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等腰三角形存在性问题方法指导
1.“两圆一线”找动点
2.求动点坐标的方法
知识储备：
两点间距离公式：已知A(x ,y ),B(x ,y ),.则
中点坐标公式：已知A(x ,y ),B(x ,y ),则A，B的中点坐标为
已知直线 ,若l ⊥l ,则.
典型例题
例 (一题多解)如图，抛物线 经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线 l是抛物线的对称轴.
(1)抛物线的函数解析式为 .
(2)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)方法1：利用“一般式”求函数解析式
将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入 得
(2)已知两定点求第三点的等腰三角形存在性问题，可以考虑：
∴抛物线的函数解析式为
方法2：利用“交点式”求函数解析式
∵抛物线 与x 轴交于A(--1,0),B(3,
0)两点,
∴设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x--3).
又∵抛物线经过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=--1,∴y=--(x+1)(x-3),即
(2)存在.
∵抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴抛物线的对称轴为 (或用对称轴公式求解).
如图所示,连接AC,设直线l与x轴交于点D,则D(1,0),∴设点M的坐标为(1,m).
方法1：几何法(“两圆一线”画图找点，构造直角三角形)
①当AC=AM时，以点A为圆心，以AC长为半径画圆，与直线l的交点记为M ，M ，连接 在Rt△ADM中, 即 解得
②当CA=CM时，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与直线l的交点记为.
由对称性可知点M 与点D重合,∴M (1,0),M (1,6).
设直线AC的函数解析式为y=kx+d.将A(-1,0),C(0,3)代入,得 解得 直线AC的函数解析式为y=3x+3.
当x=1时,y=6,∴点M 在直线AC上,不能构成三角形,∴点M 不合题意，舍去.
③当MA=MC时，作线段 AC 的垂直平分线，与直线l的交点记为M ,作CH⊥直线l,垂足为H,连接AM ,CM .
在Rt△ADM中, 在Rt△CHM中,(
又 即 解得
综上所述，存在点M，使△MAC为等腰三角形，符合条件的点M的坐标为( 或 或(1,0)或(1,1).
方法2：代数法(套用两点间距离公式)
由于△MAC的腰和底不确定,因此要分三种情况讨论,即①MA=MC;②MA=AC;③MC=AC.
∵A(--1,0),C(0,3),M(1,m),∴
①若MA=MC,则 解得m=1,∴M(1,1).
②若MA=AC,则 解得 或
③若MC=AC,则 解得m=0或m=6.
当m=6时,M,A,C三点共线,构不成三角形(不合题意,舍去),∴M(1,0).
综上所述，存在点M，使△MAC 为等腰三角形，符合条件的点M的坐标为(1，1)或( 或(1, 或(1,0).
强化训练
1.(一题多解)如图，一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点 A,B.若点 M在x 轴上，并且使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点M有 个，点M的坐标为 .
2.如图1,点A(0,8),B(2,a)在直线y=-2x+b上，反比例函数 的图象经过点 B.
(1)求a和k的值.
(2)如图2，将线段AB 向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,连接AC,BD,BC.在线段 AB 运动的过程中,若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值.
3.如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角尺ABC放在第一象限，使点 A 在y轴的正半轴上，点C在x 轴的正半轴上，∠ACB=90°,且A(0,4),C(2,0),作BE⊥x轴于点E.
(1)求直线 AC 的函数解析式和点 B 的坐标.
(2)在直线 AC 上是否存在一点 M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形 若存在，请直接写出点 M的横坐标；若不存在，请说明理由.

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