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初中数学《实数》单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 七年级 第二学期 沪科版 实数
单元
组织方 自然单元 □重组单元
式
序号 课时名称 对应教材内容
课时 1 平方根、立方根 第 6.1(P2-8)
2 实 数 第 6.2(P8-21)
二、单元分析
（一）课标要求
理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、
立方根;了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算
求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根:
了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数的范围由
有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进行简单的实数运
算。
（二）教材分析
1.知识网络
开平方运
第三级运 开方运算 算
算 开立方运
算
有理数
实 数
无理数
2.内容分析
从《数学课程标准》看，关于数的内容，初中学段主要学习有理数和实数，它们是“数
与代数”领域的重要内容。对于有理数和实数，初中学段共有安排三个章节的内容，分别
是七年级上册第一章《有理数》《实数》，八年级《二次根式》。本章可以看成其后的代
1
数内容的起始章，本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要
在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进步认识实数的运算。
本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章
的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有
理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。虽然本章的内容不多，篇
幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，它不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以
及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析儿何等的大部分知
识作好准备。
（三）学情分析
本章属于“数与代数"这个范畴的数的内容，学生已经系统学过有理数，对
有理数的概念和运算有了较深刻的认识。本章是在有理数的基础上学习实数的初
步知识，由于数的扩充的一致性，本章很多内容可以类比有理数的内容得出，例
如:绝对值和相反数的概念和性质，实数的运算法则和运算性质，平方和开平方，
立方和开立方是互为逆运算等在有理数中都能找到相对应的内容，因此，教学中
多注意类比学习。
本课时在学生已经学习了本章基本知识的前提下进行系统的复习巩固和提
高，对于易出错的问题作出特别练习，但学生的遗忘比较厉害，知识点的掌握不
是很扎实，本课时中学生的表现不是很如意。
本节课大部分学生基本掌握本章知识点，能分清平方根、算术平方根、立方
根的区别和联系。能求一个数的平方根、算术平方根、立方根，了解了无理数和
实数的概念，会将实数按要求分类，会根据平方根和立方根的概念解简单的一元
二次方程和一元三次方程，会用实数的运算解决一些简单的实际问题。
三、单元学习与作业目标
1、了解无理数和实数的概念;知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
2、通过无理数的引入,经历数系从有理数扩展到实数的过程,培养从特殊到一般、具体到抽象
的逻辑思维能力;渗透数形结合及分类的思想。
3、情感与态度:了解无理数的产生过程,使学生感受丰富的数学文化,体验数学来源于生活及应
用于生活的意识,更好的激发学习兴趣。
2
四、单元作业设计思路
分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量3-4 大
题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，
题量 3 大题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
五、课时作业
第一课时（6.1 平方根）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
(1)下列式子没有意义的是( )
A. 6 B. ( 6)2 C. 62 D. 6
(2)求下列各数的平方根和算术平方根，并用式子表示：
①25 ② 21 ③0 ④0.49
4
⑤3 ⑥ 102 ⑦( 8)2 ⑧1
(3)计算下列各题：
169
① ( 3)2 ② 42 ③± ④ 132 122
121
(4) 若|3﹣a|+ ＝0，求 a+b 的值.
2.时间要求（10 分钟以内）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
3
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、
或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会用被开方数是非负数即负数没有平方根进行解题，
加深对被开方数是非负数的理解和运用。第（2）题是要求学生会根据平方是开平
方的逆运算，从而运用其来求非负数的平方根和算术平方根，其中，第①⑤⑧
小题是求某正整数的平方根，而且第⑤小题是开平方开不尽的数意图在于让学生
知道如何表示一个开平方开不尽的数的平方根和算术平方根；第②④小题意图
是让学生会求一个带分数、小数的平方根，第⑥⑦两小题是先化简该式子的值然
后再求该数的平方根和算术平方根，能够加深学生对平方根定义和表示方法的理
解和掌握，更好地区分和理解 与± ，同时培养和提高学生的观察转化和运
算能力。第（3）题是检查学生在对平方根和算术平方根的理解的基础上，对其
式子的表示的掌握，作业评价时要注意学生对符号的理解和处理情况。第（4）
题是要求学生会用平方根的性质(即 ≥ 0)进行化简求值，进一步加深对 的双
重非负性的理解。
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
(1) 16 的算术平方根是 ．
(2)已知 2m﹣3与 4m﹣5是一个正数的平方根，求这个正数.
(3) 已知 2a﹣1 的平方根是±3，3a+b﹣1 的平方根是±4，求 a+2b 的平方根；
2. 时间要求（10 分钟）
4
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、
或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是需要学生先求出 16的值即是 4，然后再求出 4的平方根，进一
步巩固和加深对平方根的符号表示地理解和运用；第（2）题需要学生运用正数的平
方根的特点以及互为相反数的两个数的和为 0解决问题。要求学生具有一定的数学思
维能力；第（3)需要学生建立方程模型，运用平方根的概念解决问题，再次经历平方
根概念的形成过程，加深对概念的理解，体会数学的应用价值。
第二课时（6.1 立方根）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
(1) a 3当 取 时， 1有意义.
(2)①求下列各式的值：
3 8 = 3 1 = 3 27 =
3 8 = 3 1 = 3 27 =
②观察上式，如果被开方数互为相反数，那么它们的立方根有什么关系呢？请你
把发现的结论写出来，并用含 a 的式子把它表示出来.
(3)小明有一个正方体形状的魔方，它的体积是 216 3 ,小红有一个长方体
纸盒，它的体积是 600 3，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等。
①求该魔方的棱长； ②求该长方体纸盒的长.
2.时间要求（10 分钟）
5
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生对开立方的被开方数的要求，目的在于与开平方时的备开方数区别，
即 中a的取值范围是非负数，而3 中的a地取值范围是全体实数，让学生更好的掌握平方根
和立方根；第（2）题要求学生会求立方根，并能观察和探究互为相反数的两个数他们的立方根
也互为相反数，培养学生良好的运算习惯和学生的观察、思维能力，提升运算素养；第（3）
题是立方根的实际运用，体现数学在生活中的价值，让学生体会数学在实际生活
中的运用，体会学习数学是有用的，增加学生学习数学的兴趣和自信。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
(1)如果 < 3 10 < ，则 a+b= .
(2)①求下列各式的值：
3
13
3 3
= 23 = 33 =
3 ( 1)3 = 3 ( 2)3 = 3 ( 3)3 =
②观察上式，你有什么发现？请你把发现的结论写出来，并用含 a 的式子把它
表示出来.
(3)求下面各式中 x 的值：
① 8 3 = 125 ② 2( 1)3 = 16
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
6
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、
或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题估算3 在哪两个连续的整数之间，要求学生能熟记 1到 10 的
立方，为后面实数的大小比较做知识储备；第（2）题巩固立方根知识，学生先计算出结果，
3 3
再观察和探究 a3 =a, 3 3与 ( )3的关系，目的在于引导学生根据问题条件和要求探究
运算方向，寻求合理的运算途径解决问题，从而培养学生的数学运算能力和创新意识；
第（3）题利用立方根的概念通过开立方来解方程，学生通过探究解方程的方法的过
程，培养学生的运算和思维能力。
第三课时（6.2 实数：无理数）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
(1)下列实数是无理数的是（ ）
A.-2 B.1 C. 9 D. 11
6
(2)下列说法中正确的是（ ）
A．不循环小数是无理数 B．分数不是有理数
C．有理数都是有限小数 D．3.1415926是有理数
(3)把下列各数填入相应的集合内：
7
7 0.32 1 3① ② ③ ④ 216 ⑤ 2 + 1 ⑥ 0.808008 （相邻两个 8之间 0 的个
3
数一次增加 1） ⑦ 8 ⑧5π ⑨ 16 ⑩0. 8 7
有理数集合： （填序号）
无理数集合： （填序号）
负实数集合： （填序号）
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、
或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生理解和熟记无理数的概念，然后根据概念找出无理数；
第（2）题要求学生综合运用无理数和有理数的相关概念来认真分析和思考，得出如何
区分有理数和无理数，并复习巩固了七年级上册学习的有理数，加深对有理数和无理数
的理解，提升学生的分析问题和解决问题的能力；第（3）题是在前两题的基础上，
巩固和加深对实数：无理数和有理数的理解和联系，培养学生深度分析和探究的
精神。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
(1) 1 2 实数 ， ， 中，是分数的个数（ ）
3 4 6
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)阅读下面的文字，详解问题：
8
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不
可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方
法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是 1，将这个数减去其整
数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵ ＜ ＜ ，即 2＜ ＜3，
∴ 的整数部分为 2，小数部分为（ ﹣2）．
请详解：
① 16的整数部分是 ，小数部分是 ．
②如果 的小数部分为 a， 的整数部分为 b，求 a+b﹣ 的值；
③已知：10+ ＝x+y，其中 x是整数，且 0＜y＜1，求 x﹣y的相反数．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、
或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
9
5
第（1）题，检验学生灵活更深层次的理解无理数的概念，区分像 这样的数只是具有
4
分数形式，但实际上不是分数，而是无理数，要求学生判断某个数是什么数不能观看外表，
要看内在的，培养学生分析和数学思维能力；第（2）题是的答案是开放性的，只要求学生
写出满足条件的其中一个即可，一方面提高学生的估算能力，另一面培养学生创新意识和开
放性发散性的思维方式；第（3）题，需要学生先根据题目给的信息来探究一个无理
数的小数部分怎么表示，类似于其他学科中的阅读理解，读课文然后根据有用的
信息来探究如何解题，能够培养学生良好的阅读思考、逆向思维等能力，提升直观想
象、数学运算、逻辑推理等素养。
第四课时（6.2 实数）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
(1)填写下表：
(2)比较下列各组数中两个数的大小：
3 1 1
① 5 与 6 ② 与 3 ③ 与
5 5
(3)计算：
3 3
① 27 + 3 5 5 1 2 + 8 1② × 2
27 4
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
10
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查学生对实数的相反数、倒数和绝对值的求解，同时， 体会在实数
范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样； 第（2）题是实数的
大小比较，解决问题的策略可以进行多维的思考。如第①小题 “估算 5” 直接
1 49
比较；第③小题逆用性质把“3 ”转化为“ ”比较。渗透“估算”和“转化”思想，培养
2 4
学生的数学思维和理性精神。第（3）题是实数的运算，让学生体会实数和有理数
一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及 0可以进行开平方运算，任意
一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用，
培养和提高学生的运算能力。
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
1 1
(1)比较实数的大小：①3 2________2 3 ② 9 3
4 2
(2)在数轴上近似地表示出 3 , 0 , , 1.5 及它们的相反数，并按从大到小的顺序用“＞”
连接起来．
(3)定义：不超过实数 x的最大整数称为 x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，
[﹣ ]＝﹣2，按此规定，[1﹣ 5]＝ ．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
11
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。
C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级
价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题的第①小题，直接估算进行比较。第②小题，可以看成同分母（分
母为 5）的大小比较，问题转化为比较 3 1与 1的大小（当然也可以“估算“比
较）培养学生思维的灵活性。第（2）题，学生先画出数轴，把实数表示在数轴上，
然后借助于数轴来比较实数的大小，体会比较实数的大小有很多种方法，根据具
体的问题选择适合的方法，培养学生的动手操作的能力和逻辑推理的能力。第（3）
题考查数的大小，培养学生运算、估算能力以及分析和解决问题的能力，发展学生的
直观想象、逻辑推理等素养。
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
1.实数 4的相反数是（ ）
1 1
A．-4 B. 4 C. D.
4 4
2.下列各式数，的是（ ）
3 5
A．-2 B. 8 C. D.0
2
3. 16的平方根是（ ）
12
A．±4 B.2 C.-2 D.±2
4. 如图，在数轴上表示 24的点可能是（ ）
A．点 P B．点 Q C．点 M D．点 N
5. 已知边长为 的正方形的面积为 10，给出下列关于 的说法：① 是无理数；
② 是方程 2 10 = 0的解；③ 是 10的算术平方根；④ 可以用数轴上的点表示；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空
6 1
6. 比较大小： 1 （“＞”“＜”或“＝”).
2
7. 已知 2a + b + 3 + 12 = 0,则 2a-b的立方根是 .
8.一个正数的两个不同的平方根是 a+1 和 a-5，则这个正数是 .
三、解答题
3
9.计算： 27 + ( 2)2 + 3 1
10. 3 1对实数 a、b，定义运算 a b= + 1，已知 m 8＝ ，求 m 的值.
2
11. 已知某正数的两个平方根分别是 1﹣2a 和 a+4，4a+2b﹣1的立方根是 3，c
是 14的整数部分．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）求 a+2b+c 的算术平方根．
12. 观察下列等式：
1 = 2 1① = 2 12+1 2+1 2 1
1 = 3 2② = 3 2
3+ 2 ( 3+ 2)( 3 2)
1
③ = 4 3 = 4 3
4+ 3 ( 4+ 3)( 4 3)
回答下列问题：
1
（1）化简： 2021+ 2022 （无需化为最简二次根式）
（2）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：
13
1 1 1 1 1
+ + + + +
1+ 2 2 + 3 3 + 4 2019 + 2020 2021 + 2022
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 原创
2 选择题 1 √ 易 原创
3 选择题 1 √ 易 原创
4 选择题 2 √ 易 改编
5 选择题 2 √ 中 改编
6 1 √ 30 分钟填空题 中 原创
7 填空题 2、3 √ 中 改编
8 填空题 2、3 √ 中 改编
9 解答题 2、3 √ 中 改编
10 解答题 2、3 √ 较难 原创
11 解答题 2、3 √ 较难 改编
12 解答题 1、2、3 √ 较难 改编
14

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