资源简介

第 23 章 《解直角三角形》
设计
单位
设计
人员
教材 解直角三角形
内容
第一课时 锐角的三角函数-正切
第二课时 锐角的三角函数-正弦与余弦
第三课时 30 ，45 ，60 角的三角函数值
第四课时 互余两角的三角函数关系
单元
第五课时 一般锐角的三角函数值
第六课时 解直角三角形
内容
第七课时 解直角三角形的应用-仰角、俯角问题
第八课时 解直角三角形的应用-方位角问题
第九课时 解直角三角形的应用-坡度（坡角）问题
第十课时 初高衔接-两个斜率公式
第十一课时 单元复习小结
本章内容是三角学中最基础的内容，也是今后进一步学习三角学的必要基础.
教材在运用学习过的相似三角形知识的基础之上推出当直角三角形的锐角大小确
定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而引入锐角三角函数的概念，进一步
强化了数形结合思想，且有利于数学知识间的串联、延伸.解直角三角形的应用
的知识在实际中应用比较广泛，本章首先从学生比较感兴趣的汽车爬坡能力引出
正切三角函数，也是生活中应用最多的三角函数，如山坡的坡度、物体的倾斜程
度等都是用正切来刻画的.类比正切的概念，进而引出正弦和余弦函数.教材中
运用直角三角形中的锐角三角函数的概念求出特殊角的三角函数值，可以计算含
教材
有特殊角的三角函数值得式子，或是由已知三角函数值求出对应的锐角.对于一
般的锐角三角函数值的计算问题，教材中详细介绍了运用计算器由锐角求三角函
分析
数值，及由三角函数值求锐角的方法，并适当地加强这方面计算能力的训练.解
直角三角形的应用题、教学活动与课题学习不仅巩固三角函数知识，还有利于培
养学生的空间想象能力，让学生通过对实物的观察、或是通过给出的条件，画出
对应的平面图形，教材提供了相应的训练，目的在于通过对锐角三角函数知识的
学习，着力培养学生的数学能力以及数形结合的思想.
本章重难点：
重点：锐角的三角函数的概念和直角三角形的解法
难点：锐角的三角函数的概念
1、经历对现实生活中测量高度、宽度等活动，了解锐角三角函数的概念，能够正确
单元
学习 运用正弦、余弦、正切的符号表示直角三角形中两边之比，熟记30 ，45 ，60 角的各
目标
个三角函数值，并且会运用它们进行计算，会由特殊三角函数值求出角的度数.
2
2、能够利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数的值求出相
应的锐角.
3、理解直角三角形中的边与边的关系，角与角的关系，边与角的的关系，会运用勾
股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
4、会运用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，特别是测量中锐角
三角函数知识的运用，培养学生解决实际问题的能力和在生活中应用数学的意识.
5、通过锐角三角函数及解直角三角形的学习，进一步认识和体会函数及函数的变化
与对应的思想，领悟数形结合的思想方法.
1、前置性小研究作业目标
让学生根据自己的知识水平和生活经验进行尝试性学习，“以学定教”，让学
生带着问题走进课堂，提高课堂学习效率.
2、知识与技能巩固作业目标
这类题面向全体学生，目的主要在于把握学生对基础知识的掌握程度，了解学
生的知识与技能水平.能够熟练利用三角函数的概念求角的三角函数值以及解直角
单元
三角形.
3、能力发展作业目标
作业
这类题主要是检验学生对知识的灵活运用程度，由知识与技能到能力发展过渡，
让学生能够利用三角函数解决一些拐弯题、变式题甚至中考题，达到能够举一反三
目标
的目的.
4、素养提升作业目标
设置一些小组探究题、操作题、生活实践题等不同类型的题目，让学生体验生
活中处处有数学，让人人学有价值的数学，让不同的人在数学得到不同的发展.因此，
这类题的设置主要针对的是学优生，让他们能够在探究中提升数学学科素养，达到
真正的育人目标.
作业是课堂教学的延续，可以帮助学生预习、复习、巩固知识、训练技能、培
养学生的各种能力和创新意识，开发学生的学习潜能，帮助学生养成良好的学习习
惯，充分发挥作业的育人功能，落实“双减”政策，促进学生全面发展.我们将本单
元作业分为四类：
一、前置性小研究作业：从教材实际出发，设置一些简单、根本、开放性的问题，
让学生经历自主探究、操作、实践等过程，作为预习作业，为课堂小组交流展示归
单元
纳新知作准备，激发学生学习兴趣，发展学生探究问题和解决问题的能力，是进行
生本课堂的重要手段.
作业
二、知识与技能巩固作业：围绕本单元数学基本技能设计的知识与技能作业，根据
教材特点，设置面向全体学生的基础性作业，检验学生预习新知、接受新知的能力，
整体
也能够及时、有效地反馈学习效果.
三、能力发展作业：这是针对本单元知识灵活运用的反馈设置，是对基础知识的凝
设计
练与升华.根据数学新课程标准以及“双减”政策，合理、有效地设置试题，促进学
生能力的提高.
思路
四、素养提升作业：基于单元一体化考虑及让不同的人在数学上得到不同的发展，
在学习本单元各小节过程中，布置一些探究型、操作性、实践性等作业，让学生的
个性得到发展，素养得到提升.
四大类作业的设计，环环相扣，层层递进，将本单元的数学要素与人文要素融
为一体，实现数学与语文、物理等学科融合渗透，促进五育并举.
3
作 业 评 价 标 准
评价 自 小 教
级别 A B C D 我 组 师
参照 评 评 评
标准 价 价 价
字迹欠工整， 字迹潦草，
书写 字迹整洁美观 字迹工整
有涂改现象 有多处涂改
主动探究并带 积极探究思 完成部分探 未进行探究
前 置 性 动小组成员参 考问题，参 究活动，未认 活动，未参
小 研 究 与探究，对问题 与小组成员 真思考，未积 与小组交流
进行交流、分 交流、分析、 极参与小组
析、归纳 归纳活动 交流
积极认真思考， 积极思考并 未全面思考， 未思考，全
知识与技 全部完成，正确 完成，有少 错误率较高 面放弃
能巩固 率高 量错误
主动思考，全部 主动思考和 未全面思考， 未思考，全
能力发展 完成，正确率高 完成,有少 错误率较高 面放弃，或
量错误 思考部分但
错误率高
主动思考、完成 主动思考完 未全面完成， 未思考,全
素养提升 且正确率高 成，有少量 错误率高 面放弃
错误
思维导图完全 思维导图大 思维导图参 思维导图未
原创，单元知识 部分原创， 考笔记较多， 做或照搬笔
呈现完整、简 单元知识呈 或单元知识 记，单元知
明、扼要，积极 现比较完 呈现有缺漏， 识呈现过分
收集典型错题 整、清楚， 未积极收集 简单或复
和中考靓题，主 收集部分典 典型错题和 杂，未收集
单元小结 动思考素养提 型错题和中 中考靓题，未 典型错题和
升并带动小组 考靓题，主 认真思考素 中考靓题，
成员讨论探究 动思考素养 养提升或未 未思考素养
解决问题 提升，参与 积极参与小 提升或未参
小组交流、 组交流 与小组交流
分析活动 探究活动
卷面整洁，正确 卷面整洁， 卷面一般，错 卷面不干
单元质 率高 有少量错误 误率较高 净，错误率
量检测 高
4
第一课时 锐角的三角函数-正切--------------------------6
第二课时 锐角的三角函数-正弦与余弦--------------------8
第三课时 30 ，45 ，60 角的三角函数值--------------------12
第四课时 互余两角的三角函数关系----------------------14
第五课时 一般锐角的三角函数值------------------------16
第六课时 解直角三角形--------------------------------19
单元
作业 第七课时 解直角三角形的应用-仰角、俯角问题-----------22
设计
第八课时 解直角三角形的应用-方位角问题---------------25
目录
第九课时 解直角三角形的应用-坡度（坡角）问题---------28
第十课时 初高衔接-两个斜率公式-----------------------30
第十一课时 单元复习小结-------------------------------34
单元质量检测作业--------------------------------------39
单元质量检测作业答案与分析----------------------------45
5
第一课时 锐角的三角函数-正切
一、前置性小研究：（可根据自己的实际选做一个）
活动一：【我当小记者】采访你居住小区的汽车车主，衡量汽车性能的重要指标是哪些？
哪个性能和本节学习的知识有关呢？
活动二：【我是小骑手】从我校食堂到教学楼有一个上坡，当你从食堂骑车上坡到教学楼，
感受一下，想一想斜坡怎样改变，骑车上来会更轻松？
【设计意图】本活动是预习作业，都是实践活动，让学生从实际生活中发现本节相关知识
如汽车的爬坡能力与坡度关联，从学生骑车上坡体验坡度与哪些元素有关，激发学生学习
本节知识的欲望，同时让学生从生活中体验数学与实际的联系，让学生知道用数学眼光看
世界，同时锻炼了学生的表达能力，交际能力，实践活动能力，发展核心素养.
二、知识与技能巩固（A类）(完成时间 8至 10 分钟)
1、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，则 tanA 的值为（）
2 5 5 1
A. 2 B. C. D.
5 5 2
【作业分析】学生根据画图直接观察，两条直角边已知，代入正切函数公式计算即可。
【答案】选 D
2、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB=5，BC＝3，则∠B的正切值是（）
4 3 4 3
A. B. C. D.
5 5 3 4
【作业分析】先根据勾股定理求出∠B对边即可解决问题
【答案】选 C
3、小明把爷爷的放大镜放在直角三角板的一个锐角上面，则小明从放大镜里看到的锐角
的正切值与原来的正切值相比（）
A变大 B变小 C不变 D不确定
【作业分析】只要锐角的大小不改变，三角函数值就不变
【答案】选 C
4、在平面直角坐标系中，点 P坐标为（3， 3），且 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 ，则 tanα=
.
【作业分析】利用点的坐标与 x轴，y轴的距离关系即可得
3
【答案】
3
5、从城关中学食堂到教学楼有一斜坡 AB，坡度 i=1： 3，小华沿坡面向上走了 5m，则小
华沿竖直方向升高了 m.
【作业分析】利用坡度为坡角的正切知坡角为 30°，斜边为 5m，则对边为 2.5m.
【答案】2.5
6、如图，某小型拦水坝的横截面是四边形 ABCD，DC//AB,AD 为背水坡，其坡度为 i=1.5:1,
已知坝高为 4.5m,则背水坡水平宽度 AE 为多少？.
D C
4.5m
A B
E
6
【作业分析】 由坡度定义及 DE=4.5m 代入比例式即可求解
【答案】∵AD坡度 i=1.5:1
∴DE:AE=1.5:1 ，将 DE=4.5m 代入得
AE=3m
【设计意图】1至 6 题是必做题，重在考查正切、坡度、坡角的定义，利用定义进行基本
求边求角的运算，同时为后面解直角三角形及其应用奠定基础.
三、能力发展（B类）(完成时间 8至 10 分钟)
7、如图△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，则 tan B 的值为（ ） A
10 1 3 10
A. B. C. D.3
10 3 10
B C
【作业分析】利用方格网中∠B所在的直角三角形直角边分别为 1,3 求解.
【答案】D
变式题：如图，每个小正方形边长均为 1，A,B,C 均为格点，则 A
tan∠BAC= B
C
【作业分析】连接 BC，利用方格网中勾股定理求出△ABC 三边，由三边满足勾股定理的逆
定理知∠ABC=90°，利用正切定义求解即可.
2
【答案】
2
【设计意图】第 7题及变式题为选做题，重在考查学生的数学学习素养，如运用转化思想、
类比的方法解决数学问题，同时考验学生学科知识综合运用能力，如解决方格网中勾股定
理及其逆定理、三角函数求值的综合问题，
四、素养提升（C类）(完成时间 8至 10 分钟)
8、如图所示，在△ABC，已知∠BAC=120°，AB=4，△ABC 的面积为 2 3，求 tan B 的值.
A
B C
【作业分析】构造 AB 边上的高线 CD，利用面积公式求出 CD，再利用勾股定理求出 AD，接
3
着利用正切定义求出 tan B=
5 A D
【答案】作 AB 边上的高 CD，
∵AB=4，△ABC 的面积为 2 3 B C
1
∴ ×4×CD=2 3,得 CD= 3
2
7
∵∠BAC=120°, ∴∠CAD=180°－120°=60°
∴∠ACD=30°∴AC=2AD
设 AD=x,AC=2x，在 Rt△ACD 中 2 + ( 3)2 = (2 )2，解得 x=1（负根舍去）
3
∴BD=5，tan B=
5
【设计意图】本题设计利用本节三角函数等知识，从直角三角形问题拓展到解决斜三角形
里面的求值问题，让学生通过探究体会将斜三角形问题转化到直角三角形问题，体现转化
数学思想，同时本题也考查学生运用学科综合知识解决问题的能力，如三角形面积公式、
直角三角形的相关性质定理等
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
第二课时 锐角的三角函数-正弦、余弦
一、前置性小研究
量一量，算一算，想一想：观察课本 113 面图 23-4，测量△ABC，△AB1C1，△AB2C2三边长
∠ 对边 ∠ 邻边
度，求出在这三个三角形中 ， 的值，比较三个三角形中这两个比值有什么特点？
斜边 斜边
由此活动你有什么猜想吗？
【设计意图】本活动通过动手操作，让学生从测量、求值、比较中猜想
∠ 对边 ∠ 邻边
“ ”，“ ”几乎为定值（因测量有误差），激发学生对本节新课的求知欲.
斜边 斜边
8
二、知识与技能巩固（A类）（完成时间 5至 8分钟）
1、已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则 sin A 的值是( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 4 3
【作业分析】利用正弦定义代入计算即可
【答案】选 A
1
2、在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC=3,sin A＝ ,则 AC 的长度为 ____
4
【作业分析】由题意知 BC:AC=1:4，BC=3 代入比例式可得 AC=12
【答案】12
3、 在△ABC 中，AC=BC=1，AB= 2，则 sin A= ____，cos B=____
【作业分析】利用勾股定理逆定理判定△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，再利用正弦和余
弦的定义求解
2 2
【答案】 ，
2 2
5
4、如图，直线 y＝ x＋5与 x轴、y轴分别交于点 A，B，则 cos∠BAO 的值是 ( )
12
5 5 12 13
A. B. C. D.
12 13 13 12
y
ｘ
B
A O ｘ
【作业分析】先求出直线 AB 与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为 A（–12,0），B（0,5）得
OA=12,OB=5，故 AB=13，由余弦定义即可得出答案为 C
【答案】选 C
【设计意图】1至 4 题为必做题，为巩固本节正弦、余弦的定义理解，利用正弦、余弦解
决基本三角函数求值问题，同时强化学生综合运用知识的能力，如勾股定理，一次函数性
质等综合运用.
三、能力发展（B类）（完成时间 8至 12 分钟）
9
5、如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=16cm,菱形 ABCD 面积为 96，试求∠DAC
的三角函数值.
D C
O
A B
【作业分析】利用菱形 ABCD 面积与对角线的关系可求出 BD，再利用菱形性质和勾股定理
求出直角三角形△AOD三边，即可求出∠DAC的三角函数值
【答案】∵菱形面积为 96，
1
∴ AC﹒BD=96，将 AC=16 代入，得 BD=12，
2
由菱形性质知
∠AOD=90°，AO=8,OD=6，由勾股定理知 AD=10，
在 Rt△AOD中
sin∠DAC= 6 =3, 8 4 6cos∠DAC= = ,tan∠DAC= =3
10 5 10 5 8 4
6、如图，在四边形 ABCD 中，∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，AB＝26，BC＝24，则 cos B＝________．
D C
A
B
【作业分析】连接 AC，由勾股定理知 AC=10，计算得出 2 + BC2 = 2
12
故∠ACB=90°，cos B=BC:AB=
13
12
【答案】
13
【设计意图】5、6题为选做题，重在培养学生将四边形问题转化为含有直角三角形的问题，
如 5题中菱形的对角线互相垂直得直角三角形，6题中连接对角线 AC 得出直角三角形，其
次考查了学科知识综合运用，如菱形的性质，勾股定理及其逆定理等知识综合运用.
四、素养提升（C类）（完成时间 7至 10 分钟）
7、（规律探索与应用）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
1 3 2 2
sin30°＝ ，cos30°＝ ，则 sin 30°＋cos 30°＝__________；
2 2
2 2 2 2
sin45°＝ ，cos45°＝ ，则 sin 45°＋cos 45°＝________；
2 2
10
3 1 2 2
sin60°＝ ，cos60°＝ ，则 sin 60°＋cos 60°＝________；…
2 2
观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A＋cos2A＝________．
（1）你能利用已学知识证明你的猜想吗？若能，请给出证明；
（2）小华说：一个锐角的三角函数一定是正数，你觉得他说的对吗？为什么？
4
(3) 已知∠A为锐角且 cos A＝ ，结合（1）（2）求 sin A 的值．
5
【作业分析】(1）以锐角 A构造 Rt△ABC，结合勾股定理和三角函数计算即可得出猜想结论
（2）小华说的对，利用锐角的三角函数定义数形结合即可知正确
4 3
（3）将 cos A＝ 代入 sin2A＋cos2A＝1，结合（2）求得 sin A=
5 5
【答案】填空：1,1,1,1
（1）以锐角 A构造 Rt△ABC，设∠A,∠B,∠C对边分别为 a,b,c
2 2 2 2
则 sin2
a +b
A＋cos2A=a b
2
＋
2
=
2
由 2 + 2 = 2得 sin2A＋cos2A＝1
a
（2）小华说的对.以锐角 A构造 Rt△ABC，设∠A,∠B,∠C对边分别为 a,b,c，由 sin A= ,
c
cos A b＝ 知 sin A, cos A均为正数.
c
4
（3）将 cos A＝ 代入 sin2A＋cos2A＝1，
5
得 sin2A= 9，由（2）知 sin A＞0，故 sin A=3
25 5
【设计意图】本题为选做题，重在培养学生阅读与探究能力和解决问题的能力，通过本题
的探究让学生养成善于找规律，总结规律，验证规律并运用规律解决同类问题的良好思维
习惯.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
11
第三课时 30°,45°,60°角的三角函数值
一、前置性小研究：
[玩转学具] 拿出一副直角三角板，用刻度尺测量各边长度，算算各个锐角的三角函数，
分别等于多少？你有什么猜想呢？
【设计意图】通过本次活动让学生体会 30°,45°,60°角与直角三角板的锐角紧密相连，
而且通过这种操作，强化学生认识到直角三角形从角到边的关系，也为本节课的新知引入
起到抛砖引玉的作用，激发学生学习兴趣.
二、知识与技能巩固（A类）（完成时间 8至 10 分钟）
1、sin60°的值为 ( )
2 3
A. B. C.1 D. 3
2 2
【作业分析】熟记特殊角的三角函数即可
【答案】选 B
1
2、已知∠α为锐角,且 cos α= ,则∠α等于 ( )
2
A.30° B.45° C.60° D.90°
1
【作业分析】 cos60°=
2
【答案】选 C
3、在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,a=b=1,c= 2,则∠A的度数为( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
【作业分析】
2
由勾股定理的逆定理判定△ABC 为直角三角形，计算出 sin A= ,故∠A为 45°
2
【答案】选 B
4、计算：(1)4cos230°-2sin60°·cos45°;
2
(2)sin30°＋ sin45°+|-3tan30°|;
2
3 2 3 2 6
【作业分析】 (1)原式=4×( ) -2× × =3
2 2 2 2
(2) 1 2 2 3原式= ＋ × +3× =1+ 3
2 2 2 3
【答案】(1)3 6（2）1+ 3
2
【设计意图】1至 4题为必做题，重在巩固本节基础知识，如熟记 30°,45°,60°角的三
角函数值并且能利用这些函数值解决关于它们的综合运算，其次还要让学生通过此类题的
训练，知道锐角的三角函数和直角三角形性质紧密相连的关系.
三、能力发展（B类）（完成时间 5至 10 分钟）
5、点 M(-sin60°,-cos60°)关于 y轴对称的点的坐标是 ( )
12
3
A. ,- 1 3B. - ,- 1 3 1 1 3C. - , D. - ,-
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1
【作业分析】 由特殊角三角函数值知 M - ,- ，关于 y 轴对称点横坐标相等，纵坐标
2 2
互为相反数即可.
【答案】选 A
2
6、在△ABC 中,已知∠A,∠B 都是锐角, sin A- +(1-tanB)2=0,
2
那么△ABC 的形状为 ______.
2
【作业分析】由绝对值和平方具有非负性知 sin A= ,tan B=1, 因为∠A,∠B 都是锐角, 所
2
以∠A=45°,∠B=45°，∠C=90°，故△ABC 的形状为等腰直角三角形
【答案】等腰直角三角形
【设计意图】5至 6 题重视本节知识与其他章节知识的综合运用，如轴对称、绝对值和平
方的非负性组合求值等，难度有所提高，为选做题，鼓励学有余力的学生积极完成.
四、素养提升（C类）（完成时间 5至 10 分钟）
7、数学拓展课程《玩转学具》课堂中,爱观察的小敏同学发现:一副三角板中,含45 角的
三角板的斜边与含30 角的三角板的长直角边相等.如图（1），于是,爱动手操作的小敏同
学将这副三角板重新摆放如图（2），并由此模型和小组同学合作设计了一个问题:
如图,将一副三角板直角顶点重合叠放在一起,点B,C,D在同一直线上.若AB=4,求BD的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
E
A
C
D B
图（1） 图（2） 图（3）
2
【作业分析】在 Rt△ABC 中，由 cos B = , AB = 4 得 BC = 2 2，由题意知 CE = AB = 4，
2
3 4 3 2 2– 4 3在 Rt△CDE 中，由 tan E= ,CE = 4,得 CD = ,故 BD = BC–CD =
3 3 3
4 3
【答案】2 2–
3
【设计意图】第 7题为选做题，本题拿一副三角板拍照编制问题情景，这个问题的设计既
考查了本节特殊三角函数的运用，又渗透了素养教育，如动手操作能力，观察探究能力，
小组合作能力，数学建模思想等，并且培养学生善于提出问题和解决问题的能力.
13
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究 第
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
第四课时 互余两角的三角函数关系
一、前置性小研究：
在一副三角板中，先测量出每条边的长度，然后再求出每个锐角的正弦与余弦的值，你有
什么发现？然后和你的同伴交流看看有没有相同的发现.
【设计意图】通过设置动手操作，培养学生爱动脑勤思考，解决实际问题的能力；动手量
一量，画一画，发展学生动手能力、小组合作能力，为新知的学习做铺垫，降低难度，激
发学习兴趣.
二、知识与技能巩固作业（A类）（完成时间：4至 6分钟）
2
1、已知 cos48°≈ ，则 sin42°的值约为（ ）
3
2 1 3 2
A． 3 B． 3 C． D．

2 3
【作业分析】 根据互余两角三角函数的关系得出答案．
【答案】A
【设计意图】对一个具体角的运算让学生加深对新知的理解.
2
2、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sin A= ，则 cos B 的值为（ ）
2
1 2 3
A． 2 B． C． D．12 2
【作业分析】 根据互余两角三角函数的关系得出答案．
【答案】B
【设计意图】本题是对课本例题的改编，既可以简单模仿课本解法，又可以利用已学过的
特殊角的值来解决，这样可以验证新知的正确性，活跃了学生思维，给学生自主选择的空
间.
3、在 ABC中，∠ A，∠ B为锐角，且有 sin A cosB，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【作业分析】 利用互余两角的三角函数关系 sin A=cos（90°-∠A），来得出
∠A=90°-∠B．从而得出此三角形是直角三角形．
【答案】B
【设计意图】由三角函数值相等，正弦变成余弦得出角互余，是对性质的一种逆用，培养
学生反向思维能力.
14
1
4、已知∠A是锐角，且 sin A= ，则 cos(90°-∠A）=_____．
3
【作业分析】 根据互余两角的三角函数关系可得 cos(90°-∠A）=sin A，即可求解．
1
【答案】 3
【设计意图】把性质中的互余换成了数学式子，培养学生把文字语言变换成数学语言的能
力.
三、能力发展作业（B 类）（完成时间：6至 8分钟）
5、Rt△ABC 中， C 90o， sin A
1
，则 tan B的值是（ ）
2
3
A． B．1 C． 2 D． 3
3
1
【作业分析】 根据 30°的正弦值是 2 求出∠A，直角三角形的性质求出∠B，再根据 60°
的正切值计算．
【答案】D
【设计意图】已知角和未知角互余，但三角函数涉及到了正切，对学生观察分析题目提出
了更高的要求，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
sin +
6、若α,β是直角三角形的两个锐角,则cos -tan 2 的值为
【作业分析】根据三角函数的定义及互为余角的三角函数的关系得出.
【答案】0
【设计意图】本题考查互为余角的三角函数的关系，熟练运用定义进行推算是关键.考查
学生的观察能力与变形能力.
7、计算:cos21 +cos22 + +cos288 +cos289 （提示：sin2α+cos2α=1）
【作业分析】将余弦化成余角的正弦，结合括号的提示，即可求出。
【答案】原式=cos21 +cos22 + +cos244 +cos245 +sin244 + +sin22 +sin21
=(sin21 +cos21 )+(sin22 +cos22 )+ +(sin244 +cos244 )+cos245
=44+ 2
2 1 1
=44+2=442 2
.
【设计意图】考查了运用互余两角的三角函数的关系进行简便计算，需要学生结合括号的
提示对三角函数由余弦化成正弦，在做题的过程中感受学习本节课知识点的必要性.
四、素养提升作业：（C类）（完成时间：6至 8分钟）
8、（1）探究互余的两个锐角的正切值的关系；
（2）若α是锐角，tan α tan40°=1，则∠α=________；
（3）计算 tan1° tan2° tan3° … tan88° tan89°的值；
2
（4）设∠A、∠B是Rt ABC的两个锐角，则关于 x的二次方程 x tan A 2x tan B 0的根的
情况为_______.
15
【作业分析】（1）由正切函数的定义得 tanA tanB
a b
. 1
b a ，总结成文字规律即可；
（2）由上一题的结论可知∠α与 40°互余，即∠α=90°-40°=50°
（3）tan1° tan2° … tan88° tan89°
＝（tan1° tan89°）（tan2° tan88°）…（tan44° tan46°） tan45°
＝1．
(4)由∠A、∠B为Rt ABC的两个锐角，得 tanA tanB 1，再根据根的判别式代入系数即可求
出.
【答案】（1）互余的两个锐角的正切值乘积为 1（2）50（3）1（4）有两个相等的实数根
【设计意图】素养提升题围绕“应用实践、迁移创新”，让学生结合以前知识，在课堂学
习活动的基础上，进一步探究互余两锐角的正切值之间的关系，对知识的学习进行了迁移，
并对得到的结论进行了运用，真正做到学以致用，能有效地激发学生的学习兴趣和小组之
间的交流与合作，提升学生的综合素养.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
第五课时 一般锐角的三角函数值
一、前置性小研究：
用刻度尺和量角器，作出 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=40°
（1）用刻度尺测量得∠A的对边 BC= 斜边 AB=
BC
（2）算出比值 = ,即 sin 40°=
AB
（3）和同伴交流所得的结果是否一样？
【设计意图】 通过设置动手操作，培养学生动手解决实际问题的能力；动手量一量，画
一画，发展学生动手能力、小组合作能力，在和同伴交流中可能出现答案不一样的情况，
也就是出现了误差，这也为使用计算器求三角函数值提供了必然性，培养数学答题的严谨
性.
二、知识与技能巩固作业（A类）（完成时间：4至 6分钟）
1、用计算器求 sin 50 的值，按键顺序是（ ）
A． 5 0 sin B． sin 5 0 C． sin 0 5 D． 2ndF sin 5 0
【作业分析】由学生实际操作可得出答案.
【答案】B
2、利用计算器计算 sin63°52′41″的值.（精确到 0.01）
16
【作业分析】
显示结果为 0.897 859 012. 所以 sin63°52′41″≈0.90.
【答案】0.90
【设计意图】题 1,2都考查了学生用计算器求一般锐角的三角函数值的方法，题 1中角的
单位是度，题 2中的角涉及到了度分秒的变换，题 2对学生要求更高.
3、如果已知 cos A＝0.9816,运用计算器计算 ∠A≈ ____ （精确到 1°）
【作业分析】由学生实际操作可得出答案.
【答案】11°
4、某段时间内长江堤岸比江面高 10m，汽车要想渡江需要行驶 40 m 长的斜道,如图所示,
我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A.2ndFsin-10·25= B .sin2ndF0·25=
C.sin0·25= D .2ndFcos-10·25=
【作业分析】 sinA= = 10=0.25,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时 ,按键顺序为
40
2ndFsin-10·25=.
【答案】A
【设计意图】题 3,4都考查了已知三角函数值用计算器求锐角的方法.题 3直接考查了用计
算器求角的方法，强化学生基础知识的掌握.题 4是在一个具体情境中设置的问题，考查学
生把生活情境中寻找数学条件的能力.
三、能力发展作业：（B 类）（完成时间：8至 10 分钟）
5、下列式子正确的是 ( )
A.sin 50°＝cos 51° B.cos 50°>cos 36° C.sin 57°cos 32°
【作业分析】用计算器求出每个三角函数的值再进行大小比较即可.也可以化成同名的三角
函数再根据函数值随着角度变化的规律解题.
【答案】C
【设计意图】本题考查的是进行三角函数值的大小比较的问题，本题可以采用多种方法解
题，可以使用计算器求解则能进一步锻炼学生使用计算器求函数值的能力，也可以先化成
同名三角函数再根据函数值随着角度变化的规律解题.可以在做完之后学生交流做法，既
能锻炼学生表达能力，提高积极性，也能让学生体会一题多解的思考方法.
4
6、在 Rt△ABC中,∠C＝90°,若 tan B= ，则锐角∠B 满足（ ）
5
A.0°< ∠B <30°B.30°< ∠B <45° C.45°< ∠B <60° D.60°< ∠B <90°
【作业分析】可以用计算器求出∠B的值得出范围，也可以由随着角度变大正切值也变大
的规律得出.
【答案】B
7、若锐角α满足 sin(80°－3α)>sin α,则α的取值范围是
【作业分析】 由随着角度变大，正弦切值而变大的规律得出 0°<α<80°－3α，解出不等式即
可.
【答案】0°<α<20°
17
【设计意图】题 6,7 都是考查由三角函数值求锐角取值范围的题型.题 6考查的是正切函数
值随角度变化的规律.题 7考查的是正弦函数值随角度变化的规律,本题是题 5的逆用.
8、已知:如图,小明家在 C处，AB 为园林步行街所在的位置，由于有建筑物的遮挡，小明
只能从两侧进入.已知 AB 两处的距离为 8 km,AC 两处的距离为 9 km,AC 与 AB 夹角为 48°.
求:(1)假设遮挡的建筑物全部被拆掉，那么小明家离步行街最近的距离约为多长(精确到
0.01 km);
(2)若小明站在点 B处，则此时小明和家的连线与步行街的夹角约为多大.(精确到 1′).
【作业分析】先构造直角三角形再运用三角函数的知识得出表达式，最后运用计算器可以
求出.
【答案】(1)作 AB边上的高 CH,垂足为 H.
CH
∵在 Rt△ACH中,sin A= ,∴CH=AC·sin A=9sin48°≈6.69 km
AC
答：.小明家离步行街最近的距离约为 6.69 km
BH
(2) ∵在 Rt△ACH中,cos A= ,∴AH=AC·cos A=9cos48°
AC
CH CH
∴在 Rt△BCH中, tan B= = = 9sin48° ≈3.382 ∴∠B≈73°32'.
BH AB BH 8-9cos48°
答：小明和家的连线与步行街的夹角约为 73°32'.
【设计意图】这是一个实际应用的问题，需要将文字题需变成几何问题，考查学生理解题
目的能力，在问题处理过程中涉及到等式变形，用计算器求三角函数值，进一步巩固新知.
四、素养提升作业（C 类）（完成时间：6至 8分钟）
9、（1）在探究了余弦值随着锐角的变大而减小的规律后，小明发现了若α,β,α＋β都
是锐角,cos α＋cos β与 cos(α＋β)的大小关系，你也发现了吗？写出结论并说明理
由.
（2）当余弦换成正弦时，还有类似规律吗？请说明理由.（提示：验证时可借助提示图）
【作业分析】可以先举出几种具体角的例子猜想规律，再根据三角函数的定义进行验证.
【答案】（1）cos α＋cos β>cos(α＋β)
∵α<α＋β，随着角度变大余弦值变小
∴cos α>cos(α＋β)
故 cos α＋cos β>cos(α＋β)
（2）猜想:sinα＋sinβ>sin(α＋β).
验证：∵sinα＋sin β AB BC AE＝ ＋ , sin(α＋β)＝ ,
OA OB OA
OA>OB,∴ BC > BC , ∴ AB BC > AB BC AB＋BC∵ ＋ ＋ ＝ . 提示图
OB OA OA OB OA OA OA
AB＋BC AE
∵AB＋BC>AE,∴ > ,
OA OA
∴sin α＋sin β>sin(α＋β).
【设计意图】本题考查了学生探究新知的能力，体会由特殊到一般的探究方法，猜想不一
定成立，还需要验证，让学生感受数学探究过程中的严谨性，同时学生思维、演算能力得
到提升；在问题解决的过程中，促使学生方法的形成和核心素养的融合发展.
18
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
第六课时 解直角三角形
一、前置性小研究：
画一个 Rt△ABC，∠C=90°，想一想两锐角有什么关系，三边有什么关系呢？如果知道一
角一边，你能求出哪些元素呢？
【设计意图】同学们自主探究，小组合作交流，既增加学生的感情，又锻炼学生间团结协
作，以及动手能力.让每位同学都参与进来，快乐中学习.
一、知识与技能巩固（A类）(完成时间 4至 6分钟)
1、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，
解这个直角三角形．
（1）∠B=60°，a＝4； （2）a＝1，b 3．
【作业分析】在 Rt△ABC 中，根据一角一边或两边，可以求出其他元素。
【答案】1、（1）根据∠C＝90°,∠B=60°得到∠A=30°，根据 a=4,用正弦求出 c=8,用
余弦求出 b=4 3；（2）根据∠C＝90°a＝1，b 3 ,求出 c=2，用正弦、余弦定义求出
∠B=60°，∠A=30°.
2
2、已知∠A为锐角，且 sin A＝ ，那么∠A度数是多少？
2
2
【作业分析】根据 sin A＝ ，得到∠A=45°
2
【答案】∠A=45°
【设计意图】A类题面向全体学生，检验学生对基础知识的掌握程度，反馈学习效果，关
注全体学生特别是学困生的知识与技能水平.
三、能力发展作业（B 类）(完成时间 10 至 15 分钟)
1、如图所示的是一段国家级旅游圣地安徽黄山云谷索道的示意图．已知 A、B两点间的距
离为 2666 米，∠BAC=α，则缆车从 A点到 B点上升的高度（即 BC 的长）为（ ）
19
2666 2666
A．2666sinα 米 B． α米 C．2666cosα米 D． 米
BC
【作业分析】根据 sin α= AB求解．
【答案】A
【设计意图】本题是一题研究测量索道上升高度问题，在直角三角形中，知道一边和一角，
可以求其他边和角，本题是代公式巩固基础题，索道是学生非常喜欢的话题，每位同学都
喜欢去景点游玩，放松一下学习的压力和辛苦，关键坐在缆车上，既刺激舒服，又能感受
一览众山小，看到优美的风景，别有一番风味.
2、下图是某游乐场一山顶滑梯的高为 BC=6 米，滑梯的坡角为 30°，那么滑梯长 AC 为
（ ） 米.

【作业分析】根据 sin A = 求解．
【答案】12
【设计意图】本题是电梯问题，去商城坐电梯是我们生活中常见的事，研究电梯模型是数
学中一类题型.通过本题让学生熟练掌握锐角三角函数的定义．
3、长征一号火箭于 1965 年开始研制.1970 年 4 月 24 日，首次将中国第一颗人造地球卫星
--东方红一号成功送入太空.该火箭共进行两次卫星发射，成功率 100%，第二次发射时间
是 1971 年，震撼人心.当长征一号火箭从地面到达点 A处时，在 P处测得 A点的仰角 DPA
为30°且 A与 P两点的距离为 2160 千米，它沿铅垂线上升 100 秒后到达 B处，此时在 P处
测得B点的仰角 DPB为45 ，求长征一号火箭从A处到B处的平均速度（．结果精确到1m / s，
取 3 1.732, 2 1.414）
20
【作业分析】根据在 P处测得 A点的仰角 DPA为30°且 A与 P两点的距离为 6千米，可以
求出 PD的长，再根据此时在 P处测得 B点的仰角 DPB为 45 ，Rt△BDP为等腰直角三角形，
可以间接求出 AB的长，再利用平均速度的计算公式即可求解．
【答案】7900 m/s
【设计意图】B类题注重学生对知识的变式（灵活）应用能力，是对知识掌握程度的一次
升华.题目的选择，题型的设置向中等生倾斜.主要考查了解直角三角形的应用，解题的关
键是：掌握仰角俯角的定义．长征一号火箭成功发射，震撼人心．科技是第一生产力，每
位学生都有一个科技梦，每一个科技都是从测量收集计算开始的，学好数理化，学到科技
走天下，培养学生的发散思维、开拓进取的精神.
四、素养提升（C类）(完成时间 10 至 15 分钟)
数学小组合作探究，用面积法来证明:在锐角△ABC 中，∠A对边为 a,∠B 对边为 b,

∠C对边为 c,有 = =

活动一：同学们能不能用三角形面积公式，结合三角函数用一角和两边来表示三角形的面
积呢？能写出三种表示形式吗？

活动二：同学们能用上面的结果来证明 = = 吗？ 小组合作探讨试试看.
【学以致用】
根据上面得到的公式求下列各题
1、在锐角△ABC 中，AB=2，AC=3，∠A=30°，三角形的面积是多少呢？
2、在锐角△ABC 中，BC= 2，∠A=60°，∠B=45°，求 AC.
【作业分析】活动一、二：构造三角形三边的高线，用三角函数表示三边上的高，再用面

积相等，变形即可得 = =

【学以致用】1、根据上面公式，S△ABC= ，得到 S2 △ABC=3.
= = = 2 32、由 ， ，得到 AC= .
3

【答案】活动一、二：过 B 作 BD⊥AC，根据∠A 和 AB 长为 c,得到高 BD=c sin A,所以 S△ABC= ，同2
理得到
S = = =

△ABC ，每项都除以 ，再倒数即可证出 = = .2 2 2 2
2 3
【学以致用】1、S△ABC=3，2、AC= .3
21
【设计意图】本题是课本例题和复习题的改编题，回归课本，把例题和复习题很好衔接的
一题，也是一种计算锐角三角形面积的非常好的方法.通过活动，让每位同学都能参与进
来，交流合作体现生本理念，又锻炼了学生的动手能力.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
第七课时 解直角三角形及其应用--仰角、俯角
一、前置性小研究;
同学们想知道城关中学钟楼的高度吗？谁有什么好方法测量出高度呢？能不能用测角仪
和皮尺来完成这个任务呢？
【设计意图】同学们自主探究，小组合作交流，既增加学生的感情，又锻炼学生间团结协
作，以及动手能力.让每位同学都参与进来，快乐中学习.
二、知识与技能巩固（A类）（完成时间：8至 10 分钟）
1、城关中学钟楼是城关中学标志性建筑，学生们想测量出它的高度，在钟楼前的平地上 A
处，观测到钟楼顶C处的仰角为 30°，在平地上 B处观测到钟楼顶C处的仰角为45 ，并测
得 A、B两处相距5 3 m，求钟楼 CD 的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据： 2 1.41，
3 1.73）

【作业分析】因为∠CBD=∠BCD=45°，所以令 CD=BD=x m，tan A= 建立关系，即可求解.

【答案】11.8 m
2、小孤山，位于安徽省宿松县城东南 65 公里的长江之中，南与彭泽县仅一江之隔，西南
与庐山隔江相望 ，是万里长江的绝胜，江上第一奇景，学生想通过测量估计小孤山CH 的
高度，在山前的平地上 A处，观测到山顶C处的仰角为 30°，在平地上 B处观测到山顶C处
22
的仰角为45 ，并测得 A、 B两处相距 48 m，求小孤山CH 的高度．（结果保留整数，参考
数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732）

【作业分析】因为∠CBH=∠BCH=45°，所以令 CH=BH=x，tan A= 建立关系，即可求解 CH.

【答案】66 m
【设计意图】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结
合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的生活
中，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴
趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习激情，增强学好数学的信心.
三、能力发展作业（B 类）（完成时间：6至 10 分钟）
1、如图，某活动小组利用无人机航拍城关中学校园，已知无人机的飞行速度为 2m/s，从
A处沿水平方向飞行至 B处需 30 s，同时在地面 C处分别测得 A处的仰角为75 ，B处的仰
角为30°．则这架无人机的飞行高度大约是_______m（ 3 1.732，结果保留整数）
【作业分析】过点A作 AD BC于点D，过点 B作水平线的垂线，垂足为点E，先解直角三
角形求出BD,CD的长，从而可得 BC，再根据直角三角形的性质求出 BE的长即可得．
【答案】41
2、这是城关中学食堂与教学楼之间示意图，通过学生用遥控无人机测量出两楼顶点之间
的距离，从食堂顶端点 A处飞行到对面教学楼 MN 的顶端 M，无人机飞行方向与水平方向的
夹角为 37°，从点 A看教学楼底部 N点的俯角为 30°，两楼之间一棵树 EF 的顶点 E恰好
1
在视线 AN 上，已知树的高度为 4米，且 = 3，楼 AB，MN，树 EF 均垂直于地面，问：无
人机飞行的距离 AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据： cos37°≈0.80， tan37°
≈0.75）
37°
30° C
23
【作业分析】过A作 AC MN于C，易证△EFN∽△ABN ，得 AB=4EF=16 m，则 CN=16 m，再
由锐角三角函数求出 AC，然后在Rt ACM 中，由锐角三角函数定义求出 AM的长即可．
【答案】35 m
【设计意图】本题是对课本例题的变式，有一定的人文色彩，可以检验学生分析问题的能
力和类比，知识迁移的能力，并掌握必要的数学活动经验.提高解实际问题的能力.检验同
学们在俯角、仰角的认知基础上，能否找到直角三角形，并能选用合适的锐角三角函数解
实际问题.
四、素养提升（C类）（完成时间：6至 8分钟）
城关中学数学兴趣小组去测量一棵树的高，在 G处放置一个小平面镜，当一位同学站在 F
点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A的像，此时测得 FG＝2 m，这位同学向树
方向前进了 5 m 后到达点 D，在 D处安置一高度为 0.8 m 的测角仪 CD，此时测得树顶 A的
仰角为 30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离 EF＝1 m，点 B，D，G，F在同一水平直
线上，且 AB，CD，EF 均垂直于 BF，求这棵树 AB 的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，
结果保留整数 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732）
H
【作业分析】过点 C作 CH⊥AB 于点 H，则 CH＝BD，BH＝CD＝0.8m，由锐角三角函数定义
求出 BD＝CH＝ 3 AH，由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
EF FG
再证△EFG∽△ABG，得 AB BG ，求出 AH ，即可求解．
【答案】6 m
这是一道数学兴趣小组去测量一棵树的高经典问题，再加一个平面镜反射，运用物理知识，
反射角等于入射角，跨学科综合运用能力得到提升.这是数学和物理知识衔接题，很好衔
接了数学与物理知识，发散拓展了学生的思维.这个题目设计既锻炼了学生动手能力，又
体现了学生小组合作能力，更激发了学生的兴趣.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
24
第八课时 解直角三角形应用--方位角
一、前置性小研究：
1、教室里，小刚坐在第二排，小红坐在他前一排的右手边，是他北偏东 60°的位置， 那
么小刚又是在小红的什么位置呢？
2、以你现在的座位为基准，选两位好朋友的座位，看他（她）在你的什么方位，同时考
考他（她），你又在他（她）的什么方位.
【设计意图】前置性小研究问题的设置，选择学生与朋友的座位问题，可以培养他们之间
的友好互动，合作交流，体现了我校生本理念的特色，同时也为本节课的新知学习---方位
角做好准备，通过小组间的互助理解其定义，有效提高课堂效率，激发学习兴趣.
二、知识与技能巩固作业：（A类）（完成时间：6至 10 分钟）
1、“双减”后某个轻松的周末下午，小林与父母来到山水公园“水上乐园”游玩，三人
坐上了游艇.出发后，小林说“这游艇速度真快，感觉太好了”，身为数学老师的爸爸回答：
“生活处处有数学，你能算出它的速度吗？”小林立即拿出随身携带的纸与笔，目测此时
大约在出发点东南方向 100米处，手腕电子表显示时间是 15:30:10.他略作思考，在纸上画
出示意图，记下数据.再抬头，游艇已到出发点的正南方向，而电子表显示时间为 15:30:20.
几分钟后，小林成功得到了爸爸的夸奖.你知道小林算出的答案吗？请动手画一画示意图再
求解.
2、国庆小长假，张莉一家报了一个海上观光旅游项目.导游介绍海中有一小岛 A，它周围 6
海里内有暗礁，游船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 8 海里
到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．如果游船不改变航线继续向东航行，
有没有触礁的危险？
【作业分析】1、以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°
的角，叫做方位角.该题以“出发点”为基准画图，东南方向即南偏东 45°，构造等腰直
角三角形，斜边是 100 米，可求得直角边即为路程，时间是 10 秒，最后得出航速.
2、过点 A 作 AC⊥BD 于点 C，由题意知∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，设 AC＝x 海里，∵BC
－CD＝BD，即 3x－ 33 x＝8，解得 x＝4 3>6，从而判断出不会有触礁的危险．
2
【答案】1.100×sin45°=100× 2 =50 2 (米)
50 2 ÷10= 5 2 （米/秒）
即游艇的速度为 5 2米/秒.
第 1 题 第 2 题
2、过点 A作 AC⊥BD 于点 C，设 AC＝x 海里
AC
在 Rt△ABC 中，∵∠ABC＝30°，tan∠ABC= ∴BC= 3x 海里
BC
AC 3
在 Rt△ADC 中，∵∠ADC＝60°，tan∠ADC= ∴DC= x 海里
DC 3
25
3
又∵BC－CD＝BD， ∴ 3x－ x＝8，解得 x＝4 3>6
3
故游船不改变航线继续向东航行不会有触礁的危险．
【设计意图】知识与技能巩固题 1既明确方位角的概念，又培养学生动手操作画图与计算
能力，培养学生数学应用于生活的意识，还培养学生良好的学习行为习惯，如随身携带纸
笔等.第 2 题及时巩固课本例题内容，让学生体会游船在海上航行时的实际情景，从而培
养空间想象能力.本题解法灵活多样，既可以简单模仿课本解法这一通法，又可以利用本
题两个角涉及到的特殊值，利用等腰三角形等方法解题，发散学生思维，体会解题的灵活
性.
三、能力发展作业：（B 类）（完成时间：4至 8分钟）
3、 A、B是我县城两个待开发的乡村，C是一个森林公园，C在 A村的北偏东30 ，在 B
村的北偏西 45 ，且C与 A村相距 3千米. B村在 A村的正东方向. 以C为圆心，以 1千米
为半径的圆形区域内有古迹和珍贵树木，现要在 A、 B两村间修建一条笔直的振兴大道.
（1）请你画出示意图并计算振兴大道的长（结果保留根号）.
（2）请你分析这条振兴大道设计是否合理，有没有可能对古迹与珍贵树木造成损毁.
【作业分析】解本题的关键是根据题意构造直角三角形，只要过C作CD AB于D，就得
到两个特殊角的直角三角形. 这样就把问题转化为解直角三角形问题来解决.
【答案】
（1）过C作CD AB于D
AD CD
在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝30°，AC=3 千米，sin∠ACD= cos∠ACD=
AC AC
3 3
∴AD= 千米,CD= 3千米
2 2
3 CD
在 Rt△CBD 中，∵∠CBD＝45°，CD= 3千米，tan∠CBD=
2 BD
3
∴BD= 3 3 3 3千米，∴AB=AD+BD= + 3 = （1+ 3）千米
2 2 2 2
3
即振兴大道的长是 （1+ 3）千米.
2
3 D
(2) ∵CD= 3千米>1 千米 ∴这条振兴大道设计合理.
2
【设计意图】能力发展题使得大部分学生能充分利用已经学过的解直角三角形等知识，通
过操作、计算、分析、判断，以解决生活中的实际问题，了解数学在现实生活中的作用.
本题引导学生思考设计公路的合理性，以更好的对古迹与珍贵树木的保护，加强学科间的
联系，培养学生保护自然环境、维护我们美好的家园意识.
四、素养提升作业：（C类）（完成时间：5至 10 分钟）
4、 宿松县人民路是一条东西走向的公路,路边有两个超市 A，B，在超市 A的北偏东 45°
方向有一个小区 C，C到公路的最短距离是 150m，C 到超市 B的直线距离是 300m.想要经过
小区 C修一条笔直的公路与人民路相交，使两路交叉口 P到 B，C的距离相等，请你和小
伙伴一起画出设计图并求出交叉口 P到超市 A的距离(结果保留根号)．
26
【作业分析】此题针对点 P的位置分两种情况讨论，即点 P可能在线段 AB 上，也可能在
BA 的延长线上，再利用线段垂直平分线的性质画图后解直角三角形即可.
【答案】解：分两种情况：
(1)如图①，在 Rt△BDC 中，CD＝150m，BC＝300m，
∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.
∴在 Rt△CDP 中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°.
CD 150
∴DP= = =50 3 m
tan CPD tan 60
在 Rt△ADC 中，∵∠A＝45° ∴AD＝DC＝150m.
∴AP=AD+DP=(150+50 3 )m
（2）如图②，同理可求得 DP=50 3 m,AD＝DC＝150m.
∴AP=AD - DP=(150-50 3 )m
故交叉口 P到超市 A的距离为 （150+50 3）m或(150-50 3 )m.
【设计意图】本题意在“应用实践、迁移创新”，让学生结合以前线段垂直平分线的性质
等知识，在课堂学习活动的基础上，进一步探究，重视培养学生转化思想，把求一般三角
形的边长或高的问题转化为解直角三角形的问题；同时培养学生分类讨论的方法，解题要
全面、细致、不遗漏；通过与小伙伴一起画设计图，能有效地激发学生的学习兴趣，加强
了小组之间的交流与合作，达到提升人际交往等能力目的.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
27
第九课时 解直角三角形应用--坡度（坡角）问题
一、前置性小研究
1、学校南门出口是一个斜坡，请你与小组一起合作设计一个方案，计算它的坡度.
2、学校宣传部预计明年开学季在斜坡上粘贴一幅“爱我校园，爱我中华”主题的创意宣
1
传画，上底只有伸缩门的 ，下底直达绿化带两旁.你能帮宣传部量一量、画一画并算一算
3
这幅画的面积吗？
【设计意图】通过设置动手操作、设计方案求坡度问题，培养学生爱动脑勤思考，解决实
际问题的能力；通过动手量一量，画一画，算一算帮助学生理解坡度、坡角以及面积的问
题，发展学生动手能力、小组合作能力，把数学应用于生活等综合能力.
二、知识与技能巩固作业（A类）（完成时间：5至 10 分钟）
1、小敏回家途中有一斜坡，他骑自行车从坡底走到坡顶共用了 50 秒，车速是 2m/s，自行
车行驶的水平距离是 80 米，则这个斜坡的坡度是________．
【作业分析】坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记
作 i， 即 i = h : l .此题坡面距离为 50×2＝100m，水平距离为 80m，由勾股定理求得
铅直高度后即可求得坡度.
【答案】 3 : 4
2、正在施工的城关医院场地现有一堆泥土，其横断面为梯形 ABCD，通过测量，下底 BC 长
为 10 米，高为 4米，斜坡 CD 长 5 米，斜坡 A B 的坡度 i=1 : 1.根据这些数据请求出：
（1）∠B、∠C的大小
（2）上底宽 AD 和斜坡 AB 的长
【作业分析】∠B的大小可由坡比 i=1 : 1 得出是 45°，∠C先算出坡比是 4: 3，再利用
计算器求得；求上底宽只需先作出高，再在两个直角三角形中由坡比与勾股定理求得即可.
【答案】过点 A作 AE 垂直 BC 于点 E，过点 D作 DF 垂直 BC 于点 F
（1）∵斜坡 A B 的坡度 i=1 : 1 ∴∠B=45°
在 Rt△CDF 中，∵CD=5 米，DF=4 米 ∴CF=3 米
DF
由 tan C= =4:3,得∠C=53°
CF
即∠B=45°，∠C=53°
AE
（2）∵斜坡 A B 的坡度 i=1 : 1= ，AE=4 米，∴BE=4 米
BE
∴AD=EF=BC -BE-CF=10-4-3=3（米），AB=4 2 （米）
答：上底宽 AD 长 3 米和斜坡 AB 长 4 2 米
【设计意图】通过解答基础过关题及时巩固本课时内容 ，理解坡度与坡角的关系，并会
正确计算相关问题，学生的基本技能得到落实.问题 1的情景设计有效结合了学生的生活
实际，培养学生应用数学的意识.
28
三、能力发展作业（B 类）（完成时间：5至 10 分钟）
3、在党的方针政策下，刘琳家的经济条件越来越好，最近新买了一台轿车.她家的院子门
口是一宽 5米的斜坡，其横断面是一个梯形.为了方便轿车进出，现打算加宽坡顶、延长
坡面.已知坡高 0.8 米，上底加宽 2米，坡面坡度由 1 : 1 改为 1 : 3，你能帮刘琳算一算
下底加宽多少吗？完成这项工程需要多少方混泥土？
【作业分析】解本题的关键是理解坡比的意义，先作出高,构造直角三角形，可得两个水
平距离分别是 2.4 米与 0.8 米，故下底加宽 2.4+2-0.8=3.6 米，再根据梯形的面积计算公
式算得面积，后再乘以 5得多少方混泥土.
【答案】解：过点 E作 EG 垂直 AF 于点 G，得 DH=EG=0.8 米，GH=DE=2 米
DH EG
∵ =1：1， =1：3，∴AH=0.8 米，FG=2.4 米
AH FG
∴AF=FG+GH - AH=2.4+2-0.8=3.6 米，即下底加宽 3.6 米.
1 1
∴四边形 ADEF 的面积是： ×（AF+DE）×DH= ×（3.6+2）×0.8=2.24（米 2 )
2 2
故完成这项工程需要 2.24×5=11.2 米 3混泥土.
【设计意图】通过完成能力发展题，使得大部分学生能充分利用已经学过的解直角三角形
等知识，解决生活中的实际问题，了解数学在现实生活中的作用，体会成功的喜悦，且进
一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系.
四、素养提升作业（C 类）（教材第 138 页 B 组第 7 题变式题）（完成时间：5至 10 分钟）
4、手工大赛上，主办方给每位选手提供一条 1米长的花边.现在小玲想用它围成一个底角
为 60°的等腰梯形（只围三边，不包括底边），使得围成的梯形面积最大.心灵手巧的你，
知道小玲是怎么做的吗？
【作业分析】此文字题需变成几何问题，先作出高，设腰长为 X 米，再由特殊值 60°解直
角三角形，求出需要的长度，从而列出梯形面积为关于 X 的二次函数表达式，就转化成了
一个二次函数求最值问题，再通过配方法迎刃而解.
【答案】解：设小玲围成的梯形是 ABCD，AB=CD=x 米，∠A=∠D=60°，过点 B 作 BK 垂直 AD
1 3
于点 K，过点 C作 CH 垂直 AD 于点 H ∵AK=DH= x,BK=CH= x，BC=KH=1-2x
2 2
1 3 3 1 3
∴AD=AK+KH+HD=1-x ∴S= （1-2x+1-x) x=- 3 (x- ) 2 +
2 2 4 3 12
1 1
∴当 x= 时，面积最大. 故小玲只需将绳子的 作为梯形的
3 3
腰即可.
29
【设计意图】本题把解直角三角形与二次函数求最值相结合，将几何与代数相融合，体现
了转化的思想，使学生思维、演算能力得到提升；在问题解决的过程中，促使学生方法的
形成和核心素养的融合发展.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
第十课时 初高衔接-两个斜率公式
一、前置性小研究(短周期性作业）
平面直角坐标系内，当直线 l 与 X 轴相交时,我们取 X轴作为基准,X 轴正方向与直线 l 向
上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角.
请同学们收集关于对一次函数 y kx b中系数“k”的认识，并与小组成员交流看法；尝
试合作探究它与直线的倾斜角、与直线上两点的坐标之间的关系.
【设计意图】前置性小研究的设置，可以检验学生自主学习的能力，体现生本理念；让学
生带着问题走进课堂，提高课堂学习效率与学习效果.
二、知识与技能巩固(A 类）(建议完成时间 5至 8分钟）
阅读并解决下列问题：
直线 y kx b向上方向与 X轴正方向所夹锐角为α,k=tan α,我们称 k为直线
y kx b的斜率.
1、倾斜角分别为30 ,45 ,60 的直线的斜率分别是
【作业分析】把 3个特殊角代入斜率公式 k tan 即可求解.
3
【答案】 ，1，3
3
2、直线 y 3x 1向上的方向与 x轴正方向的倾斜角是
【作业分析】利用 tan 3即可得出倾斜角 =600 .
【答案】 =600
变式：试求直线 3x y 3 0与 x轴正方向的倾斜角
【作业分析】把 3x y 3 0化为 y kx b的形式，再利用 k tan 即可求出倾斜角
=600 .
30
【答案】 =600
3、若直线过（-2,3）和（0,5）两点，则直线的斜率为 ，倾斜角为 .
y y
【作业分析】把两点坐标代入公式 k 2 1 即可求出直线斜率，然后利用 k tan 就可
x2 x1
求出倾斜角.
【答案】：1， 45
【设计意图】A类题面向全体学生，检验学生对基础知识的掌握程度，反馈学习效果，关
注全体学生特别是学困生的知识与技能水平.
三、能力发展作业（B 类）（建议完成时间 5-10 分钟）
1、试求过点（-2,3）且与直线 y 2x 1垂直的直线的解析式
2、斜率为 2的直线经过（3,5）和（ a，7），则 a的值为
3、若三点 A（5,1），B（ a，3），C(-4,-1)在同一条直线上，试确定 a的值
【作业分析】1、设直线的解析式为 y kx b，利用两直线垂直时 k1k2 1，得 k值，再
y y
把（-2，3）代入即得 b的值，从而得出直线解析式. 2、利用公式 k 2 1 即可求出 a
x2 x1
的值.3、本题学生最先想到的解法可能是利用待定系数法，把 A，C两点的坐标代入解析
式求出 k和b的值，得出解析式，再把 B 点坐标代入所求的解析式，从而求出 a的值；但
y y
也有少数同学利用本节所学的斜率公式 k 2 1 求解，由 A，B，C三点共线，得到
x2 x1
k AB k AC ，可快速求出 a的值.
1
【答案】1、 y x 2 2、 a 4 3、 a 14
2
【设计意图】B类题注重学生对知识的变式（灵活）应用能力，是对知识掌握程度的一次
升华.题目的选择，题型的设置要向中等生倾斜.三个小题的设计，体现对直线斜率的灵活
应用，由浅入深，体现学生思维的灵活性.
四、素养提升（C类）（二选一完成）
1、进入高中学习后，直线 y kx b的倾斜角 可以为钝角，斜率 k 也可以为负数，请尝
试解决下面的问题：（建议完成时间 10 分钟）
31
如图，已知在直角坐标系中，A（9，0），B（0，6），将∠BAO 翻折，使顶点落在 OB 的中
点 C处，折痕交 OA 于 D，交 AB 于 E，
求：（1）填空题：直线 AB 的斜率为 ．（2）折痕 DE 所在直线的函数解析式．
y y
【作业分析】（1）根据公式 k 2 1 即可求出直线 AB 的斜率；（2）连接 AC，根据 A
x2 x1
与 B 的坐标，利用中点坐标公式求出 E 的坐标，由折叠的性质得到 AD＝CD，AC⊥DE，设
CD＝x，则有 OD＝9﹣x，在直角三角形 COD 中，利用勾股定理求出 x的值，确定出 D坐标，
根据直线 AC 的斜率求出 DE 的斜率，设出直线 DE 解析式，把 D 坐标代入求出 b 的值，即
可确定出直线 DE 解析式．
【答案】（1） ﹣ （2）y＝3x﹣12．
2、尝试写一篇微型数学日记，谈谈你对本课时的一些感想（可作为短周期性作业）
【设计意图】C类题设置弹性作业，考虑到“让人人学有价值的数学，让不同的人在数学
上得到不同的发展”.“数学日记”作为短周期性作业，可以训练学生的写作水平，体现
数学与语文、物理等学科间紧密联系.
【作业展示】
32
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
知识与技能巩固
能力发展
素养提升
33
第十一课时 《解直角三角形》单元复习小结
一、前置性小研究：请同学们用你擅长的方式对本单元所学知识进行小结与分析
[前置性作业展示]
思
思维导图
【设计意图】设置前置性小研究，让学生学会从多个维度对本单元知识内容进行归类总结，
体现本单元的知识重、难点；同时也能提高学生的归纳总结的能力，同时也体现以生为本
的教学理念.
二、错题集锦：请将本单元学习过程中碰到的典型错题整理摘录，在错题旁边注明错误原
因，并写出正确解答过程.（可作为短周期性作业）
34
【设计意图】对平常练习中的错题进行收集、整理、归类，并及时反思出现错误的原因，
有助于做到加强基础知识点的掌握，能够做到及时查缺补漏，吃透知识点，同类题不再犯
错，并能举一反三.
三、“靓”题再现：（请把本章节你认为的好题收集起来，并展示其中的几道）
1、教材母题改编中考试题：（建议完成时间 8-10 分钟）
35
(2016 年安徽中考第 19 题） 如图，河的两岸 l1与 l2相互平行，A、B是 l1上的两点，C、D
是 l2上的两点．某人在点 A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿 AB 方向前进 20 米到
达点 E(点 E 在线段 AB 上)，测得∠DEB＝60°，求 C、D两点间的距离．
【作业分析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出 DE＝AE＝20m，进而求出 EF 的长，再
得出四边形 ACDF 为矩形，则 CD＝AF＝AE+EF 求出答案．也可利用解两次直角三角形求出 C、
D两点间的距离．
【答案】30m．
2、初高衔接题 （短周期性作业）
36
3、安徽中考真题：（建议完成时间 8分钟左右）
（2014 年安徽中考第 18 题）. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路 l1和 l2间有一条
“Z”型道路连通，其中 AB 段与高速公路 l1成 30°角，长为 20 km；BC 段与 AB、CD 段都
垂直，长为 10 km；CD 段长为 30 km，求两高速公路间的距离(结果保留根号)．
【作业分析】此题解法具有多样性，这里介绍一种较简洁解法.过 B点作 BE⊥l1，交 l1于 E，
CD 于 F，l2于 G．在 Rt△ABE 中，根据三角函数求得 BE，在 Rt△BCF 中，根据三角函数求
得 BF，在 Rt△DFG 中，根据三角函数求得 FG，再根据 EG＝BE+BF+FG 即可求解.
【答案】 25 5 3（m）
【设计意图】学生收集好题（重、难点题），可以及时做到对本单元重、难点的把握，对
章节题型心中有数，复习时能够有的放矢；同时也能够增强逻辑思维能力和解题能力，提
升对数学学科的兴趣.
四、素养提升：（可二选一完成）
1、教材母题变式题： 沪科版九上 P133 数学活动（建议完成时间 6-10 分钟）
37
变式题：如图，将正方形沿图中虚线（其中 x＜y）剪成①②③④四块
图形，用这四块图形恰．能．拼．成．一．个．矩形（非正方形）．
x ①② x
y x
x
（1）画出拼成的矩形的简图；(2)求 的值．（尝试用两种方法解题） y ③ ④ yy
x y
【作业分析】（1）已知中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，
结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角
三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；
（3）方法 1：利用拼图前后的面积相等，可列：[（x+y）+y]y＝（x+y）2，整理即可得到
x x y
答案．方法 2：利用拼图后的两个三角形相似，得到 ，整理即可得出
y x y y
【答案】
(1) (2)
2、你能不能与小组成员一起设计一种方案，尝试求出 tan15 或sin15 或cos15 的值（结果
保留根号），老师期待着你们的成果展示！（建议完成时间 8-10 分钟）
【设计意图】素养提升作业设置两道探究型作业，学生可以任选一题完成.根据学生的数
学活动经验与学，设计以学生主动探索、实验、思考与合作为主的探究型作业，可
以有效地开发学生的智能，促进学生创新意识的萌发.
五、学习体会（可作为短周期性作业）
本单元学习过程中，你对哪个知识点最感兴趣或者印象最深，有什么学习技巧，请将你
的学习感受写出来.（可以考虑写一篇回顾型或反思型微型数学日记）
【设计意图】以微型日记的形式回顾或反思数学课堂上学习的知识，总结自己的收获，分
析学习中存在的问题，是一种放电影式的语言复习，也是一种穿插旁白的自我反思.“数
学日记”对提高学生的作文水平很有帮助，可以让学生在“数学的日子”练就语文的本领.
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
前置性小研究
错题展示
“靓”题再现
素养提升
学习体会
38
《解直角三角形》单元质量检测作业
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，满分 40 分.每小题只有一个选项符
合题意，请将正确选项的代号填入相应的括号内）
2
1、在△ABC 中，若 tan A＝1，sin B＝ ，你认为最确切的判断是( )
2
A．△ABC 是等腰三角形 B．△ABC 是等腰直角三角形
C．△ABC 是直角三角形 D．△ABC 是一般锐角三角形
3
2、已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A= ，则 cos B 的值为（ ）
4
7 4 3 3
A． B． C． D．
4 5 5 4
3、如图，水库大坝截面的迎水坡 AD 的坡比为 4：3，背水坡 BC 的坡比为 1：2，
大坝高 DE＝20m，坝顶宽 CD＝10m，则下底 AB 的长为（ ）
第 6 题
第 3 题 第 5 题
A．55m B．60m C．65m D．70m
4、 ABC中， A : B : C 1: 2 :3，CD AB于点D，若BC a，则CD等于（ ）
A．
1 a 3B． a C．
3 a
2 2 D． 3a2
5、如图，两条宽度均为 40m 的国际公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的
公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）．
1600 2 1600 2 2 2
A． m B． m C．1600sinα（m）D．1600cosα（m）
sinα cosα
6、如图，在 Rt ABC中， C 90 ， BAC 30 ，延长CA到点D，使 AD AB，连
接 BD .根据此图形可求得 tan15 的值是( )
3 3
A．2 3 B． 2 3 C． D．
6 2
7、如图，马航370失联后，“海巡31”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到A处时，
发现它的北偏东30 方向有一灯塔 B，海巡船继续向北航行4小时后到达C处，发
现灯塔 B在它的北偏东60 方向．若海巡船继续以 40 海里／时的速度向北航行，
那么要再过多少时间海巡船离灯塔 B最近？（ ）
39
第 7题 第 8题 第 9题 第 10 题
A．1 小时 B． 2小时 C． 3小时 D． 2 3小时
8、如图，△ABC 是等边三角形，点 D是 BC 边上任意一点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥
AC 于点 F，若 BC＝2，则 DE＋DF＝( )
2 3 4 3
A．1 B． C． 3 D．
3 3
3
9、如图，在矩形 ABCD 中，AD=10，点 E是边 BC 上一点， sin∠AEB= 5，若 ED 平
分∠AEC，则 CE 的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
10、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图
中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD 的面积是小正方形 EFGH 面积
的 13 倍，那么 tan∠ADE 的值为（ ）
3 1 2 2 13
A． 2 B． 2 C． D．3 13
【设计意图】通过设置第 1、2 题，考查学生对三角函数基本概念的理解情况；
第 3、7两题考查学生方位角与坡度坡角掌握情况；第 4、5、6三题考查学生简单
的解直角三角函数的应用能力；第 8、9、10 题考查解直角三角形应用于三角形、
四边形、特殊四边形的相关问题的能力，培养学生综合能力与探索的精神，激发
学习兴趣.
二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20 分）
11、用不等号“>”或“<”连接：sin40°______cos40°．
12、如图，在边长为 1的3 2小正方形网格中，点 A、B、C都在这些小正方形的
顶点上，则 tan A 的值是________．
第 12 题 第 13 题 第 14 题
13、在平面直角坐标系中，O为原点，点 P在第一象限内，op=10，射线 OP
3
与 x轴正半轴的夹角为 ，如果 sin ，那么点 P的坐标为____．
5
40
14、小王想测量一栋建筑物的高度，假设建筑物与地面是垂直的，用图
中线段 AB 表示，小王站在 C 点测得∠BCA=45°，小王从 C 点走 4 米到达
了斜坡 DE 的底端 D 点，并测得∠CDE=150°，从 D 点上斜坡走了 8 米到
达 E 点，测得∠AED=60°，B、C、D 在同一水平线上，A、B、C、D、E 在
同一平面内，则建筑物 AB 的高度约为________米．（结果精确到 0.1 米，
参考数据： 2 1.41， 3 1.73）
【设计意图】 11 题主要考查互余两角的函数关系，同时综合考查正（余）
弦函数随着角度变化的规律;12 题考查了锐角三角函数的定义，勾股定
理的逆定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键;13 题考查解
直角三角形，求点的坐标，添加常用辅助线构造直角三角形是解题关键．
14 题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构建直角三
角形是解答此题的关键．
三、（本大题共 2小题，每题 8分，满分 16 分）
15、计算： 4sin2 30
tan 45
+ 2·sin45°．cos30 cos60
【设计意图】本题考查含特殊角三角函数值的实数运算，熟练掌握特殊
角三角函数值和二次根式的运算法则是解题的关键，要求学生对基础知
识要熟练掌握.
16、如图所示，在 Rt ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，b
＝10，解这个直角三角形．
【设计意图】考查了解直角三角形的条件，已知三角形的一边与一个锐角，就可
以求出另一个锐角与三角形的另外两边．这是对基础知识的考查，难度不大.
四、（本大题共 2小题，每题 8分，满分 16 分）
17.李强在网上买了一个带有卡槽的玩具，如图所示．已知 AC＝20 cm，
BC＝18 cm，∠ACB＝50°，李强想将一根长度为 16 cm 的木棍放入卡槽
AB 内，他能做到吗？请说明你的理由．(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°
≈0.6，tan50°≈1.2)
【设计意图】这是一个实际的问题情境，问题的解决则需要利用学过的
锐角的三角函数和勾股定理的内容，通过解题让学生在熟悉的情境中掌
握知识，培养学生在生活实践中自觉应用数学知识的能力，同时提高学
习数学的趣味性和积极性.另外解出本题需要将文字问题转化成数学问
题，考查了学生的分析转化的能力，在问题解决的过程中，促使学生方
法的形成和核心素养的融合发展.
41
18、一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为 40 的山坡 600m，再爬坡角为 30°
的山坡 200m，求山高（结果精确到 0.1m,sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°
≈0.84）．
【设计意图】本题考查了直角三角形中根据斜边和正弦值求直角边的长
度，本题中构建 Rt△ABG 和 Rt△ACD 是解题的关键．涉及到三角函数值
的题目，就要去寻找直角三角形，过一点作垂线是本章重点考查的一种
作辅助线的方法，需要学生熟练掌握.
五、（本大题共 2小题，每题 10 分，满分 20 分）
19、如图，在放学回家的路上，小明发现一栋建筑物 AB 的影子落在土坡的坡面
CD 和地面 BC 上，在同学们的帮助下，小明量得 CD=16m，BC=40m，CD 与地面成 30°
角，且此时测得 1米杆的影长为 2米，求建筑物的高度．
【设计意图】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行投影，准确计
算是解题的关键．
20、在某段限速 60km/h 的公路 BC 上（公路视为直线），在离该公路 120m 处设置
一个检测点 A．在如图所示的直角坐标系中，点 A位于 y轴上，测速路段 BC 在 x
轴上，点 B在 A的北偏西 60°方向上，点 C在 A的北偏东 45°方向上，另外一条
高速公路在 y轴上，AO 为其中的一段．
（1）一辆汽车从点 B匀速行驶到点 C所用的时间是 18s，通过计算，判断该汽车
在这段限速公路上是否超速（参考数据： 3≈1.7）；
（2）若一辆大货车在限速公路上由 C处向西行驶，一辆小汽车在
高速公路上由 A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大
货车速度的 2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离．
【设计意图】此题主要考查解直角三角形的实际应用以及二次函数的最值问题，
属于综合性问题.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决
的方法就是作垂线形成直角三角形后在利用三角函数问题解决，这是一个实际应
用问题，让学生体会生活中处处充满数学问题，学习数学知识的必要性.
42
六、（本题满分 12 分）
21、为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校
决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域
的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称 红外线体温检测仪
安装示意
图
技术参数 探测最大角：∠OBC＝73.14°
探测最小角：∠OAC＝30.97°
安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面 AC 的支架 CP 上
根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度 AB 为 3m，请你帮助学校确
定该设备的安装高度 OC．（参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，
tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈
0.600）
【设计意图】本题考查了解直角三角形的应用、一般角的三角函数值，结合当
前疫情下安装测温仪的实际问题，体会数学应用于实际生活、解决身边问题的作
用.
七、（本题满分 12 分）
22、阅读下列材料，并解决问题．
如图（1），在锐角 ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，过点 A作
AD AD
AD⊥BC 于点 D，则 sinB ， sinC ，即 AD＝c sin B，AD＝b sin C．于是
c b
b c c a a b
c sin B＝b sin C，即 sin B sinC ．同理有：

sinC sin A， A ，所以sin sin B
a b c

sin A sin B sinC．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角
三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三
个未知元素．
43
（1）如图（2），一货轮在 B处测得灯塔 A在货轮的北偏东 15°的方向上，随后
货轮以 80 海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达 C处，此时又测得灯塔
A在货轮的北偏西 30°的方向上，求此时货船距灯塔 A的距离 AC．
（2）在（1）的条件下，试求 75°的正弦值．（结果保留根号）
【设计意图】本题主要考查了方位角，解直角三角形，含 30 度角的直角三角形
的性质，同时培养学生对于阅读材料类的题目，具有自我学习能力，并能把知识
迁移应用解决问题.
八、（本题满分 14 分）
23、如图，在梯形 ABCD中，AB / /DC ， BCD 90 ，且 AB 1，BC 2，tan ADC 2．
（1）求证：DC BC；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且 EDC FBC，DE BF ，当 BE :CE 1: 2，
BEC 135 时，求 sin BFE的值．
【设计意图】本题考查三角函数、全等三角形的应用、勾股定理等综合知识，
并能合理添加辅助线，根据三角函数定义求得线段长．
【作业评价】
自我评价 小组评价 教师评价
书写
单元质量检测作业
44
《解直角三角形》单元质量检测作业分析及答案
1、【答案】B
2
【分析】由 tan A=1，sin B= 结合特殊角的锐角三角函数值可得∠A、∠B的度
2
数，即可判断△ABC 的形状.
2、【答案】D
【分析】根据三角函数的定义或互余角的三角函数关系即可求得结果,学生可能会
根据经验错认为三角形的第三边是 5，应正确画图理解三角函数意义.
3、【答案】C
【分析】本题根据迎水坡坡比以及 DE 长度求解 AE，根据背水坡坡比以及 CF 长度
求解 BF，最后将 AE、EF、BF 长度相加即可求得 AB．
4、【答案】B
【分析】首先由已知 ABC中， A : B : C 1: 2 :3，求出 A 30 ， B 60 ，
ACB 90 ，由CD AB，在Rt BCD中求得 BD的长．
5、【答案】A
【分析】依题意四边形为菱形，α的对边 AC 即为菱形的高，等于 40 米，菱形边
长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解．
6、【答案】A
【分析】设 BC=x，在 Rt ABC中， C 90 ， BAC 30 ，可得，AB=2x，AC= 3x，
1
由 AD AB =2x，可得 CD=2x+ 3x，由 AD AB，可知，∠D=∠ABD= ∠BAC=15°，2
在 Rt BDC 中，根据锐角正切三角函数的定义，即可求解.
7、【答案】B
【分析】作 BD⊥AC 于 D，∵∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，∴∠CBA＝30°．∴AC
＝BC．∵轮船以 40 海里／时的速度在海面上航行，∴AC＝BC＝4×40＝160（海里），
∴CD＝BC·cso60°＝80 海里．故该船需要继续航行的时间为 80÷40＝2（小时）．故
选 B．
8、【答案】C
【分析】连接 AD，作 BC 边上的高 AH，可求得高 AH 为 3，再由面积法可推出 DE
＋DF＝AH
9、【答案】A
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE=∠AED，根据等角对等
边可得 AE=AD，在 Rt△ABE 中，利用三角函数和勾股定理求得 BE 的长，则 CE 的
长即可求解．
10、【答案】C
2 2
【分析】设小正方形 EFGH 面积是 a，则大正方形 ABCD 的面积是 13a ，
∴小正方形 EFGH 边长是 a，则大正方形 ABCD 的边长是 13 a，
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AE=DH，设 AE=DH=x，
45
2 2 2
在 Rt△AED 中，AD =AE +DE ，
2 2 2
即 13a =x +（x+a） 解得：x1=2a，x2=-3a（舍去），
AE 2a 2
∴AE=2a，DE=3a，∴tan∠ADE= = =DE a .3 3
11、【答案】<
【分析】根据互余两角的函数关系先将 sin40°化成 cos50°，再根据余弦
函数随着角度变化的规律解出．也可以根据互余两角的函数关系先将
cos40°化成 sin50°，再根据正弦函数随着角度变化的规律解出，
1
12、【答案】
2
【分析】根据网格确定出三角形 ABC 三边，利用勾股定
理的逆定理得到此三角形为直角三角形，利用锐角三角
函数定义求出所求即可．
13、【答案】（8,6）
PH 3
【分析】如图，过点 P作 PH x轴于 H，根据 sin PO 5 ，
op=10，求出 PH，再利用勾股定理求出 OH即可解决问题.
14、【答案】48.8 米
【分析】过 E 作 EG⊥AB 于 G，EF⊥BD 于 F，则 BG＝EF，
EG＝BF，求得∠EDF＝30°，根据直角三角形的性质得到
1
EF＝ DE＝8，DF＝8 3，得到 CF＝CD+DF＝8+8 3，根据2
AG AB 4 3
三角函数的定义列方程 tan30°＝ GE ＝ AB ＝ 4 4 3 3
即可得到结论 AB＝28+12 3≈48.8 米．
4 (1)2 1 2
15、【答案】原式 2 3 1 2 × 2+ 1 1 1 ( 3 1)+1=1- 2 3 1 3
2 2
【分析】由题意根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，进而根据实
数的运算法则计算可得答案，
16、【答案】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，
∴∠A＝90°-30°＝60°，
sin 30 b 1 = 10°
c，∴ ，∴c＝20，2
由勾股定理知 a2 c2 b2，∴ 2 = 202 102，解得：a= 10 3
故∠A＝60°，a= 10 3，c＝20
【分析】直角三角形的两个锐角互余，并且 Rt△ABC 中，∠C=90°则∠A=90-∠
B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知
的元素．
46
17、【答案】 李强能将木棍放入卡槽 AB 内．
理由：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°≈20×0.8＝16(cm)，
CD＝AC·cos50°≈20×0.6＝12(cm)．
∵BC＝18 cm，∴BD＝BC－CD＝18－12＝6(cm)，
∴AB＝ AD2＋BD2＝ 162＋62＝ 292(cm)．
∵ 292＞16，∴李强能将木棍放入卡槽 AB 内．
【分析】在分析题意后作辅助线构造出直角三角形，然
后利用锐角三角函数，勾股定理解出本题.
18、【答案】如图，作 AD⊥CE 于点 D，作 AG⊥BE 于点
G，
∵AB=600m，AC=200m，∴DE=AG=AB sin40°=385.6m，
∵CD=AC sin30°=100m，∴CE=CD+DE=485.6m．
【分析】作 AD⊥CE 于点 D，作 AG⊥BE 于点 G，根据 AB 和 sin40°可以求
得 AG 的长，根据 AC 和 sin30°可求得 CD 的长，即可解题．
19、【答案】过点 D作DE BC的延长线于点 E，过点 D作DF∥BC，
∵ DCE 30 3，CD=16m∴CE=CD cos∠DCE=16× =8 3（m）
2
3
∴DE=CE tan30°=8 3× =8（m），∴DF=BC＋CE=40＋8 3（m），
3
设 AF x m，
∵1米杆的影长为 2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，
1 x
1， ∴ = 2 DF 2 40+8 3 ∴x=20＋4 3（m），
∴AB=20＋4 3＋8=28＋4 3（m）；
【分析】过点 D作DE BC的延长线于点 E，过点 D作DF∥BC，利用三角函数得
3
到 CE=CD cos∠DCE=16× =8 3（m），再根据比例计算即可得解；
2
20、【答案】（1）在 Rt△AOB 中，OA＝120，∠BAO＝60°，
∴OB＝OA tan∠BAO＝120 3米．
Rt△AOC 中，∵∠CAO＝45°，∴OC＝OA＝120 米．
∵BC＝BO OC 120 3+120＋ ＝120 3＋120 米，∴ ≈18.2m/s
18
∵60km/h≈16.7 m/s∴汽车在这段限速路上超速了．
47
（2）设大货车行驶了 x米，两车的距离为 y＝ 2 2（120 ） +（120 2 ）
＝ 25（ 72） + 2880
∴当 x＝72 米时，y有最小值 24 5米．
答：两车在匀速行驶过程中的最近距离为 24 5米．
【分析】（1）先在 Rt△AOB 中，先求出 OB，再在 Rt△AOC 中，求出 OC，得出行
驶距离后，求出速度比较大小后，即可得出结论。
（2）利用勾股定理，结合二次函数的最值，即可求出。
21、【答案】该设备的安装高度 OC 约为 2.2m．
【分析】根据题意可得 OC⊥AC，∠OBC＝73.14°，∠OAC＝30.97°，AB＝3m，所
以得 AC＝AB+BC＝3+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
6 2
22、【答案】（1） 20 20 3 海里；（2）
4
【分析】（1）先根据题意得到 ABC=75 ， ACB=60 ，BC 40海里，即可求出
BAC 45 ，过点 B作 BM⊥AC 于 M，求出 AM 和 MC 即可得到 AC 的长；
a b
（2）先根据阅读材料有 A B ,其中 a=BC=40 海里，b=AC 前一小问已求，sin sin
∠A=45°，∠B=75°进行求解即可．
23、【答案】（1）证明： 作 AM⊥DC 于 M，∴∠AMD=∠AMC=90°
∵ AB / /DC ， BCD 90 ，∴∠ABC=90° ∴四边形 ABCM 是矩形，
1
∴AM＝BC＝2，AB=CM=1 又∵tan∠ADC＝2 ∴DM AM 1，
2
∴DC=DM+MC=2 ∴DC＝BC；
1
（2）
3
【分析】
（1）过 A作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M，则 AM＝BC＝2，再利用 tan∠ADC＝2 求出
DM=1，即可求出 DC=2，问题得证；
（2）先证明△DEC≌△BFC，得到 CE＝CF，∠ECD＝∠FCB，进而△ECF 是等腰直角
三角形，设 BE＝k，则 CE＝CF＝2k，求得 EF＝2 2 k，由∠BEC＝135°得∠BEF＝
90°，求得 BF=3k，即可求解．
48

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