO=4 ，△EOD∽△AOB 三边对应关系已经确定，直接根据判定定
理 3 列方程:由 得
设点E的坐标为(x, y),
可列方程： 解得：
∴点E坐标为(8, -2) 或 (2, -8),
上面过程为“盲解”，并不需要知道两个三角形的位置关系。
【针对练习】
1.如图,抛物线 交x轴于A(-1, 0)、B(3, 0) 两点, 交y轴于点C, 连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上一点，设P 点的横坐标为m.过点P作. 轴, 交BC于点 D, 过点D作 轴, 垂足为E, 连接PE, 当 和 相似时，求点P 的坐标.
2.二次函数 图象与x轴交于A, B(A在B左侧), 与y轴交于 C, 顶点为D,连接AC,
(1)求抛物线的解析式和D 点坐标；
(2)有一点Q在直线BC上，当Q，C，D三点构成的三角形和 相似，直接写出Q点坐标.

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