资源简介

初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
目录
一、单元信息 ...................................... 1
二、单元分析 ...................................... 1
(一)课标要求 ................................... 1
(二)教材分析 ................................... 2
(三)学情分析 ................................... 2
三、单元学习和作业目标 ............................ 3
四、单元作业设计思路 .............................. 3
(一)单元作业系统性 ............................. 3
(二)单元作业分层递进性 ......................... 4
(三)单元作业形式多样化和学科融合化 ............. 4
五、课时作业 ...................................... 4
六、单元质量检测作业 ............................. 24
（一）单元质量检测作业内容 .................... 24
（二）单元质量检测作业属性表 .................. 25
七、作业参考答案 ................................. 26
初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息
数学 八年级 第一学期 人教版 分式
单元组
√ 自然单元 重组单元
织方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 从分数到分式 第 15.1（P127-129）
2 分式的性质 第 15.1（P129-130）
3 分式的约分与通分 第 15.1（P131-132）
课时
4 分式的乘除及乘方 第 15.2（P135-138）
信息
5 分式的加减 第 15.2（P139-141）
6 整数指数幂和科学计数法 第 15.2（P142-145）
7 分式方程 第 15.3（P149-151）
8 分式方程的应用 第 15.3（P152-153）
二、单元分析
(一)课标要求
了解分式的概念，分式有意义的条件，认识分式是一类应用广泛的代数式；
借助现实情境了解代数式，进一步了解用字母表示数的意义，类比分数的基本性
质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单
的分式加、减、乘、除以及乘方运算.
课标在“知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，
理解代数式，掌握必要的运算技能。在“数学思考”方面指出：通过用代数式，
方程…等表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识；体会合情推理，
探索数学结论，发展合情推理和演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的基本
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
思想和思维方式。
(二)教材分析
1.知识网络
2.内容分析
人教版八年级数学第十五章《分式》主要包括分式、分式的运算以及分式方
程三大部分。其中分式一节中涵盖从分数到分式，分式的基本性质及其运用。分
式的运算涵盖分式的乘除，分式的加减以及混合运算，整数指数幂和科学记数法
表示小于 1的数。分式方程主要是分式方程的概念及解法和建立分式方程模型解
决实际问题，本章主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。分式方程是一类
有理方程，更适用于作为某些类型实际问题的数学模型，具有整式方程不可替代
的特殊作用。
(三)学情分析
从学生的认知规律看：学生在小学阶段已经学习了分数的概念、基本性质、
运算法则，在初中阶段数学中“整式的加减”、“一元一次方程”、“整式乘法
与因式分解”等章节已学习整式的运算，有理数的混合运算法则，一元一次方程
的解法，感受了“数式通性”和代数研究的一般途径和方法，这些都为分式的学
习打下思维方法基础。
从学生的学习习惯、思维规律看：八年级（上）的学生初步具备一定的自主
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
学习能力和独立思考能力，积累一定的数学学习活动经验，但思维方式和思维习
惯不完善，运算和推理能力仍不足。因此，应加强分式与整式和分数之间的联系
的应用练习，通过分数到分式的转化加强对“数式通性”理解，强化运用“整式
的运算法则”“整式的因式分解”等对分式方程进行运算，架通学生思维的“桥
梁”，提升学生的数学运算、代数推理等能力。因此本单元的学习难点：灵活运
用分式的性质进行分式约分和通分，以及会解决可化为一元一次方程的分式方程，
培养学生的运算习惯和运算能力。
三、单元学习和作业目标
1.掌握基本知识：分式的概念、分式的基本性质、分式的约分和通分法则、
分式的四则运算、整数指数幂的运算性质、可化为一元一次方程的分式方程解法。
2.掌握基本技能：熟练掌握分式的约分和通分、分式的四则运算、可以化为
一元一次方程的分式方程的解法。
3.积累基本活动经验：积累分式运算的方法，总结进行分式运算的解题经验，
解决不同类问题时有不同的策略。
4.经历分式的“概念”“性质”“法则”的应用过程，加深学生对于基本数
学思想：化归思想(化繁为简)、类比思想(类比分数)、整体思想(化简求值、分
式方程)、数学建模思想(应用题)的掌握，构建完整的数式计算系统性。
四、单元作业设计思路
(一)单元作业系统性
全面透彻地理解《分式》一章数学内容，把握知识的连贯性，明确教学内容
的重点难点以及对学生能力培养的要求。首先要加强”双基”训练，通过作业要
求学生完成对分式的概念，分式的约分和通分的理解和掌握；其次要注重学习内
容重难点的把握，对于分式的加减乘除四则运算以及分式方程的解法的难点分解
于作业中，循序渐进地掌握知识。在单元作业设计中,一方面注意复习巩固分数
的概念和基本性质，类比学习分式概念和性质，另一方面为后续学习做好铺垫，
形成良好的知识链，体现知识的整体性和数学思维能力的系统性。
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(二)单元作业分层递进性
不同学生之间存在着素质、智力、能力、心理因素等多方面的自然差异，需
实行因材施教的教育原则。创设具有层次性、递进性的单元课时作业，让不同程
度学生在学习中得到不同的发展。
设计作业时，根据学生的差异，将精选作业题目分为两大部分：第一部分的
“扬帆起航”是基础性作业，面向全体学生,以基础题概念题为主，要求学生必
做；第二个部分的发展性作业又分为两步：“乘风破浪”在前部分的基础上递进
的设计中等题，使学生的思维坡度循序渐进，培养思维的深刻性。“勇立桥头”
为学有余力且较快完成前两部分的同学选择。
(三)单元作业形式多样化和学科融合化
兴趣是数学学习的先导，是推动数学学习的一种意志力量。在作业的形式上
实现形式的多样化，让学生体会到数学的趣味性，从而培养学生对数学作业的兴
趣。在本单元作业中设计了选择类作业、填空类作业、观察类作业、调查类作业、
动手操作作业、小组合作作业、跨学科作业等,让学生运用所学知识与生活实践
结合,既巩固了数学知识，又增强了应用数学的能力。让学生融入社会,实现数学
学科的课内外联系，学科间融合,全面提高数学素养和实践能力。
五、课时作业
15.1.1 从分数到分式
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
(1)列式表示下列各量.
①用 A、B(B 0)表示两个整式， A B可以表示成 形式，如果除
式 B中有 ，该式子为分式.
②m公顷麦田共收小麦 n吨，则平均每公顷的产量是 吨.
③一辆汽车b h行驶了 a km，则它的平均速度 km/h；
一辆火车行驶 a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度 km/h.
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（2）找一找，下列哪些是分式 哪些是整式
1 2x 7 x y 2mn 3 1 1
， ， ， ， x y， ， c ， a b .
a 3 m 6 x （3 a b） 2 3
x x 2
（3）当 x 时，分式 没有意义；当 x 时，分式
3x 1 x 3 x 2
没有意义.
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
从生活实际问题出发，让学生在运用中体会分式的概念，进一步区分整式和
分式；同时通过填空题的形式巩固学生对于本课时基础知识的掌握和理解。
作业 2(发展性作业)
1.作业内容：乘风破浪
2x 1
（1）若分式 2 的值为负，则 x的取值范围（）x
A. x 1 1 1 1 B. x 且 x 0 C. x D. x 0且 x
2 2 2 2
（2）合作探究 共聚力量
有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，
甲：分式的值不可能是 0；乙：分式有意义时 x的取值范围是 x 1；
丙：当 x -2时，分式的值为1.
和同学讨论之后，写出一个满足上述全部特点的分式哦！
2.作业内容：勇立桥头
2x 1
（1）若 无意义，求代数式（y x）(y x) x2的值.
3y 1
3.时间要求：10 分钟以内
4.作业分析及设计意图：
“乘风破浪”通过选择题和合作题促进学生进一步体会分式的意义中“分式
为负值”，小组合作将所学的分式如何进行运用，提高学生的合作能力。“勇立
桥头”将分式有无意义和前一章所学的整式乘法相结合，体现数学知识的连贯性，
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同时综合性较强，适于学生在基础良好下进行提升，培养数学素养.
评价设计(作业评价表)
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B 等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有创新
扬帆起航 但答案不完整。
C 等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规思路
且不清晰，过程复杂。
A 等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组活动，
小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B 等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能认真
乘风破浪
倾听他人方法分享。
C 等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或小组
讨论与内容无关。
A 等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰有条
理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展示成
果单一。
C 等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
15.1.2 分式的性质
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
一、选一选.
（1）若 a b ,则下列分式化简中，正确的是（ ）
a 2 a a 2 a 3a a
a
2 a
A. B． C． D．
b 2 b b 2 b 3b b b2 b
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2
（2）分式 2 x可变形为（ ）
2 2 2 2
A. - B. - C． D．
x 2 x 2 x 2 x 2
2x
(3）如果把分式 中的 x， y3x 2y 都扩大 2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大 2倍 B．不变 C．缩小 2倍 D．扩大 4倍
(4)下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
4 2x x 1 1 x y2 x2 x2 y2
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．
2x x2 1 x2 1 x 1 x y x2 y xy2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
通过选择题复习巩固本节中利用分式的基本性质化简变形，以及最简分式的
基础知识点，分式的基本性质是分式约分和通分的基础，例如第四小题给出多个
分式进行最简分式的判断，要求每位学生不仅要掌握最简分式的概念还要能判断
式子是否能再次化简.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
(1)请将以下式子约分成最简分式.
(x y)y ma mb mc x2 y2 a2 4ab 4b2
① 2 ② ③ 2 ④xy a b c (x y) a2 4b2
(2)小组合作 齐心协力
1 1 2x 3xy 2y
已知 4，则分式 的值是多少
y x x 2xy y
记得体现你们小组求解的过程哟!
2.作业内容：勇立桥头
我们知道分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们可以
得到分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，
我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之称为假分式．对于任
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何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．
x 1 x 1 2 x 1 2 2
如: 1 .
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
（1）下列分式中，属于真分式的是 ；
x2 x 1 3 x2 1
A． B． C．﹣ D．
x 1 x 1 2x 1 x2 1
m2 3
（2）将假分式 化成整式和真分式的和的形式．
m 1
3.时间要求：10 分钟以内
4.作业分析及设计意图：
“乘风破浪”的约分的计算加强学生的计算功底，也为后面分式的运算打下
良好基础；小组合作中设计的是整体代换法在本节分式化简中的运用，在体现求
解过程中使得每位小组成员加以掌握。“勇立桥头”部分将本节类比思想贯彻其
中，此部分的作业设计目的进行知识迁移，学生真正理解和掌握类比的数学方法.
评价设计（作业评价量表）
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有创
扬帆起航 新但答案不完整。
C等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规思
路且不清晰，过程复杂。
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A等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组活
动，小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能认
乘风破浪
真倾听他人方法分享。
C等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或小
组讨论与内容无关。
A等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰有
条理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展示
成果单一。
C等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
15.1.2 分式的约分和通分
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
一、说一说.
和组内小伙伴互相解释什么是最简公分母？找最简公分母需要经历几个步
骤？小伙伴没有说完整可以帮忙补充.
二、选一选.
y x 1
1. 三个分式 , 2 , 的最简公分母是（ ）2x 3y 4xy
A. 4xy B.3y2 C.12xy2 D.12x2 y2
2 下列说法错误的是（ ）
1 a 2x a
A. 3x与 6x2 通分后为 6x2 ， 6x2 .
1 1 c b
B. 3a2b3 与 3a2b2c通分后为 3a2b3c， 3a2b3c .
1 1 2 2
C. m n与 m n的最简公分母为
m n .
1 1
D.
a(x y)与 b(y x) 的最简公分母为
ab x y (y x)
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3.动笔算一算：请将每组分式进行通分.
2 3 1 2
(1) 与 2 (2) 与3a 4ab x y x2 y2
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
在动笔作业前先设计了与小伙伴之间的口头表述，将课堂的知识在交流过程
中内化成自我的知识，找最简公分母是分式通分的基础，紧跟着设计两个选择题
熟悉如何找最简公分母，最后自己动手操作，对于基础的异分母分式如何通分，
层层递进，在潜移默化中巩固基本概念，锻炼计算能力。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
1
(1)将两组式子通分：① x 1 , 1 ② a 2,
x2 1 (1 x)2 a 2
(2)考考你的小伙伴：组内每一位同学任意写一个分式交给组长，组长汇总
后，由每一位同学自由选择其中两个分式进行通分，最后组内交换互评.
2.作业内容：勇立桥头
周末展示:
本阶段我们了解分式，分式的基本性质和分式的通分和约分，相信各位同学
都收获满满吧！请各位同学利用周末时间，通过数学手抄报的形式展示这些时间
你都掌握了哪些数学知识？下周将有课堂展示哦！
3.时间要求：10 分钟以内（周末开放作业不限时）
4.作业分析及设计意图：
“乘风破浪”先由组内合作解决两个易混淆且难度中等的分式通分，巩固学
生的计算，再通过学生之间互相出题互相解答的过程既提高学生对分式概念的理
解，也进一步提高学生的学习兴趣，增强计算的趣味性，互评激发学生之间的有
效竞争.“勇立桥头”通过开放性的，可选择性的数学手抄报的形式，目的是希
望通过这种形式引导和推动学生自我总结自我归纳自我反思，做数学学习的主人！
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评价设计(作业评价量表)
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有创
扬帆起航 新但答案不完整。
C等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规思
路且不清晰，过程复杂。
A等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组活
动，小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能认
乘风破浪
真倾听他人方法分享。
C等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或小
组讨论与内容无关。
A等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰有
条理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展示
成果单一。
C等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
15.2 分式的运算 分式的乘除及乘方
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
一、选一选.
x
（1）计算 3xy2 3 的结果是（ ）9y
x2 x2 x2 x
A． B. C. 2 D. 3y y 3y 3y
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2 1
（2）化简 的结果是( )
x2 1 x 1
2 2 2
A． B． C． D. 2(x 1)
x 1 x x 1
（3）计算 a 2 b 的结果为（ ）
a2
b
A．b B． b C． ab D．
a
二、将计算结果填一填.
8x 9y 2
（1） ( ) x y x （2）
2y 2x3 x3 y
1 ab2 3a2b2
（3） (a b) （4）
a b 2c2

4cd
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
本部分基础题为主，主要设计的是简单的分式乘除法，由于分式的乘方是分
式乘法的特殊情况，所以将简单分式的乘方运算也加入其中，便于学生综合理解
乘除运算，填一填是为了巩固学生的运算基础，为后面的分式的加减和混合运算
垫定良好基础。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
小组探究：集思广益
2 2
已知 3a b 1 3 b b ab 3a b 0，求 的值.
2 a b a b a b
不要着急，理清思路，记得和你的组内小伙伴分享分享你的看法哦.
2.作业内容：勇立桥头
生活中的数学问题，勇敢的你来试试吧！
一条船往返于新安江岸甲、乙两地之间.第一次做往返航行时，新安江的水
流速度为 a千米/小时；第二次做往返航行时，正遇上梅雨季节新安江发大水，
水流速度为b千米/小时（b a）.已知该船在两次航行中，静水速度都为 v千米
/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；
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若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
3.时间要求：10 分钟以内
4.作业分析及设计意图：
“乘风破浪”以小组合作的形式解决分式的乘除法里一类化简求值的题目，
降低个人计算的难度，同时帮助学生快速感知这一类型题目的特点和关键。“勇
立桥头”的题设计将数学问题融入学生们熟悉的新安江，融入生活，同时此题也
是与课本例 3所呼应，在实际问题中如何比较分式的大小，进一步扩大学生的认
知范围。
评价设计(作业评价量表)
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有创
扬帆起航 新但答案不完整。
C等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规思
路且不清晰，过程复杂。
A等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组活
动，小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能认
乘风破浪
真倾听他人方法分享。
C等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或小
组讨论与内容无关。
A等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰有
条理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展示
成果单一。
C等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
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15.2.2 分式的加减
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
一．选一选.
（1）下列计算正确的是（ ）
1 1 1
A．
y y 2y

8x 8y 8(x y) B． x z xz
x x 1 1 1 1
C． 2y 2y 2y D．
0
x y y x
a b a2 b2
（2）化简 的结果是（ ）
b a ab
0 2a 2b 2bA． B． - C． - D．
b a a
1 1 1
（3）计算 的结果是（ ）
x 2x 3x
1 1 5 11
A. B. C. D.
2x 6x 6x 6x
二.同分母分式相加减.
a3 a （ x y）2 ( x y ) 2
(1) — (2)
a 1 a 1 xy xy
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
由判断是否正确带动学生复习回顾分式加减的运算法则；进而通过三项含有
公因式的分式加减巩固，最后让学生自己上手尝试解决同分母的分式加减，在运
算中运用分式的加减运算法则，难度较低.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
异分母分式相加减：（二选一）
类型一：分母均为单项式
1 3 c a
(1) 2 (2) 3x 4x ab bc
类型二：（不含公共因式）的异分母分式相加减
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1 1 1 1
(1) (2)
x 2 x 2 2p 3q 2p 3q
类型三：（含有公共因式）的异分母分式相加减
a b 2 4a 1 a
(1) 2 (2) a b 2 a b a2 1 1 a
同学们请在每个类型里选择一题动手完成吧，相信你一定行！
2.作业内容：勇立桥头
类型四：分式与整式的相加减
4 2
（1) a 2 x(2) x 1
a 2 x 1
3.时间要求：10 分钟以内
4.作业分析及设计意图：
异分母分式的加减运算是本节教学中的一个重难点，也是学生的易错点，通
过罗列四种类型的异分母分式加减帮助学生进行归纳总结，同时把选择权交给学
生，调动学生的主观能动性，提高作业积极性，讲解中可通过同组交互式批改的
过程加强和加深学生对于这些类型的理解.
评价设计(作业评价量表)
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有
新意。
B等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思
扬帆起航
路有创新但答案不完整。
C等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题
常规思路且不清晰，过程复杂。
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A 等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与
小组活动，小组成员讨论共享他人的观点和想
法。
乘风破浪 B等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，
能认真倾听他人方法分享。
C等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，
或小组讨论与内容无关。
A等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路
清晰有条理，成果展示形式多样。
B等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，
勇立桥头
展示成果单一。
C等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成
果。
15.2.3 整数指数幂和科学记数法
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
（1）2020 年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的
坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗
粒的直径约为125纳米，1纳米 1.0 10-9米，若用科学记数法表示125纳米，则
正确的结果是（ ）
A．1.25 10 9米 B．1.25 10 8米 C．1.25 10 7米 D．1.25 10 6米
（2）以下计算正确的是（ ）
-5 0A． 0 B． x2 x3 x5 C． ab2 3 a2b5 D． 2a2a 1 2a
（3）算一算
1 0 2 2① 2 1 1 ＝____ ② 2xy 1 xy 2x 2 y ____
3 2
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
第一道选择题复习知识点用科学计数法表示小于 1的数和还原用科学记数
法表示的数，贴近生活实际，利用数字真实感受生活中的点滴；第二道选择题考
察的是零指数幂以及整数指数幂运算法则的简单运用；最后通过计算对于掌握负
第 16 页
初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
整数指数幂和乘方运算，整式的除法的综合考察运用。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
1 20
（1）计算： - 2 3 8 1 2
2
（2）已知 x x 1 3 求下列各式的值.
① x2 x 2 ② x x 1
2.作业内容：勇立桥头
实践活动：随着现代科技的高速发展，在我们的生活中存在着方方面面及其
细微的物质材料，请你通过询问他人、网络收集、查阅书本资料等多种形式找一
找生活中用科学记数法表示的极小数的例子和大家一起分享分享吧！
3.时间要求：10 分钟以内（实践活动不作时间要求）
4.作业分析及设计意图：
“乘风破浪”部分通过包含了整数指数幂，立方根，绝对值性质运算的混合
计算题加强学生初中阶段计算能力，本节内容不是单独考察的知识点；第二题转
变题目的表达形式，其计算本质仍然是前一章因式分解的灵活运用.“勇立桥头”
部分设计的选做的实践活动，锻炼学生收集数据的能力，同时在这个过程中让学
生体会祖国日新月异的科技发展和运用，激发学生的爱国主义情怀,数学与实际
相结合.
评价设计(作业评价量表)
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
第 17 页
初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B 等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有
扬帆起航 创新但答案不完整。
C 等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规
思路且不清晰，过程复杂。
A 等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组
活动，小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B 等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能
乘风破浪
认真倾听他人方法分享。
C 等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或
小组讨论与内容无关。
A 等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰
有条理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展
示成果单一。
C 等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
15.3 分式方程
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
x x2 2 1
（1）已知方程：① 6；② x 3；③ 9 0；
x 4 x 2 x2
x 3 ④ x 6 18 ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 x 2
（2）解分式方程 3时，去分母后变形正确的是（ ）
x 1 1 x
A． 2 (x 2) 3(x 1) B． 2 (x 2) 3(1 x)
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
C．2 (x 2) 3(1 x) D． 2 (x 2) 3(x 1)
5 1
（3）方程 的解是（ ）
x 1 x 3
A． x 2 B． x 2 C． x 4 D． x 4
1 x 1
（4）解分式方程： 3 x 2 x 2
2.时间要求：10 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
该部分从分式方程的概念判断出发，巩固学生对分式方程的认知，区分整式
方程和分式方程，后两个选择题带动学生回顾解分式方程的关键步骤是去分母，
在易错点找最简公分母处设题，在学生回顾熟悉解分式方程的一般步骤之后，通
过解分式方程进行学生的动手操作，夯实基础.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
（1）小组探究活动：
a b x
已知关于 x的分式方程 12x 3 x 5
①当a 2，b 1时，求分式方程的解；
a b x
②当 a 1时，求b为何值时分式方程 1无解.
2x 3 x 5
2.作业内容：勇立桥头
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
观察下列算式： 1 ， ， ，
1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5
（1）由上可以类似地推出第五个等式是：
（2）用含字母 n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）；
1 1 1
（3）用以上方法解方程： x x 1 x 1 x 2 x 2
3.时间要求：15 分钟以内
4.作业分析及设计意图：
“乘风破浪”部分直接将分式方程中考察的增根和无解的类型单列出来，意
图通过此种方式能够让学生在合作探究的过程中分清分式方程增根的产生以及
无解的两个方向.“勇立桥头”部分是考查学生是否了解分式方程，以及规律型
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
分式的变化情况，掌握拆项的方法是解本题的关键；要求学生熟知分式方程的概
念以及解分式方程的步骤，极具创新性和趣味性.
评价设计（作业评价量表）
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B 等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有
扬帆起航 创新但答案不完整。
C 等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规
思路且不清晰，过程复杂。
A 等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组
活动，小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B 等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能
乘风破浪
认真倾听他人方法分享。
C 等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或
小组讨论与内容无关。
A 等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰
有条理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展
示成果单一。
C等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
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15.3 分式方程的运用
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
【题型】 行程问题
（1）张老师和李老师同时从学校出发，步行 15 千米市区购买文具，张老师
比李老师每小时多走 1千米，结果比李老师早到 30 分钟，两位老师每小时各步
行多少千米 设李老师每小时走 x千米，依题意，得到的方程是（ ）
15 15 1 15 15 1
A． ﹣
x 1 x
＝ 2 B． x x 1 2
15 15 15 15 1
C． ＝30 D．
x x 1 x 1 x 2
【题型】 工程问题
（2）某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么 180 天可盖成；如果
3
由建筑一队、二队同时施工，那么 30 天能完成工程总量的 ，现若由二队单独
10
施工，则需要 x天完成．根据题意列的方程是( )
1 1 3 1 1 1
A． B．
180 x 10 180 x 30
30( 1 1 3 1 1 3C． ) D． 30
180 x 10 180 x 10
【题型】 销售问题
（3）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，
是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激
荡中站稳脚跟的根基，为了大力弘扬中华优秀传统文化，我校决定开展名著读书
活动，用 3400 元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅
读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城 8折销售该套书，于是用 3200
元购买的套数反而比第一批多 3套．
①求第一批购买的“四大名著”每套的价格是多少元
②该校共购买“四大名著”多少套
2.时间要求：15 分钟以内
3.作业分析及设计意图：
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
分式方程的实际运用在本部分设计了三个类型，行程问题，工程问题，销售
问题，在整式方程中该几个类型也较为常见，学生在理解题意方面不会困难，两
个选择题也降低难度,通过选择题引导学生找到分式运用中的等量关系，销售问
题中将分式问题与中华文化相结合，旨在潜移默化中加强学生的中华传统文化的
阅读和重视程度.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
【题型】 顺流逆流航行问题
A,B两地相距 48千米，一艘轮船从 A地顺流航行至 B地，又立即从 B地逆
流返回 A地，顺流航行与逆流航行所用时间比为 2 :3，已知水流速度为 4千米/
时，求该轮船在静水中的速度？
2.作业内容：勇立桥头
【题型】 分配问题
2021 年 10 月 17 日是我国第 8个扶贫日，也是第 29 个国际消除贫困日．为
组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地
销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装 20 箱生姜，
且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有 1535 箱，用甲、乙两种汽车共 16 辆来装运，甲种车
辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了 55 箱，其它装满，求甲、乙两种货车各
有多少辆
3.时间要求：15 分钟以内
4.作业分析及设计意图：
本部分两类题型，第一类顺流逆流航行问题在七年级学生已初步用一元一次
方程解决，本次旧题型新考察用分式方程解决这一类，学生入手快，但仍需分析
题意才能准确列出分式方程；第二类型分配问题的两问将分式方程和一元一次方
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
程的求解相结合，既体现方程运用的便捷性灵活性，也在对比中让学生感受分式
方程和一元一次方程解法的异同之处。
评价设计（作业评价量表）
自 互 师 综
作业类型 评价标准（依次分为 A、B、C）
评 评 评 评
A 等，答案正确、过程正确且规范，解题思路有新意。
B 等，答案正确，过程有问题或不规范，解题思路有
扬帆起航 创新但答案不完整。
C 等，答案不正确，过程不完整或不规范，解题常规
思路且不清晰，过程复杂。
A 等，能完整且格式正确的进行计算；积极参与小组
活动，小组成员讨论共享他人的观点和想法。
B 等，基本完整进行计算，参与小组的部分活动，能
乘风破浪
认真倾听他人方法分享。
C 等，计算过程和思路错误，不能参与小组活动，或
小组讨论与内容无关。
A 等，能完整地收集关于题目要求的资料；思路清晰
有条理，成果展示形式多样。
勇立桥头 B 等，收集题目资料较少，有思路，但较为紊乱，展
示成果单一。
C等，未收集资料或者解题思路错误，无展示成果。
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六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、单项选择题.
x 2
1.若分式 的值为0，则 x的值是（ ）
x
A. 0 B. 2 C. 2或 - 2 D. - 2
3x 5 4x 2 x2 2m2
2.在 , 2 , ,2m, , 中，是分式的式子有（ ）4x 2 x 7 5 1 m
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2
3.若分式 有意义，则（ ）
x 1
A. x 1 B. x 1 C. x 0 D. x 0
xy
4.若分式 中 x，y均扩大为原来的 n倍，分式的值变为原来的 5倍，则 n
x y
的值是（ ）
A. 任意非零实数 B. 5 C. 10 D. 25
2 b
5.计算 - a 2 的结果为( )a
b -b ab bA. B. C. D.
a
二、填空题
+ = 4 ab = 3 b a6. 若 ， ，则 的值是 ______.
a b
3x m
7.若关于 x的分式方程 4的解为正数，则 的取值范围为
x 2 2 x
______.
8.小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打 6个字，小明打
120个字所用的时间和小张打 180个字所用的时间相等．设小明打字速度
为 个/分钟，则列方程为 .
三、解答题.
2x 1 4
9.解分式方程： 2
x 1 x 1
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1 a
10.先化简 2 ，然后在0，1，-1中挑选一个合适的数代入求值.a 1 a 2a 1
11.2021 年 4 月 8 日世界园艺博览会在扬州拉开了帷幕，世园会以“绿色城
市，健康生活”为主题，吸引了大批游客游览，世园会成人一日票分为平日票和
指定日票，其中平日票比指定日票便宜 30 元/张．某一售票点在 5月份售出平日
票 4万元，指定日票 2.6 万元，且售出的平日票数量是指定日票的 2倍，这一售
票点售出的平日票和指定日票各多少张
（二）单元质量检测作业属性表
对应学
对应单 完成时
类型 难度 来源
序号 元作业 了解 理解 应用 间
目标
1 选择题 1 √ 易 原创
2 选择题 1 √ 易 改编
3 选择题 1、2 √ 易 原创
4 选择题 2 √ 易 选编
5 选择题 2 √ 中 原创
6 填空题 2、3 √ 中 选编 30分钟
7 填空题 2、3 √ 中 改编
8 填空题 2、3、4 √ 中 改编
9 解答题 2、3 √ 较难 原创
10 解答题 2、4 √ 较难 改编
1、2、3、
11 解答题 √ 较难 选编
4
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
七、作业参考答案
15.1.1 从分数到分式
作业 1（基础性作业）
A n a a
1.（1）① ,含有字母；② ；③ ； .
B m b b 1
1 2mn 3 c
（2）分式：
a， m ， 6 x， 3(a b)；
2x 7 x y 1 1
整式： ， ， x y， a b
3 2 3 .
1
（3） , 3或-2
3 .
作业 2（发展性作业）
3
1.（1）B；（2） 2 (答案不唯一）x 1 .
2x 12. 无意义3y 1
3y 1 0
1
y
3
(y x)(y x) x 2 y 2 1 1 x 2 x 2 y 2 ( ) 2
3 9
15.1.2 分式的性质
作业 1（基础性作业）
一、1.C；2.A；3.B；4.B.
作业 2（发展性作业）
(x y)y (x y) y x y
1.（1） ①
xy2 xy y xy ；
ma mb mc m (a b c)
② m
a b c a b c ；
x2 y2 (x y)(x y) x y
③
(x y)2 (x y)2 x y ；
a2 4ab 4b2 (a 2b)2 a 2b
④ 2 a 4b2 (a 2b)(a 2b) a 2b .
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
1 1
（2） 4y x
x y 4xy
2x 3xy 2y 2(x y) 3xy 2 4xy 3xy 11xy 11

x 2xy y (x y) 2xy 4xy 2xy 2xy 2 .
2.（1）C；
m2 3 m2 1 4 m2 1 4 (m 1)(m 1) 4 4
（2） m 1 .m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1
15.1.2 分式的约分和通分
作业 1（基础性作业）
一、各分母所有因式的最高次幂的积是最简公分母.
步骤：一看系数——确定各分母系数的最小公倍数；
二看字母——确定各分母所含的字母因式；
三看指数——确定各分母字母因式的最高次幂.
二、1.C； 2.D.
3.（1）最简公分母为12ab2，
2 2 4b2 8b2
，
3a 3a 4b2 12ab2
3 3 3 9
2 2 ；4ab 4ab 3 12ab2
（2）最简公分母为 x2 y2，
1 x y x y

x y (x y) x y x 2 y 2 ，
2
x2 y2 .
作业 2（发展性作业）
（1）最简公分母为 (x 1)2，
x 1 1 = x 1
x2

1 x 1 (x 1)2 ，
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
1 1

(1 x)2 (x 1)2 ；
（2）最简公分母为 a 2，
a 2 (a 2)
2 a2 4a 4
，
a 2 a 2
1
.
a 2
15.2 分式的运算 分式的乘除及乘方
作业 1（基础性作业）
一、（1）A；（2）A；（3）A.
18 1 2d
二、（1） 2 （2）1（3） 2 （4） x a b 3ac .
作业 2（发展性作业）
1. 3a b 1 (3a
3
) 2 0
2
3a b 1 0,3a 3 0
2
a 1,b 2
b2 ( b ab ) b
2 ab2 b2 (a b )(a b ) a b

a b a b a b a b (a b )(a b ) a b ab 2 a
1 ( 2)
1
1
2. 解：设甲、乙两地之间的路程为 S.
第一次所用时间为：
S S 2vS

v a v a v 2 a 2
第二次所用时间为：
S S 2vS

v b v b v 2 b 2
b a, b2 a2 , v2 a2 v2 b2 ,
2vS 2vS

v2 a2 v2 b2 ，
第一次的时间要短些.
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15.2.2 分式的加减
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
二．选一选.
(1) D；（2）C；（3）D.
二.同分母分式相加减
a3 a a3 a a(a 1)(a 1)
(1) — a2 a
a 1 a 1 a 1 a 1
（ x y）2 ( x y ) 2 ( x y ) 2 ( x y ) 2 2 x 2 2 y 2
(2)
xy xy xy xy
作业 2（发展性作业）
类型一：分母均为单项式
1 3 4 9x 9x2 4
（1） 2 3x 4x 12x2 12x2 12x2
c a c2 a2 c2 a2
（2）
ab bc abc abc abc
类型二：（不含公共因式）的异分母分式相加减
1 1 x 2 x 2 4
（1）
x 2 x 2 (x 2)(x 2) x2 4
1 1 (2p 3q) (2p 3q) 4p
（2） 2p 3q 2p 3q (2p 3q)(2p 3q) 4p2 9q2
类型三：（含有公共因式）的异分母分式相加减
a b 2 (a b) 2(a b) 1
（1）0
a2 b2

a b a2 b2 a b
4a 1 a 4a a 1 4a (a 1)2 (a 1)2 a 1
（2） 2 a 1 1 a a2 1 a 1 a2 1 a2 1 a 1
2.作业内容：勇立桥头
类型四：分式与整式的相加减
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4 a 2 4 a
2 4 a2
（1)
a 2 a 2 a 2
x2 x2 x2 (x2 1) 1
（2） x 1 (x 1)
x 1 x 1 x 1 x 1
15.2.3 整数指数幂和科学记数法
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
(1)C；(2)D.
9
① ② 2x5(3) y
2
2
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容：乘风破浪
（1）计算：
2
0 - 2 1 3 8 1 2
2
解原式 1 4 ( 2) ( 2 1)
1 4 2 2 1
4 2
① x2 x 2 2（2） x x 1 2 32 2 7
② x x 1 3
x2 x 2 7
x2 2 x 2 5
(x x 1)2 5
x x 1 5
2.作业内容：勇立桥头
例如：随着微电子制造技术的不断进步，半导体精加工的材料尺寸大幅度减
小，能在 350 平方毫米的芯片上集成 5亿个元件,1 个原件大概占7 10 7平方毫
米.小组之间可互相分享查阅收集的相关资料，言之有理即可.
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15.3 分式方程
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
(1)C；(2)D；(3)C.
(4)解：方程两边同乘以 (x 2)
1 3(x 2) x 1
x 2
当 x 2时， x 2 0，故原分式方程无解.
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
（2）小组探究活动：
① 2 1 x由题意得： 1
2x 3 x 5
解：方程两边同乘以 (2x 3)(x 5)得：
2(x 5) (2x 3)(1 x) (2x 3)(x 5)
2x 10 2x 2x2 3 3x 2x2 10x 3x 15
10x 2
x 1
5
x 1检验：把 代入 (2x 3)(x 5) 0
5
1
所以原分式方程的解是 x .
5
②把 a 1 a b x 代入分式方程得 1
2x 3 x 5
方程两边同乘以 (2x 3)(x 5)，得:
(x 5) (b x)(2x 3) (2x 3)(x 5)
x 5 2x2 3x 2bx 3b 2x2 7x 15
(11 2b)x 3b 10
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当11 2b 11 0时，即b ，方程无解；
2
11 2b 0 x 3b 10当 时， ，
11 2b
x 3 3b 10 3 时，分式方程无解，即 ，b不存在;
2 11 2b 2
x 5 3b 10时，分式方程无解，即 5,b 5
11 2b
11
综上所述，b 或b 5 a b x时，分式方程 1
2 2x 3 x
无解.
5
2.作业内容：勇立桥头
1 1 1
（1）
5 6 5 6
1 1 1
(2)
n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1
（3）方程可化为
x x 1 x 1 x 2 x 2
1 2
即
x x 2
解得 x 2
经检验 x 2是原分式方程的解.
15.3 分式方程的运用
作业 1（基础性作业）
1.作业内容：扬帆起航
(1)B；(2)C.
(3)①解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x元，则第二批购买
的“四大名著”每套的价格为0.8x元.
3200 3400
3
0.8x x
解得 x 200
经检验 x 200是原分式方程的解.
答：第一批购买的“四大名著”每套的价格是 200元.
3400
② 2 3 37(套)
200
答：该校共购买“四大名著”37套.
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
作业 2（发展性作业）
1.作业内容：乘风破浪
解：设该轮船在静水中的速度为 x千米/时.
3 48 48 2
x 4 x 4
解得： x 20
经检验，它是原分式方程的解且符合题意.
答：该轮船在静水中的速度是 20千米/时.
2.作业内容：勇立桥头
(1）解：设乙种货车每辆车可装 x箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x 20）箱.
1000 800

x 20 x
解得： x 80
经检验， x 80是原分式方程的解且符合题意.
x 20 80 20 100
答：甲种货车每辆车可装100箱，乙种货车每辆车可装80箱.
(1)解：设甲种货车有m辆，乙种货车有（16 m）辆.
由题意得：100m 80(16 m 1) 55 1535
m 14
16 m 16 14 2
答：甲种货车14辆，乙种货车 2辆.
单元质量检测作业参考答案
一、单项选择题.
1.B；2.C；3.A；4.B；5.A.
二、填空题
1
6. 7.m 8 m 120 180且 6 8.
4 x x 6
9.解：方程两边同乘以 (x 1)(x 1)得:
2x 1 (x 1) 4(x 1) 2(x 1)(x 1)
2x2 2x x 1 4x 4 2x2 2
5x 3
x 3 —
5
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初中数学/人教版/八年级/上册/第十五章 分式
3
检验当 x 时， (x 1)(x 1) 0
5
x 3故原分式方程的解为 .
5
2
10.解：原式 1 (a 1)
a 1 a
a 1

a
由分式有意义可知， a 0,a 1，故 a 1.
当 a 1 1 1时，原式 2.
1
11. 解：设这一售票点售出指定日票 x张，则售出平日票 2x张.
26000 40000
依题意得： 30
x 2x
解得： x 200
经检验， x 200是原分式方程的解，且符合题意.
故 2x 2 200 400
答：这一售票点售出的平日票 400张，指点日票 200张.
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