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专题01 二次根式
知识点一 二次根式的相关概念
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
【典例1】（2024春 新丰县期中）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用二次根式的定义进行筛选即可．
【解析】解：A、是2的算术平方根，2≥0，所以是二次根式，正确，符合题意；
B、，﹣5＜0，无意义，故不是二次根式，不符合题意；
C、是3的立方根，不是二次根式，不符合题意；
D、，没有明确a的范围，存在a＜0的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的定义，当a≥0时，为二次根式，且，正确的理解二次根式的定义是解题的关键．
2．（2024春 四会市校级期中）若式于实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠﹣1
【点拨】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解析】解：由题意知2x﹣2≥0，
解得x≥1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3．（2024春 珠海校级期中）下列二次根式中，不属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义，逐项判断即可．
【解析】解：A、属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不属于最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【变式训练】
1．（2024春 横州市期中）下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式（a≥0），逐一判断即可解答．
【解析】解：A、是二次根式，故A符合题意；
B、不是二次根式，故B不符合题意；
C、＝，无意义，故C不符合题意；
D、无意义，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义的解题的关键．
2．（2024春 萧山区期中）当a＝6时，二次根式的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】将a＝6代入代数式求值即可．
【解析】解：当a＝6时，
＝
＝
＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，将a＝6代入代数式求值是解题的关键．
3．（2024 喀喇沁旗模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【点拨】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围．
【解析】解：式子在实数范围内有意义，
则x﹣3＞0，
解得：x＞3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4．（2024 五华区二模）x＝3能使下列某个式子有意义，这个式子是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不等于零逐一判断即可．
【解析】解：A．当x＝3时，x﹣3＝0，原式有意义，符合题意；
B．当x＝3时，分母＝0，原式无意义，不符合题意；
C．当x＝3时，x﹣4＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意；
D．当x＝3时，﹣2x＝﹣6＜0，原式无意义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．（2024春 阳江期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝|a|，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
6．（2023秋 简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 　，　．
【点拨】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解析】解：＝10，＝2，＝，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
7．（2024 明水县一模）若代数式有意义，则x的取值范围 　2≤x＜5　．
【点拨】根据二次根式有意义、分式有意义的条件解答即可．
【解析】解：若代数式有意义，
则5﹣x＞0，x﹣2≥0，
解得2≤x＜5，
故答案为：2≤x＜5．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，属于基础题．
知识点二 二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
【典例2】1．（2024春 思明区校级期中）化简：
（1）＝　　； （2）＝　5　．
【点拨】（1）先把12写成4×3，然后根据二次根式的乘法法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式的性质进行计算即可．
【解析】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质．
2．（2023春 湛江期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．b﹣a B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b
【点拨】先根据a，b两点在数轴上的位置判断出a，b的大小，进而判断出b﹣a的符号，据此得出结论．
【解析】解：由a，b两点在数轴上的位置可知，b＜0＜a，
所以b﹣a＜0，
故原式＝a﹣b．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋 东平县校级期末）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．﹣＝﹣0.6 C．＝±6 D．＝
【点拨】根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：A.＝3，本选项错误；
B．﹣＝﹣0.6，本选项正确；
C.＝6，本选项错误；
D.＝﹣，本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解答此题的关键．
2．（2023秋 普陀区校级期末）下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据额小城故事的性质求解．
【解析】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
不能化简，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根与立方根，掌握求解算术平方根与立方根的方法是解本题的关键．
3．（2023秋 无棣县期末）若，则a与1的关系是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
【点拨】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解析】解：∵，
∴1﹣a≥0，
解得：a≤1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2024春 花都区期中）如图，数轴上点A表示的数为a，化简＝　1　．
【点拨】先根据数轴分析出a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：由数轴可知，
2＜a＜3，
则＝a﹣2+＝a﹣2+3﹣a＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5．（2024 岳阳县一模）问题探究：因为，所以，因为，所以，请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：＝　　．
【点拨】观察式子可知：3＝3×1，4＝3+1，故可看作平方的结果．
【解析】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，把复合二次根式的被开方数配成完全平方式是关键．
6．（2023秋 辽宁期末）已知++1＝y，则x+y的算术平方根是　2　．
【点拨】根据与同时成立，被开方数为非负数，列不等式组先求得x的值，再求y的值，从而求得x+y的值．
【解析】解：∵与同时成立，
∴，解得x＝3，故y＝1，x+y＝4，
∴x+y的算术平方根是2．
【点睛】根据与同时成立，得到x的值是解答问题的关键．
7．（2024 仪征市一模）已知实数a满足条件|2023﹣a|+＝a，那么a﹣20232的值为 　2024　．
【点拨】先根据被开方数不小于零的条件求出a的取值范围，再去绝对值，最后进行解题即可．
【解析】解：∵|2023﹣a|+＝a，
∴a﹣2024≥0，
即a≥2024，
∴2023﹣a＜0，
∴a﹣2023+＝a，
∴＝2023，
∴a﹣2024＝20232，
∴a﹣20232＝2024．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和实数的运算，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
知识点三 二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【典例3】（2024春 台州期中）计算：
（1）．
（2）．
【点拨】（1）先算二次根式的除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的乘法进行计算，合并同类二次根式即可．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝﹣7．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键．
【变式训练】
1．（2024春 涧西区期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【解析】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．2﹣＝，所以B选项不符合题意；
C． ×2＝2×3＝6，所以C选项不符合题意；
D． ÷＝＝＝2，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
2．（2024春 武汉期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的混合运算法则计算并判断即可．
【解析】解：A、，故选项A不符合题意；
B、2，故选项B不符合题意；
C、×＝，故选项C符合题意；
D、＝，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．（2024 平山县一模）下列算式结果最小的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】计算出各个选项中式子的结果，然后观察，即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：+（﹣2）＝﹣，
﹣（﹣2）＝+2＝3，
×（﹣2）＝﹣6，
÷（﹣2）＝﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（2024春 天河区校级期中）若，则＝（　　）
A．2 B． C． D．3
【点拨】根据完全平方公式将a2+3ab+b2变形为（a+b）2+ab，再代入a+b，ab的值求解即可．
【解析】解：∵，，
∴，
，
∴
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．
5．（2024春 潮阳区期中）若，则代数式x2﹣6x﹣8的值为（　　）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【点拨】根据题意得到，进而根据完全平方公式得到x2﹣6x+9＝2024，由此可得答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴x2﹣6x+9＝2024，
∴x2﹣6x﹣8＝2024﹣17＝2007，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是正确运算．
6．（2024 河东区二模）计算的结果为 　2　．
【点拨】利用平方差公式进行运算较简便．
【解析】解：
＝22﹣（）2
＝4﹣2
＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（2023秋 漳州期末）化简：＝　　．
【点拨】把分子分母都乘以，然后化简即可．
【解析】解：原式＝＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．
8．（2024春 西城区校级期中）（1）；
（2）3+﹣；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（3）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（4）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解析】解：（1）
＝3+﹣4
＝0；
（2）3+﹣
＝+3﹣2
＝2；
（3）
＝×+×﹣2
＝6+4﹣2
＝6+2；
（4）
＝5﹣2﹣
＝5﹣2﹣2
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2023秋 衢州期末）计算：
（1）×﹣÷；
（2）（1﹣）+3．
【点拨】（1）先算乘除，再计算减法即可；
（2）先去括号，再合并同类二次根式即可．
【解析】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
10．（2023秋 无棣县期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式＝．
运用以上方法解决问题：
已知：，．
（1）化简m，n；
（2）求m2+mn+n2的值．
【点拨】（1）仿照已知把m，n化简即可；
（2）求出m+n＝3，mn＝，再把所求式子变形后代入计算即可．
【解析】解：（1）m＝＝；
n＝＝；
（2）∵m＝；n＝；
∴m+n＝3，mn＝，
∴m2+mn+n2
＝（m+n）2﹣mn
＝32﹣
＝．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
11．（2023秋 攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴＝　9　．
根据海伦公式可得：＝　　．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【点拨】（1）根据实数的运算法则即可求解；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
【解析】解：（1），
，
故答案为：9，．
（2）∵，，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7，
∴
＝
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
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专题01 二次根式
知识点一 二次根式的相关概念
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
【典例1】（2024春 新丰县期中）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 四会市校级期中）若式于实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠﹣1
3．（2024春 珠海校级期中）下列二次根式中，不属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024春 横州市期中）下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 萧山区期中）当a＝6时，二次根式的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024 喀喇沁旗模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
4．（2024 五华区二模）x＝3能使下列某个式子有意义，这个式子是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 阳江期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023秋 简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 　　．
7．（2024 明水县一模）若代数式有意义，则x的取值范围 　　．
知识点二 二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
【典例2】1．（2024春 思明区校级期中）化简：
（1）＝　　； （2）＝　　．
2．（2023春 湛江期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．b﹣a B．a+b C．﹣a﹣b D．a﹣b
【变式训练】
1．（2022秋 东平县校级期末）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．﹣＝﹣0.6 C．＝±6 D．＝
2．（2023秋 普陀区校级期末）下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023秋 无棣县期末）若，则a与1的关系是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
4．（2024春 花都区期中）如图，数轴上点A表示的数为a，化简＝　　．
5．（2024 岳阳县一模）问题探究：因为，所以，因为，所以，请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：＝　　．
6．（2023秋 辽宁期末）已知++1＝y，则x+y的算术平方根是　　．
7．（2024 仪征市一模）已知实数a满足条件|2023﹣a|+＝a，那么a﹣20232的值为 　　．
知识点三 二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【典例3】（2024春 台州期中）计算：
（1）．
（2）．
【变式训练】
1．（2024春 涧西区期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 武汉期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 平山县一模）下列算式结果最小的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024春 天河区校级期中）若，则＝（　　）
A．2 B． C． D．3
5．（2024春 潮阳区期中）若，则代数式x2﹣6x﹣8的值为（　　）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
6．（2024 河东区二模）计算的结果为 　　．
7．（2023秋 漳州期末）化简：＝　　．
8．（2024春 西城区校级期中）（1）；
（2）3+﹣；
（3）；
（4）．
9．（2023秋 衢州期末）计算：
（1）×﹣÷；
（2）（1﹣）+3．
10．（2023秋 无棣县期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式＝．
运用以上方法解决问题：
已知：，．
（1）化简m，n；
（2）求m2+mn+n2的值．
11．（2023秋 攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴＝　9　．
根据海伦公式可得：＝　　．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
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