资源简介

九年义务教育八年级数学（沪科版）（上册）
第十三单元：《三角形中的边角关系命题与证明》
作业设计
九年义务教育八年级数学（沪科版）（上册）
第十三单元：三角形中的边角关系命题与证明
作业设计
一、设计背景及其意义
（一）设计背景：
为了切实落实“双减”政策，根据“五项管理”制度的要求，真正让学生从
过重的作业负担中解放出来，分类明确作业总量、提高作业设计质量、加强作业
完成指导等明确要求，旨在有效减轻学生过重的作业负担。因此通过系统设计符
合八年级学生生理年龄特点和学习规律，体现素质教育导向的基础性作业，布置
分层作业、弹性作业和个性化作业是布置作业的必备条件。
（二）设计意义
通过科学设计数学作业可以减少一些机械性重复，有利于渗透数学核心素养，
兼顾不同层次学生的需求，强调个性化设计，尽量压缩无效作业所占用的学生课
余时间，让学生参与更多有意义的活动，有利于学生核心素养的培养，有利于促
进学生的个性发展，有利于学生身心健康的发展。
二、单元内容及分析
基 本 信 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
息
数学 八年级 第 二 学 沪科版 三角形中的
期 边角关系、
命题与证明
单元组
织方式 自然单元 □重组单元
序号 课时名称 对应教材内容
课时信 1 三角形中的边角关系 第 13.1(P67-74)
息
2 命题与证明 第 13.2(P75-88)
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（一） 课标要求：
1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线
等概念。
2. 探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三
角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角
形的任意两边之和大于第三边。
3. 了解三角形重心的概念。
4. 通过详细实例，理解定义、命题、定理、推论的意义。
5. 结合详细实例，会区分命题的条件和结论，理解原命
题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原
命题成立其逆命题不一定成立。
6. 知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要符合逻
辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法
证明的格式。
7. 理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是
错误的。通过实例体会反证法的含义。
（二）教材分析
1．知识网络
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构成三角形的基本要素：边、角、顶点
几条重要线段：角平分线、中线、高
按边分 不等边三角形
三角形的分类 等腰三角形（包括等边三角形）
按角分 直角三角形
钝角三角形
斜三角形
三角形中的
边角关系
锐角三角形
三角形中任何两边的和大于第三
边
边的关系
三角形中任两边的差小于第三边
定理：三角形内角和等于 180
推论 1：直角三角形两锐角互余
角的关系 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形
推论 3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和
推论 4：三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角
命题的定义：对某一事件作出正确与不正确的判断的语句（或式子）
命题的组成：题设与结论，一般写成“如果… 那么…”
原命题与逆命题：条件与结论互换
命题与证明
真命题
命题的分类
假命题
推理方法
证明
推理格式
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2. 内容分析
本单元是在七年级学习的线段、角、相交线、平行线等知识的基础上介绍了
三角形的有关概念,着重研究了三角形中的边角关系，是学生首次比较规范地用
几何语言来表述一个几何命题证明的过程，证明的依据是题中条件、已学的定义、
基本事实和定理。
三角形是最简单的多边形,是研究其他图的基础。本单元是在学生已学过的
一些三角形知识的基础上，进一步系统地研究它的概念、分类、性质和应用。本
单元另一内容是形式逻辑训练的开始，让学生学习命题的概念与结构，命题的真
假及判断，定理、推论、基本事实、定义和证明的意义以及简单证明，为以后学
习四边形奠定基础。
本单元共分两部分:
第一节呈现出三角形的边角关系，对三角形进行分类，并给出了高、中线、
角平分线等概念；
第二节给出了命题、定理的概念，三角形的内角和定理和推论 1、2、3、4
以及证明过程的规范表述。
重点和难点
重点：三角形的边角关系,及区分一个命题的题设和结论,综合法证明一个几
何命题的方法和步骤。
难点：简单反例的构造；一个几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的
规范表述。
（三）学情分析
通过七年级的学习，基本形成数学思维模式，具备一定的应用数学知识解决
实际问题的能力，但在知识灵活应用上还是很欠缺，同时作答也比较粗心。两极
分化严重。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习
知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一
步加强。
在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中么，少
数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师牵挂的对象，课堂家庭作业，学
生完成的质量要打折扣;学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结
的习惯，自习课专心致志学习的习惯，主动纠正错误的习惯，较多的学生不具有，
需要教师的督促才能做。
三、单元作业目标
1. 了解三角形及其有关概念，掌握三角形三边关系和内角和定理，并会对
三角形进行分类。了解中线、高线、角平分线等概念，并会运用知识解决问题。
通过作业能区分三角形相关概念及其内角、外角，会作并识别三角形中线、高线、
平分线等概念并能运用实践。
2.通过具体问题了解定义、命题、基本事实、定理、推论的意义，会区分命
题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题。知道
原命题成立其逆命题不一定成立。作业练习中巩固原命题与逆命题有关概念，验
证两者真假无关性。
3.探究并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论，并会证明三角形的任意
两边之和大于第三边，探索并证明三角形内角和定理及三角形外角性质。初步理
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解证明的必要性。熟练运用三角形的内角和定理和它的推论，解决有关角的证明
与计算。在实际生活中能抽象出数学模型并能运用内外角有关知识解决问题。
4.知道证明的意义和必要性。知道证明要合乎逻辑，会综合法证明的格式是
形式化证明的基础。在知识的学习和作业完成中逐步形成演绎推理的能力和思维
习惯。
5.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。学会用反例
说明命题为假的方法，熟练反例的列举要求。
四、单元作业整体设计思路
结合学生的实际情况和一些成功经验，我们采用“分层设计与操作性”相结
合的理念弹性设计本单元的作业。“分层设计作业”是指教师在设计作业时，根
据不同层次学生的各种情况，如课堂表现、掌握程度、认知水平、数学基础等，
设计出兼顾不同需求、适合各类学生的个性化作业，以帮助、促使不同层次学生
都能有效完成作业，通过不同层次的练习达到良好的学习效果，实现“强基培优”
的目的。为此，我们可以事先对学生进行前期心理辅导，消除学生思想中的消极
心理，让每个学生愉快地配合工作。然后根据各组学生的实际情况设计满足不同
需求的个性化作业，让每一个同学都能在规定时间内完成设计，同时分组不是一
尘不变，根据学生的进步情况不断进行更新，以激励学生积极要求进步，让不同
层次的学生在成功中树立学习的自信心，以培养学生学习数学的兴趣，提高学生
的数学素养，实现“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发
展”的目标。根据“落实育人目标、夯实数学基础、促进融会贯通、发展创新思
维”的作业宗旨，本单元的作业设计主要从以下几个方面进行思考：
1.作业层次: 课时作业大致分为“夯实基础”、“拓展提升”、“应用探
究”“课外阅读”；单元检测作业分别对应“基础性作业”“提升性作业”“拓
展性作业”三个层次.
2.作业种类：选择题、填空题、解答题和探究性作业四类.
3.作业评价:评价坚持思想性、科学性、针对性、多样性原则，坚持立德树
人，力求多元化评价，以巩固知识与技能，发展学习能力，提升品德修养，培养
良好学习习惯.
预习作业 了解概念
夯实基础
课堂作业
巩固知识
整合运用
基础作业
课后作业 理解巩固
应用探究
作业 设计体系 拓展作业
能力提升
课外阅读思考 生活中的数学
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五.单元作业目录
13.1 三角形中的边角关系……………………………… 3课时(P6—P16)
13.1.1 三角形中边的关系………………………… 1课时(P6—P9)
13.1.2 三角形中角的关系………………………… 1课时(P10—P12)
13.1.3 三角形中几条重要线段…………………… 1课时(P13—P16)
13.2命题与证明…………………………………………… 4课时(P17—P35)
13.2.1 命题与证明………………………………… 1课时(P17—P19)
13.2.2 命题与证明………………………………… 1课时(P20—P24)
13.2.3 命题与证明………………………………… 1课时(P25—P27)
13.2.4 命题与证明………………………………… 1课时(P28—P30)
单元作业检测……………………………………………… 1课时(P31—P35)
六、课时作业
13.1 三角形中的边角关系
通过作业设置对学生的学习效果进行了解，为后期的评价反馈
提供依据，巩固所学知识；掌握三角形概念以及分类，边的关
本节作业目标 系、角的关系，学会在三角形中进行角的计算，边长范围的确
定，并了解三角形中三条重要线段的有关内容，通过作业提高
学生解决问题能力和数学素养。
通过预习作业激发学生学习数学兴趣和求知欲望，通过课堂巩
固作业夯实双基，巩固课本上的知识点，提高学生动手操作能
作业设计思路 力，让每个学生都有收获，体会数学在生活中的应用和价值.
课后提升作业为学有余力学生拓宽视野，阅读与思考让学生在
知识广度上有所拓宽。
13.1.1 三角形中边的关系（时间为 23-29 分钟）
通过作业设计，学生理解三角形的概念及基本要素，能正确识
课时作业目标 别和表示三角形。会按三边的特殊关系，对三角形进行分类。
掌握三角形三边关系，并会应用三边关系解决实际问题。让学
生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识。
课前预习作业（5分钟）
1.如图，点 A、B、C 叫做这个三角形的_______；线段 AB、BC、CA叫做这个三角
形的________；∠A、∠B、∠C叫做这个三角形的________。 A
B C
2.在家中用几根不同长度的小木棒拼成三角形，每人用不同长度的小木棒拼成不
同的 3个三角形，并设法测量每次组成三角形三根木棒的长度，记录下表中
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三角形 三条木棒的长度
第一个
第二个
第三个
再同组同学观察，有什么发现？
解析：1.顶点、边、角.
2.答案不唯一，主要是让学生感受三角形三边关系.
设计意图：让学生们预习时对三角形的有关概念有初步印象，并能对三角形
的三边关系从实践中有个初步设想，为课堂讲授作出铺垫.
核心素养: 直观想象, 数学建模。
课堂巩固作业(必做题) （时间为 10-14分钟）
一、选择题（时间为 6-8分钟）
1.如图所示，图中三角形的个数共有( )
A.1 个 B.2个
C.3 个 D.4个
解析：根据三角形的定义进行判断。只要数出 BC 上有几条线段即可。很明
显 BC上有 3条线段，所以有三个三角形，选 C。
2. 设 M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等
腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是( )
解析：根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边
相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是
直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形。故选 A。
设计意图：考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼
此之间的包含关系。
3. 下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A.1.5cm，3.9cm，2.3cm
B.3.5cm，7.1cm，3.6cm
C.6cm，1cm，6cm
D.4cm，10cm，4cm
解析：A中，1.5＋2.3＝3.8＜3.9，不能构成三角形；B中，3.5＋3.6＝7.1，
不能构成三角形；C 中，6＋1＞6，6－1＜6，能构成三角形；D中，4＋4＝8＜10，
不能构成三角形。故选 C。
设计意图：判断三条线段能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的
长度是否大于最长的线段的长度。
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核心素养: 直观想象, 数学运算。
二、填空题（时间为 4-6分钟）
1.已知三角形的三边长分别是 2，2x－3，6，则 x 的取值范围是________。
解析：∵三角形的两边长分别为 2和 6，∴第三边边长 2x－3的取值范围是：
6－2＜2x－3＜6＋2，即 3.5＜x＜5.5。
设计意图：根据三角形三边关系定理可知：已知两边之差＜第三边长＜已知
两边之和，确定第三边的取值范围，再结合题干中的其他条件排除不合要求的其
他值。
2. 已知等腰三角形的两边长分别为 3和 5，则它的周长是________。
解析：由等腰三角形两边长为 3、5，分别从等腰三角形的腰长为 3 或 5 去
分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形。
①若等腰三角形的腰长为 3，底边长为 5，
∵3＋3＝6＞5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：3＋3＋5＝11；
②若等腰三角形的腰长为 5，底边长为 3，
∵5＋3＝8＞5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：5＋5＋3＝13。
综上所述，它的周长是 11或 13。
设计意图：要求等腰三角形的周长，要先确定等腰三角形的腰和底。先分两
种情况讨论能否构成三角形，再进行计算。
核心素养: 直观想象, 数学运算。
课后提升作业(选做题)（8—10分钟）
1. 若 a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|。
解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可。
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得 a－b－c＜0，b－c
－a＜0，c＋a－b＞0。∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a
－b＋c＋a－b＝3c＋a－b。
设计意图：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根
据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简。此类问题就是根据三角形
的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简。
核心素养:数学建模, 数学运算。
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评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级 为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
阅读与欣赏：推荐阅读《奇妙的三角形》，推荐理由:书中以方桌、车轮和金
字塔等实物引导孩子从中抽象出形状的概念和特点，让孩子逐步明白图形与实物
之间的联系和转换，从而培养出良好的空间想象力和抽象思维能力。适合已经有
几何概念、略大一些的孩子。
作者：放慢脚步
链接：https://www./p/abb4e5534866
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13.1.2 三角形中角的关系（时间为 23-27 分钟）
通过作业设计，学生会按角将三角形进行分类。掌握三角形内
角和定理，能用三角形内角和定理解决相关问题。让学生经历
课时作业目标 操作、发现、应用的过程，渗透数学思想与方法，激发学生质
疑的愿望和探究兴趣，培养他们参与数学活动的积极性和严谨
的科学态度。
课前预习作业（5分钟）
（1）三角形的内角和等于______；直角三角形的两锐角__________；有两个
角互余的三角形是 __________。
（2）在△ABC中，∠B-∠A=30°，∠C=4∠A,求∠A，∠B，∠C的度数。
解析：（1）180°，互余，直角三角形.
（2）【解】
设∠A=x°，则∠B=30°+x°，∠C=4x°
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴x°+30°+x°+4x°=180°
∴x=25
∴∠A=25°，∠B=55°，∠C=100°。
设计意图：通过预习作业（1）让学生了解三角形的内角和定理以及推论 1、
2；作业（2）主要考查三角形的内角和定理，当已知三角形三个内角之间的数量
关系时，可由三角形内角和定理列方程(组)的方法求出各角的度数。
核心素养: 逻辑推理, 数学运算。
课堂巩固作业(必做题) （10—13 分钟）
一、选择题（5—6分钟）
1. 下列说法中，正确的有( )
①锐角三角形中最大的角一定小于 90度；
②所有的等边三角形都是锐角三角形；
③所有的等腰三角形都是锐角三角形；
④直角三角形一定不是等腰三角形。
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：根据三角形按角分类的标准，准确把握各题的关键字眼，对它们做出
判断：①最大角小于 90°，即三个角都为锐角，满足锐角三角形的条件，故正
确；②等边三角形的三个角都为 60°，所以它是锐角三角形，故正确；③对于
顶角是钝角或直角的等腰三角形，不满足题设条件，故错误；④直角三角形可能
是等腰三角形，三角板中就有一个是等腰直角三角形，故错误。故选 B。
设计意图：熟悉三角形按边、角分类的特点，在分类时，要先确定分类标准，
不要搞混淆它们，出现错解。核心素养: 直观想象 ， 数学抽象。
2. 如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC 等于( )
A.63°B.62°C.55°D.118°
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解析：在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝63°，根据三角形的内角和定理，即
可求得∠A的度数，又由 DE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC
的度数。故答案为 B。
设计意图：此题比较简单，解题的关键是掌握“两直线平行，同位角相等”
的应用。
核心素养: 逻辑推理, 数学运算。
二、选做题（5-7 分钟）
1. 一个三角形的三个内角的度数之比为 1∶2∶3，这个三角形一定是
( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判定
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是 x，2x，3x，根据三角形的内
角和为 180°，得 x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°，∴这个三角形的三个内角
的度数分别是 30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形。故选 A。
设计意图：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解。
核心素养: 数学抽象, 数学运算。
课后提升作业（8—9分钟）
解答题
1. 在△ABC中，∠A是∠B的 2倍，∠C 比∠A＋∠B大 12°，求△ABC各角
度数。
解析：首先用代数式表示出每一个角，然后利用三角形内角和为 180°，列
出方程求解。
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，∠C＝(x＋2x＋12)°，据题意得，x＋2x
＋x＋2x＋12＝180，解得 x＝28，∴∠B＝28°，∠A＝56°，∠C＝96°。
设计意图：借助方程思想解几何问题是一种常用的数学方法。注意列方程时，
等式中不能带单位。
核心素养: 数学抽象, 数学运算。
评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
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AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级 为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
阅读与思考：美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家，他在北京大学
的一次讲学中语惊四座：
“人们常说，三角形内角和等于 180 度。但是，这是不对的！”大家愕然。怎
么回事？三角形内角和是 180度，这不是数学常识吗？接着，这位老教授对大家
的疑问作了精辟的解答：“说三角形内角和为 180度不对，不是说这个事实不对，
而是说这种看问题的方法不对，应当说三角形外角和是 360度。”“把眼光盯住内
角，我们只能看到：三角形内角和是 180度；四边形内角和是 360度；五边形内
角和是 540度……n 边形内角和是(n-2)×180 度。
这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数 n。如果看外角呢？
三角形的外角和是 360 度；四边形的外角和是 360 度；五边形的外角和是 360
度……任意 n边形外角和都是 360度。
这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来。用一个与 n无关的常数代替了
与 n有关的公式，找到了更一般的规律。”
感悟：读罢陈省身的故事，我们想起数学家波莱尔的一段话：“数学家的目的往
往是寻求一般的解，他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题。”（引用于
网络）
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13.1.3 三角形中几条重要线段（时间 24—30 分钟）
通过作业设计，学生掌握三角形的高、中线与角平分线的概念
和画法，知道三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别
课时作业目标 交于一点，明确重心的概念。还可以在动手操作、体验理解、
思考探索、生活应用等方面发展学生的思维，提高解决实际问
题的能力。
课前预习作业（5分钟）
1.明晰概念:(1)如图,△ABC 的一个内角∠BAC 的平分线 AD 交∠A 所对的边 BC
于点 D,所得线段 AD 叫做△ABC的____，即∠1=∠2;
A
2
1
B
D C
(2)三角形中,连接一个顶点与它____的线段叫做三角形的中线;
(3)从三角形的一个顶点到它对边_____的垂线段叫做三角形的高。
2.填空:锐角三角形三条高的交点在三角形____；直角三角形三条高的交点在
三角形的____顶点；钝角三角形三条高的交点在三角形____。
解析：1.(1)角平分线(2)对边中点(3)所在直线。2.内，直角，外。
设计意图：预习新课知识点，抓住重点学习新课。
核心素养:直观想象。
课堂巩固作业(必做题) （10-15 分钟）
一、选择题（3-5分钟）
1.画△ABC的边 AB上的高，下列画法中，正确的是( )
解析：根据概念可知，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和
垂足间的线段。过点 C 作边 AB 的垂线段，即画 AB 边上的高 CD，所以画法正确
的是 D。故选 D。
设计意图：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)
垂足必须在该边或在该边的延长线上。
核心素养: 数学抽象。
2.如图所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，
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点 F为 AB上一点，CF⊥AD于点 H，下面判断正确的有( )
①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 边 AD 上的中线；③CH 为△ACD 中
边 AD上的高。
A.1 个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：由∠1＝∠2 知 AD平分∠BAE，但 AD不是△ABE内的线段，所以①错；
同理 BE 经过△ABD 中边 AD 的中点 G，但 BE 不是△ABD 中的线段，故②不正确；
由于 CH⊥AD于点 H，故 CH是△ACD中边 AD 上的高，故③正确。答案为 A。
设计意图：判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且
都在三角形内部。三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的
一条边重合。
核心素养: 数学抽象。
二、填空题（3—4 分钟）
1. 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的
周长大 2cm，则 BA＝________。
解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD，∴△ABD 的周长－△ADC 的
周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm。
设计意图：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD
与△ADC 的周长之差转化为边长的差。
核心素养: 数学抽象, 数学运算。
三、解答题（4—6 分钟）
1. 如图所示，AD，AE 是△ABC 的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，
求∠DAE 的度数。
解析：由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在 Rt△ADC中，可求得∠DAC
1
的度数，AE是△ABC 的角平分线，有∠EAC＝ ∠BAC，故∠DAE＝∠EAC－∠DAC。
2
解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°，∵AE
1
是△ABC 的角平分线，∴∠EAC＝ ∠BAC＝34°。∵AD是高，∠C＝76°，∴∠DAC
2
14 / 35
＝90°－∠C＝14°，∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝34°－14°＝20°。
设计意图：利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，
注意图形中的角的数量关系。
核心素养: 数学抽象, 数学运算。
课后提升作业(选做题)（9—10分钟）
1. 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设
△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF和 S△BEF，且 S△ABC＝12，则 S△ADF
－S△BEF＝________。
1
解析：∵点 D是 AC的中点，∴AD＝ AC，∵S△ABC＝12，∴S△ABD
2
1 1 1 1
＝ S△ABC＝ ×12＝6。∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4。∵S△ABD
2 2 3 3
－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6
－4＝2。故答案为 2。
设计意图：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积
的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比。
核心素养: 数学抽象, 数学运算。
评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级 为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
阅读与思考：泰勒斯：巧测金字塔的高
15 / 35
泰勒斯看到人们都在看告示，便上去看。原来告示上写着，法老要找世界上
最聪明的人来测量金字塔的高度。于是就找法老。
法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，
他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影
子的长度和金字塔底面边长的一半。把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。
泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的
高度。
16 / 35
13.2 命题与证明
通过作业设置，对学生的学习效果进行了解，为后期的评价反
馈提供依据，巩固所学知识；对命题的有关概念通过作业进行
本节作业目标 加深理解，并初步通过作业让学生掌握推理的基本过程，掌握
演绎推理的格式要求，训练学生的逻辑思维。
通过作业的阶段设计和分层设计，让全体学生在预习中初步产
作业设计思路 生兴趣，在课堂巩固作业中夯实基础，在课后提升和课外阅读
作业中发展，进一步发现推理与证明的必要性。
13.2.1 命题与证明（18-20 分钟）
通过作业设置，学生有目的的去预习课本知识点，了解命题、
定义的含义；对命题的概念有正确的理解;知道命题与原命题、
课时作业目标 逆命题的基本概念，知道命题有真有假,会举反例判断命题的
真、假；会区分命题的条件和结论,会把命题改写成“如果……,
那么……”的形式；初步感受公理化方法对数学发展和人类文
明的价值。
课前预习作业（5分钟）
1.揭示概念:对某一件事情作出正确或不正确____的语句（或式子）叫命题.
正确的命题叫____命题，____的命题叫假命题。
2.命题是由____和____ 两部分组成的。
3.明晰概念:将一个命题的条件与结论互换,便得到一个新命题,我们把这样的
两个命题称为____，其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的____。
4.符合命题的条件,但不符合命题的____的例子,我们称之为反例。 要说明一
个命题是假命题，只要举出____ 个反例即可。
解析：1.判断，正确，错误。2.条件，结论。3.互逆命题，逆命题。4.结论，
一。
设计意图：预习新课知识点，抓住重点学习新课。
核心素养: 直观想象。
课堂巩固作业(必做题) （9-10分钟）
一、探究：命题概念和结构题
1. 指出下列命题的题设和结论：
(1)如果 a2＝b2，那么 a＝b；
(2)对顶角相等；
(3)三角形内角和等于 180°。
解析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，(2)(3)题可先改写
成“如果……那么……”形式，再找出题设和结论。
解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；
(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。题设：“两个角是对
顶角”，结论：“这两个角相等”；
(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于
180°。题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于
180°”。
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设计意图：通常情况下命题都可以写成“如果……那么……”形式，当条件
结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果……那么……”形式可以帮助
我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确。
核心素养: 数学抽象，数学建模。
二、选择题
1. 已知三条不同的直线 a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果 a∥b，
a⊥c，那么 b⊥c；②如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c；③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c；
④如果 b⊥a，c⊥a，那么 b∥c。其中真命题的是____________(填写所有真命题
的序号)。
解析：①如果 a∥b，a⊥c，那么 b⊥c是真命题，故本项正确；②如果 b∥a，
c∥a，那么 b∥c 是真命题，故本项正确；③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c 是假
命题，故本项错误；④如果 b⊥a，c⊥a，那么 b∥c是真命题，故本项正确。故
答案为①②④。
设计意图：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而
利用排除法得出答案。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
课后提升作业(必做题)（4-5分钟）
解答题
1. 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；
(2)如果△ABC 是直角三角形，那么△ABC 的内角中一定有两个锐角。
解析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的
逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2) 交换原命题中“如果”和
“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断
命题的真假。
解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α 与∠β 是邻补角，
此逆命题为假命题；
(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角
形，此逆命题为假命题。
设计意图：将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题
称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。当一个命题是
真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不
满足命题例子的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反
例即可。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
设计评价：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
18 / 35
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级 为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
19 / 35
13.2.2 命题与证明（20—28 分钟）
通过作业设置，学生能够提前预习课本上的知识点,了解证明
的含义,体验、理解证明的必要性;了解证明的表达格式，会按
课时作业目标 规定格式证明简单命题;通过对问题的解决，使学生有成就感，
培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣。
课前预习作业（5分钟）
如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条
件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程。
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°。
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整。
证明：∵EF∥CD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥ （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
解析：∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；
∠BCD；两直线平行，内错角相等；
设计意图：（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的
判定定理和性质定理、角平分线的定义解答。培养学生逻辑推理
能力。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
课堂巩固作业(必做题) （7—11 分钟）
一、选择题（3—5 分钟）
1. 命题“对顶角相等”是( )
A.角的定义 B.假命题
C.基本事实 D.定理
解析：“对顶角相等”的正确性是需要经过推理来证实的，而后又把它选定
作为判定其他命题真假的依据，所以它属于定理。故答案为 D。
方法总结：人们在长期实践中总结出来，不需要用推理的方法加以证明，并作为
判定其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。如“两点确定一条
直线”，“两点之间线段最短”等都是基本事实。从基本事实或其他真命题出发，
用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定
理。
2. 如图，下列推理中正确的有( )
20 / 35
② 因为∠1＝∠2，所以 b∥c(同位角相等，两直线平行)；
②因为∠3＝∠4，所以 a∥c(内错角相等，两直线平行)；
③因为∠4＋∠5＝180°，所以 b∥c(同旁内角互补，两直线平行)。
A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断。①因为∠1、∠2
不是同位角，所以不能证明 b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以 a∥c(内错角
相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以 b∥c(同旁内角互补，
两直线平行)，正确。故正确的是②③，共 2个。故选 C。
设计意图：本题主要考查了平行线的判定。解答此类要判定两直线平行的题，
可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
二、解答题（4—6 分钟）
1. 完成下面的证明过程：
已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2。
求证：∠3＝∠B。
证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD
∥ ________(同旁内角互补，两直线平行 )。又∵∠1＝∠2(已知 )，∴
________∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥________，∴∠3＝∠B(两直
线平行，同位角相等)。
解析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出 AD∥EF，AD∥BC，
即可推出答案。
∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF。又∵∠1
＝∠2，∴AD∥BC，∴EF∥BC。故答案为：EF，AD，BC。
设计意图：本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两
直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角
互补，反过来就是平行线的判定。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
课后提升作业（选做题）（8—12 分钟）
为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，我校初二
（11）班举办了“太白杯古诗词”大赛．现有小璟、小桦、小花三位同学进入了
最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第 1，2，3 名（不并列），
对应名次的得分都分别为 a，b，c(a>b>c 且 a，b，c 均为正整数)；选手最后得
分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得
分情况，
21 / 35
第一 第二 第三 第四 第五 第六
最后得分
轮 轮 轮 轮 轮 轮
小
a a 26
璟
小
a b c 11
桦
小
b b 11
花
根据题中所给信息，下列说法正确的是（ ）
A．小璟可能有一轮比赛获得第二名 B．小桦有三轮比赛获得第三名
C．小花可能有一轮比赛获得第一名 D．每轮比赛第一名得分 a为 5
解析：先根据三人总得分共 26＋11＋11＝48，可得每一轮的得分 a＋b＋c＝8，
再根据小桦的等分能够得出 c＝1，进而可得到第一二两轮的具体排名，然后在
对 a、b 的值分情况讨论，然后再逐个排除即可求得 a，b 的值，从而求解即可。
故选：D
设计意图：本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归
与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准
确性 C 等，答案不正确 ,有过程不完
整；答案不准确，过程错误、或
无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规 B 等，过程不够规范、完整，答
范性 案正确。 C 等，过程不规范或无
过程，答案错误。
22 / 35
A 等，解法有新意和独到之处，
答案正确。
解法的创 B 等，解法思路有创新，答案不
新性 完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，
过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、
综合评价
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
等级
情况综合评价为 C 等。
数学史话：魏晋时期刘徽的“割圆术”（圆周率的证明）
中国作为一个有着悠久历史的文明古国，期间出现了许多睿智的优秀人物。
刘徽就是这众多杰出大家之一。早在公元 200 余年，刘徽就创造出来割圆术，为
计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。今天我们的《数学家的小故事数学
家的小故事》就来讲讲这位数学大家的故事。
刘徽（约公元 225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数
学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，
他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想
敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的
方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低
下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华
民族留下了宝贵的财富。
刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这
方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，
而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的
互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程
问题”；他还建立了等差级数前 n 项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂
（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断
作为证明的前提．他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章
算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出
自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一
个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。
刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则
与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。《海岛算经》一书中，
23 / 35
刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在
当时为西方所瞩目。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我
国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的数学成就大致为
两方面：一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在
《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：
数系理论
①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法
则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，
并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等
三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定
义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相
似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的
典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决
了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁
着余辉。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为割圆术与圆周率，
他在《九章算术.圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了
计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到
192 边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到 3072 边形的面积，得到π
=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
我国古代的刘徽他为了圆周率的计算一直潜心钻研着。一次，刘徽看到石匠在加
工石头，觉得很有趣就仔细观察了起来。“哇！原本一块方石，经石匠师傅凿去
四角，就变成了八角形的石头。再去八个角，又变成了十六边形。”一斧一斧地
凿下去，一块方形石料就被加工成了一根光滑的圆柱。谁会想到，在一般人看来
非常普通的事情，却触发了刘徽智慧的火花。他想：“石匠加工石料的方法，可
不可以用在圆周率的研究上呢？”
于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，一试果然有效。他发明了亘
古未有的“割圆术”。他沿着割圆术的思路，从圆内接正六边形算起，边数依次
加倍，相继算出正 12 边形，正 24边形……直到正 192边形的面积，得到圆周率
π的近似值为 157/50 (3.14)；后来，他又算出圆内接正 3 072边形的面积，从
而得到更精确的圆周率近似值：π≈3927/1 250(3.1416)。
24 / 35
13.2.3 命题与证明（时间为 18-23 分钟）
通过作业设置，学生进一步了解证明的基本过程,能将几何命
题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来,经历具体的几
课时作业目标 何命题的文字语言翻译成图形语言和符号语言的过程，学会将
文字语言用图形语言和符号语言来表示的方法;通过学习几何
证明，初步感受推理的严密性、条理性。
课前预习作业(必做题)（5分钟）
一、解答题
1. 如图，在△ABC内任意取一点 P，过点 P画三条直线分别平行于△ABC的
三条边。
(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；
(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于 180°。
解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋
∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得。
解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C。
理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1
＝∠A。同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；
(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI
＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，
∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°。
设计意图：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性
质和对顶角相等。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
课堂巩固作业(选做题)（6—8分钟）
1.直角三角形两锐角的平分线的夹角是______。
解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再
1
根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝ (∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的
2
内角和等于 180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角。
如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，
1
∴∠OAB＋∠OBA＝ (∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)
2
25 / 35
＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是 45°或 135°。故答案为
45°或 135°。
设计意图：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整
体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
课后提升作业(选做题)（7—10分钟）
有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于 H点，那么△AHC是直
角三角形吗？为什么？
解析：要判断△AHC 的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1 与∠2 与已
知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC 和∠DCA，这两个角是同
旁内角，于是联想到已知条件中的 AB∥CD。
解：△AHC是直角三角形。理由如下：
因为 AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°。
又因为 AH，CH 分别平分∠BAC和∠DCA，
1 1
所以∠1＝ ∠BAC，∠2＝ ∠DCA，
2 2
1
所以∠1＋∠2＝ (∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，
2
所以△AHC为直角三角形。
设计意图：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一
个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为 90°
来判定。
核心素养: 数学抽象，逻辑推理。
评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
26 / 35
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级 为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
27 / 35
13.2.4 命题与证明（时间为 25-30 分钟）
通过作业设置，学生有目的的去预习课本知识，提高学习的自
课时作业目标 觉性，巩固旧知，增强学习兴趣和解决问题的能力。学生通过
观察，推理，归纳，发现外角，了解外角概念，能用外角性质
解决相关问题，树立学好数学的信心。
课前预习作业（5分钟）
（1）三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的 ；
三角形的外角等于与它 的两个内角和；三角形的一个外角_________
与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和 。
（2）如图，AB∥CD，如果∠ABM=135°，∠CDM=150°，则∠BMD等于多少度？
A B N
M
C D
解析：⑴外角，不相邻，大于，360°
⑵【解】
如图，延长 AB和 DM交于点 N,则 ∠BMD=∠N+∠MBN
∵∠ABM+∠MBN=180°，∠ABM=135°
∴∠MBN=45°
∵AB∥CD
∴∠CDM+∠N=180°
又∵∠CDM=150°
∴∠N=30°
∴∠BMD=∠N+∠MBN=30°+45°=75°
设计意图
通过预习作业（1）让学生了解三角形的外角的概念，三角形的内角和定理
的推论 3、4并知道三角形的外角和等于 360°；作业（2）主要考查三角形内角
和定理的推论即外角的性质，通过添加辅助线，将原来的不规则图形转化为几个
三角形，并应用三角形外角的性质解决问题。
核心素养: 数学运算，逻辑推理。
课堂巩固作业（时间为 6-7分钟）
一、解答题
如图：在△ABC 中，∠1＝∠2＝∠3。
(1)试说明：∠BAC＝∠DEF；
(2)若∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC度数。
解析：(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3
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＋∠CAE＝∠DEF，再根据∠1＝∠3整理即可得证；
(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠2＋∠BCF
＝∠DFE，再根据∠2＝∠3即可得∠ACB＝∠DFE，然后利用三角形的内角和等于
180°求解即可。
解：(1)在△ACE 中，∠DEF＝∠3＋∠CAE，∵∠1＝∠3，∴∠DEF＝∠1＋∠CAE
＝∠BAC，即∠BAC＝∠DEF；
(2)在△BCF中，∠DFE＝∠2＋∠BCF，∵∠2＝∠3，∴∠DFE＝∠3＋∠BCF，
即∠DFE＝∠ACB。∵∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，∴在△ABC中，∠ABC＝180°
－∠BAC－∠ACB＝180°－70°－50°＝60°。
设计意图：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键。
核心素养:逻辑推理，数学运算。
课后提升作业(选做题)（14—18 分钟）
1.如图，已知 CE 为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交 BA的延长线于点 E，
求证：∠BAC＞∠B。
解析：要说明两角的不等关系，就要考虑利用“三角形的一个外角大于与它
不相邻的任何一个内角”。解决此题的关键是要找出与两角均有联系的中间量。
证明：∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2。
∴∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2。
又∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B。
设计意图：证明角与角之间的不等关系时，应联想到三角形的外角与内角之
间的关系。
核心素养:逻辑推理。
2.知识拓展(选做题)
已知：我们的国旗是五星红旗，你知道五角星的五个角的和吗？如图为一五
角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°。
解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据
三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证。
证明：∵∠EFG、∠EGF 分别是△BDF、△ACG 的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，
∠EGF＝∠A＋∠C。又∵在△EFG 中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B
＋∠C＋∠D＋∠E＝180°。
设计意图：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质
将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决。
核心素养:逻辑推理，数学建模，数学运算。
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评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错
误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程不
规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价
综合评价等级 为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
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三角形中的边角关系命题与证明
单元质量检测作业设计（32—45 分钟）
(A)基础作业(必做题)（10—14分钟）
1.已知等腰三角形的一边长 5cm，另一边长 8cm，则它的周长是( )
A. 18cm B. 21cm C. 18cm 或 21cm D. 无法确定
解析： (1)当腰是 5cm 时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm 能构成三角形,则
等腰三角形的周长= 5 + 5 + 8 = 18 ；
(2)当腰是 8cm 时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm 能构成三角形,
则等腰三角形的周长= 5 + 8 + 8 = 21 ．
因此这个等腰三角形的周长为 18cm 或 21cm。
故选 C．
设计意图：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明
确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论,还应验证各种情况是否
能构成三角形进行解答，这点非常重要,也是解题的关键.题目给出等腰三角形有
两条边长为 5cm 和 8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论,还要
应用三角形的三边关系验证能否组成三角形。
核心素养: 数学抽象，数学运算。
2.要求画△ 的边 AB 上的高，下列画法中，正确的是( )
A. B.
C. D.
解析：A.是△ 的边 BC 边上的高,故错误；B.不是△ 任意三边的高线,故
错误；C.是△ 的边 AB上的高,故正确；D.是△ 的边 AC 上的高,故错误．
故选 C．
设计意图：本题是一道作图题,考查了三角形的高的作法,是课堂作业要熟练
掌握。作哪一条边上的高,即从它所对的顶点向这条边或者这条边的延长线作垂
线即可。
核心素养: 直观想象，数学建模。
3.对于命题“若 2 > 2,则 > ”,下面四组关于 a,b的值中,能说明这个命题
是假命题的是( )
解析：A. = 3, = 2 B. = 3, = 2 C. = 3, = 1D. = 1, = 3
在 A 中, 2 = 9, 2 = 4,且3 > 2,满足“若 2 > 2,则 > ”,故 A 选项中 a、b
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的值不能说明命题为假命题；
在 B中, 2 = 9, 2 = 4,且 3 < 2,此时虽然满足 2 > 2,但 > 不成立,故 B选
项中 a、b的值可以说明命题为假命题；
在 C中, 2 = 9, 2 = 1,且3 > 1,满足“若 2 > 2,则 > ”,故 C 选项中 a、b
的值不能说明命题为假命题；
在 D 中, 2 = 1, 2 = 9,且 1 < 3,此时满足 2 < 2,得出 < ,即意味着命题
“若 2 > 2,则 > ”成立,故 D选项中 a、b的值不能说明命题为假命题；
故选 B．
设计意图：本题主要考查假命题的判断,举反例是说明假命题不成立的常用
方法,但需要注意所举反例需要满足命题的题设,但结论不成立．
说明命题为假命题,即 a、b的值满足 2 > 2,但 > 不成立,把四个选项中的 a、
b的值分别代入验证即可。
核心素养：逻辑推理，数学建模。
4.如图,直线 AB∥CD,∠A=70 ,∠C=40 ,则∠E等于
( )
A. 30 B. 50 C. 60 D. 40
解析：如图, AB∥CD, ∠A=70 ,
∴∠1=∠A=70 ,
∵∠1=∠C+∠E, ∠C=40 ,
∴∠E=∠1-∠C=70 -40 =30
故选：A．
设计意图：先根据两直线平行,同位角相等求出∠1,再利用三角形的外角等
于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠ 的度数．
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,熟知两直线平行,同位角相等
是解答此题的关键。
核心素养: 数学抽象，数学运算。
5.如图,AD是△ 的角平分线,点 O在 AD上,且 ⊥ 于点 E,∠BAC=60 ,
∠C=80 ,则∠EOD 的度数为( )
A. 20 B. 30 C. 10 D. 15
解析：∠BAC=60 ，∠C=80 ，∴∠B=40 ．
又∵ 是∠ 的角平分线，
1
∴∠BAD= ∠BAC=30 ,∴∠ADE=70 ,
2
又∵ ⊥ ,∴∠EOD=20 ．
故选：A．
设计意图：首先根据三角形的内角和定理求得∠ ,再根据角平分线的定义
求得∠ ,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ ,
最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路,考查了
三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义。
核心素养: 数学抽象，数学运算。
6.下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都
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在三角形内部；③三角形的高都在三角形的内部；④如果点 P 是△ABC 中边 AC
的中点，则 PB 是△ABC 的中线．其中是真命题的有( )
A．①②④ B．①②③④ C．①④ D．①②
解析：本题考察三角形的高、中线、角平分线的概念和交点情况，只有钝角、直
角三角形高的交点特殊，故选：A．
设计意图：理解三角形中线、高线、平分线等概念，培养数形结合意识。
核心素养: 直观想象，数学抽象。
7.2cm,4cm,5cm,8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组
成三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：分为 4组，①4cm,5cm,8cm②2cm, 5cm,8cm③2cm,4cm, 8cm④2cm,4cm,5cm,
①4cm+5cm＞8cm②2cm+5cm＜8cm③2cm+4cm＜8cm④2cm+4cm＞5cm，只有①④
正确，故选 B。
设计意图：分类组合思想，组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的长
度是否大于最长的线段的长度。
核心素养: 直观想象, 数学运算。
(B)提升作业(选做题)（10—15分钟）
1.如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AF⊥BC，AD平分∠BAC.
(1)若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAF = ；
(2)由(1)猜想出∠DAF 与∠B，∠C之间的关系并证明．
解析：(1)∠DAE＝30°－10°＝20°.
1
(2)由(1)可得：∠DAE＝ (∠C－∠B)．
2
证明略。
设计意图：理解三角形高线、平分线、内角和定理等概念，培养数形结合意
识。
核心素养: 直观想象，数学抽象。
2.等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线 BD将这个三角形的周长分成 15cm和 6cm
两部分，求这个等腰三角形的三边长．
解析：设 AD＝CD＝xcm，则 AB＝2xcm，BC＝(21－4x)cm.依题意，有 AB＋AD＝15cm
或 AB＋AD＝6cm，
则有 2x＋x＝15或 2x＋x＝6，解得 x＝5或 x＝2.
当 x＝5 时，三边长为 10cm，10cm，1cm；
当 x＝2 时，三边长为 4cm，4cm，13cm，而 4＋4＜13，不成立．
所以这个等腰三角形的三边长为 10cm，10cm，1cm.
设计意图：了解等腰三角形的腰和底，三角形的周长，判断三条线段能否组
成三角形的简便方法是看较短的两条线段的长度是否大于最长的线段的长度。
核心素养: 直观想象, 数学运算。
3. 如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.
(1)证明：CD是△ABC 的高．
(2)如果 AC＝8，BC＝6，AB＝10，求 CD的长．
解：因为∠ACB＝90°.∠1＋∠BCD＝90°.
又∠1＝∠B，所以∠B＋∠BCD＝90°.
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所以△BCD 是直角三角形，即 CD⊥AB．
1 1
解析：因为∠ACB＝∠CDB＝90°.所以 S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD.因为 AC＝8，BC
2 2
AC·BC 8×6 24
＝6，AB＝10，所以 CD= ＝ ＝ .
AB 10 5
设计意图：理解三角形高，面积的计算方法（等积法），培养数形结合意识。
核心素养: 直观想象，数学抽象，数学建模。
(C)知识拓展(选做题)（12—16分钟）
1．如图，在△ABC中，点 E在 AC上，∠AEB=∠ABC．
(1)图 1 中，作∠BAC 的平分线 AD，分别交 CB，BE于 D，F两点，求证：∠EFD=
∠ADC．
(2)图 2 中，作△ABC 外角∠BAG的平分线 AD，分别交 CB，BE的延长线于 D，F
两点，试探究(1)中结论是否仍成立 为什么
解析：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．
(2)(1)中结论仍成立．
理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD，
∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD，
∵∠EFD=∠AEB－∠FAE，∠ADC=∠ABC－∠BAD，
又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．
设计意图：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质
将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决，理解角平分线概
念。
核心素养:逻辑推理，数学运算。
评价设计：“知识拓展”题目的设计让 A、B 两组学生 55%以上能够在规定时
间内完成，C组学生能够 40%以上基本完成，有一定难度，区分度较大。
2.（1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ放置在△ABC 上，恰好三角板 XYZ的两条
直角边 XY、XZ分别经过点 B、C．△ABC 中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB
＝ 度，∠XBC＋∠XCB＝ 度；
（2）如图 2，改变直角三角板 XYZ的位置，使三角板 XYZ的两条直角边 XY、XZ
仍然分别经过点 B、C，那么∠ABX＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举
例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX 的大小．
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A A
X
X
B C B C
Y
Y Z
Z
图 1 图 2
解析：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．
（2）不变化．
∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）
=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°．
设计意图：本题考查的是三角形内角和定理．运用整体法计算．关键是求出
∠ABC+∠ACB．
核心素养:逻辑推理，数学运算。
评价设计：
等级
评价指标 备 注
A B C
A 等，答案正确、过程正确。
B 等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确。 C 等，过程
不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评
综合评价等级 价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。
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