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考试频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
1．数据的集中趋势 （1）平均数 ①平均数的概念 ②平均数的计算方法 ③用样本平均数估计总体平均数 （2）众数 （3）中位数 （4）平均数、中位数和众数的联系与区别 2．数据的波动程度 （1）极差 （2）方差 （3）标准差 （4）极差、方差和标准差的联系与区别 3．数据分析的步骤 （1）收集数据 （2）整理数据 （3）描述数据 （4）分析数据 （5）撰写调查报告
一、数据的集中趋势
1．平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
（2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
2．平均数的计算方法
（1）定义法
当所给数据，，…，比较分散时，一般选用定义公式：．
（2）加权平均数法
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（3）新数据法
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a．
是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）．
3．用样本平均数估计总体平均数
（1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值．
（2）用样本平均数估计总体平均数
用样本估计总体是统计中最常用的方法，也就是用样本的特征去估计总体的相应特征，常用的是用样本的平均数估计总体的平均数．
（3）用样本估计总体的准确性
用样本估计总体时，可能会产生误差，一般样本容量越大，估计的值就越准确．
4．众数
（1）定义
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．如：1，2，3，3，3，2的众数为3．
（2）求一组数据的众数的方法：找出出现频数最大的那个数据，若几个数据频数都是最多的且频数相同，则这几个数据都是众数．
5．中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
6．平均数、中位数和众数的联系与区别
联系 都是数据的代表，都可以反映一组数据的集中趋势，能从不同的角度提供信息．
区别 平均数 反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关 优点 所有数据都参加运算，能充分地利用数据所提供的信息，在现实生活中较为常用
缺点 易受极端值的影响
中位数 反映一组数据的中等水平 优点 计算简单，受极端值影响较小
缺点 不能充分利用所有数据的信息
众数 只与数据出现的次数有关 优点 是人们尤为关心的一个量，因为它是组数据中重复出现次数最多的那个数
缺点 当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别意义了
二、数据的波动程度
1．极差
一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据．
2．方差
（1）在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“”表示．
（2）方差的计算公式是：．
（3）意义：方差反映的是一组数据偏离平均值的情况．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
（4）求方差的步骤
一均：求原始数据的平均数；
二差：求原始数据与平均数的差；
三方：求所得各个差的平方；
四均：求所得各平方数的平均数．
（5）用样本方差估计总体方差
在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，就常用样本方差来估计总体方差．
（6）拓展
①若一组数据x1，x2，…，xn的平均数是，则
（Ⅰ）数据ax1，ax2，…，axn的平均数为a；
（Ⅱ）数据x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b；
（Ⅲ）数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b．
②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
3．标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
标准差的数量单位与原数据一致．
4．极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差．
三、数据分析的步骤
（1）收集数据
①确定样本；②确定抽取样本的方法．
（2）整理数据
整理样本中的各项数据，制成统计表．
（3）描述数据
根据整理的统计表，画出条形图、扇形图、折线图、直方图等，使得数据分布的信息更清楚地显现出来．
（4）分析数据
根据原始数据或过程中得到的各种统计图表，计算各组数据的平均数、中位数、众数、方差等，通过分析图表与各种统计量得出结论．
（5）撰写调查报告
考点目录
考点1 平均数的求法 6
考点2 中位数、众数 8
考点3 极差 10
考点4 方差 11
考点5 利用方差做决策 13
考点6 平均数、中位数、众数、方差与统计图表综合 15
考点1 平均数的求法
（1）定义法 当所给数据，，…，比较分散时，一般选用定义公式：． （2）加权平均数法 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中． （3）新数据法 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：． 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a． 是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）．
【例1】　（2024春 瑞安市期中）引体向上是温州市初中毕业生体育学业考试男生自主选考科目之一．现有10位九年级男生成绩如下：7，3，11，11，8，8，2，8，9，3（单位：个），10位男生引体向上的平均成绩为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．11个
【例2】　（2023秋 永年区期末）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是　　
A．86分 B．85分 C．84分 D．83分
【例3】　（2024春 海曙区校级期中）若数据，，的平均数是3，则数据，，的平均数是 　　．
考点2 中位数、众数
1．在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中有可能有多个众数． 2．如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【例1】　（2024春 电白区期中）在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为　　
A．1.70，1.75 B．1.65，1.75 C．1.65，1.70 D．1.70，1.70
【例2】　（2024 蓬江区校级一模）如图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数和中位数分别为　　
A．14，15 B．15，14 C．15，15 D．15，14.5
【例3】　（2024 双流区校级一模）六名同学的数学成绩分别为83，91，91，78，94，89．这组数据的众数和中位数分别是　　
A．91，89 B．94，90 C．91，90 D．91，91
考点3 极差
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大．一组数据极差越小，这组数据就越稳定．
【例1】　（2023秋 建湖县期末）一组数据1，，2，5，3的极差是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【例2】　（2023秋 宿豫区期末）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高（单位：为：10、16、9、17、19，则这组数据的极差是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【例3】　（2023秋 临淄区期中）若一组数据，0，2，4，的极差为6，则的值是　　
A． B．2或 C．5 D．5或
考点4 方差
（1）方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量． （2）方差的计算公式是：． （3）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是． （4）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
【例1】　（2024春 渝中区校级期中）从我校4月30日的春季运动会中，抽取了甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，这3位同学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【例2】　（2024春 鄞州区校级期中）已知数据，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是　　
A．4 B．5 C．8 D．16
【例3】　（2024春 海曙区校级期中）若一组数据3，，，，3的众数是3，则这组数据的方差为 　　．
考点5 利用方差做决策
在实际问题中，方差大与小都有各自的用途，并不是所有的统计问题中，方差都是越小越好，还要看这组数据所反映的实际问题．
【例1】　（2024 德城区一模）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是　　
甲 乙 丙 丁
平均数 92 98 98 91
方差 1 1.2 0.9 0.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【例2】　（2024 拱墅区校级模拟）甲、乙、丙、丁四位学生进行“汉字拼写”训练，每位同学五次训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加比赛，应选择　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【例3】　（2024春 瑞安市期中）为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量，从七、八年级中随机各抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如下：（单位：
七年级：0.7，0.8，0.7，0.7，1.0，1.6，2.2，1.0，1.8，1.5．
八年级：0.9，0.8，1.2，0.9，1.8，0.9，0.8，1.6，2.2，0.9．
餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：．，，，．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 等级所占百分比
七年级 1.2 1.0 0.26
八年级 1.2 0.9 0.22
（1）直接写出上述表中，，的值；
（2）结合以上各个统计量进行分析，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由．
考点6 平均数、中位数、众数、方差与统计图表综合
结合统计图获取信息，利用直观想象素养，可以确定一组数据的平均数、中位数、众数，解决问题． （1）条形统计图中频数最大的数是众数，要先计算总体数据个数，然后确定中位数． （2）根据扇形统计图可以直观得出众数，同时可以确定中位数的大致范围． （3）在平均数与统计图相结合的题目中，准确理解统计图表示的意义是解题的关键，条形统计图能清楚地表示事物的具体数量，折线统计图反映了数据的变化情况，扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中的占比情况． （4）利用方差做决策的解决方法： 观察统计图表→获取数据信息→计算方差→作出判断．
【例1】　（2024春 兴宁区校级期中）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）相关数据统计、整理如下：
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图；
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，
8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 合格率
七年级
八年级 7.4 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　，　　，　　；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【例2】　（2024春 鹿城区校级期中）为深入开展全民禁毒宣传教育，某校八年级开展了“禁毒知识”竞赛活动．每班参加竞赛活动的人数相同，成绩分为，，，四个等级，且相应等级的得分依次为50分，30分，10分，0分，学校将八一班和八二班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
（1）八一班和八二班学生的竞赛成绩的中位数分别为 　　分，　　分．
（2）八三班也参加了此次竞赛，获知八三班的竞赛成绩只有、两个等级．若八三班成绩的中位数比一班、二班都高，求八三班的平均成绩最低是多少？
【例3】　（2024春 沙坪坝区校级期中）为了解、两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买、两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：差评，中评，好评，下面给出了部分信息．
购买款饮水机的10名用户体验评分：2，6，6，7，8，8，9，9，9，10．
购买款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：5，7，7，7，8，8．
购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表
类别 平均数 众数 中位数 方差
7.4 8 4.84
7.4 7 4.24
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的　　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若购买款饮水机的用户有2000名，购买款饮水机的用户有1500名，估计对、两款饮水机好评的用户共有多少名？
1．（2024 东莞市校级模拟）九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是　　
成绩 24 25 26 27 28 29 30
人数 ▄ ▄ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数
2．（2024春 鼓楼区校级期中）八年级某班正在筹备班班有歌声比赛，班长对全班同学进行了问卷调查．他将三首备选歌曲编号，让每位同学选取其中一首．下列调查数据中你认为最值得关注的是　　
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
3．（2024春 海淀区校级期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是　　
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
4．（2024春 鼓楼区校级期中）某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为、，方差分别为、，则　　
甲组 4 5 6 6 7 8
乙组 2 5 6 6 7 10
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024春 灌云县期中）某篮球队5名场上队员的身高（单位：分别是183、187、190、200、195，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员身高的　　
A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变小，方差变小
6．（2024春 苍南县期中）一组数据2，3，7，5，5，则这组数据的中位数是　　
A．2 B．3 C．7 D．5
7．（2024 高青县一模）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
学生人数 100 180 220 80 750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（2024春 新昌县期中）已知一组数据是8，4，7，，10，其平均数是7.4，则的值为　　
A．7.4 B．8 C．9 D．10
9．（2024春 如东县期中）某公司决定招聘经理一名，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩（分数） 80 80 90
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 　　分．
10．（2023秋 武功县期末）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为 　　分．中小学教育资源及组卷应用平台
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考试频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
1．数据的集中趋势 （1）平均数 ①平均数的概念 ②平均数的计算方法 ③用样本平均数估计总体平均数 （2）众数 （3）中位数 （4）平均数、中位数和众数的联系与区别 2．数据的波动程度 （1）极差 （2）方差 （3）标准差 （4）极差、方差和标准差的联系与区别 3．数据分析的步骤 （1）收集数据 （2）整理数据 （3）描述数据 （4）分析数据 （5）撰写调查报告
一、数据的集中趋势
1．平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
（2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
2．平均数的计算方法
（1）定义法
当所给数据，，…，比较分散时，一般选用定义公式：．
（2）加权平均数法
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（3）新数据法
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a．
是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）．
3．用样本平均数估计总体平均数
（1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值．
（2）用样本平均数估计总体平均数
用样本估计总体是统计中最常用的方法，也就是用样本的特征去估计总体的相应特征，常用的是用样本的平均数估计总体的平均数．
（3）用样本估计总体的准确性
用样本估计总体时，可能会产生误差，一般样本容量越大，估计的值就越准确．
4．众数
（1）定义
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．如：1，2，3，3，3，2的众数为3．
（2）求一组数据的众数的方法：找出出现频数最大的那个数据，若几个数据频数都是最多的且频数相同，则这几个数据都是众数．
5．中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
6．平均数、中位数和众数的联系与区别
联系 都是数据的代表，都可以反映一组数据的集中趋势，能从不同的角度提供信息．
区别 平均数 反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关 优点 所有数据都参加运算，能充分地利用数据所提供的信息，在现实生活中较为常用
缺点 易受极端值的影响
中位数 反映一组数据的中等水平 优点 计算简单，受极端值影响较小
缺点 不能充分利用所有数据的信息
众数 只与数据出现的次数有关 优点 是人们尤为关心的一个量，因为它是组数据中重复出现次数最多的那个数
缺点 当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别意义了
二、数据的波动程度
1．极差
一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据．
2．方差
（1）在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“”表示．
（2）方差的计算公式是：．
（3）意义：方差反映的是一组数据偏离平均值的情况．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
（4）求方差的步骤
一均：求原始数据的平均数；
二差：求原始数据与平均数的差；
三方：求所得各个差的平方；
四均：求所得各平方数的平均数．
（5）用样本方差估计总体方差
在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，就常用样本方差来估计总体方差．
（6）拓展
①若一组数据x1，x2，…，xn的平均数是，则
（Ⅰ）数据ax1，ax2，…，axn的平均数为a；
（Ⅱ）数据x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b；
（Ⅲ）数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b．
②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
3．标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
标准差的数量单位与原数据一致．
4．极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差．
三、数据分析的步骤
（1）收集数据
①确定样本；②确定抽取样本的方法．
（2）整理数据
整理样本中的各项数据，制成统计表．
（3）描述数据
根据整理的统计表，画出条形图、扇形图、折线图、直方图等，使得数据分布的信息更清楚地显现出来．
（4）分析数据
根据原始数据或过程中得到的各种统计图表，计算各组数据的平均数、中位数、众数、方差等，通过分析图表与各种统计量得出结论．
（5）撰写调查报告
考点目录
考点1 平均数的求法 6
考点2 中位数、众数 8
考点3 极差 10
考点4 方差 11
考点5 利用方差做决策 13
考点6 平均数、中位数、众数、方差与统计图表综合 15
考点1 平均数的求法
（1）定义法 当所给数据，，…，比较分散时，一般选用定义公式：． （2）加权平均数法 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中． （3）新数据法 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：． 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a． 是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）．
【例1】　（2024春 瑞安市期中）引体向上是温州市初中毕业生体育学业考试男生自主选考科目之一．现有10位九年级男生成绩如下：7，3，11，11，8，8，2，8，9，3（单位：个），10位男生引体向上的平均成绩为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．11个
【答案】
【分析】根据算术平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：10位男生引体向上的平均成绩为（个，
故选：．
【例2】　（2023秋 永年区期末）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是　　
A．86分 B．85分 C．84分 D．83分
【答案】
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
（分，
故选：．
【例3】　（2024春 海曙区校级期中）若数据，，的平均数是3，则数据，，的平均数是 　　．
【答案】7．
【分析】根据平均数的公式进行计算即可．
【解答】解：数据，，的平均数是3，
，
．
故答案为：7．
考点2 中位数、众数
1．在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中有可能有多个众数． 2．如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【例1】　（2024春 电白区期中）在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为　　
A．1.70，1.75 B．1.65，1.75 C．1.65，1.70 D．1.70，1.70
【答案】
【分析】根据众数和中位数的定义直接解答即可．
【解答】解：将这14名运动员的成绩从小到大排列，则中位数是170；
出现了4次，出现的次数最多，
这些运动员成绩的众数是175；
故选：．
【例2】　（2024 蓬江区校级一模）如图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数和中位数分别为　　
A．14，15 B．15，14 C．15，15 D．15，14.5
【答案】
【分析】根据中位数、众数的定义进行计算即可求解．
【解答】解：这20名篮球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁；
将这20名篮球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，因此中位数是（岁．
故选：．
【例3】　（2024 双流区校级一模）六名同学的数学成绩分别为83，91，91，78，94，89．这组数据的众数和中位数分别是　　
A．91，89 B．94，90 C．91，90 D．91，91
【答案】
【分析】将这组数据重新排列，再依据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为：78，83，89，91，91，94，
所以这组数据的众数为91、中位数为，
故选：．
考点3 极差
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大．一组数据极差越小，这组数据就越稳定．
【例1】　（2023秋 建湖县期末）一组数据1，，2，5，3的极差是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】
【分析】根据极差的定义即可求得．
【解答】解：该组数据的极差是：；
故选：．
【例2】　（2023秋 宿豫区期末）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高（单位：为：10、16、9、17、19，则这组数据的极差是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】
【分析】根据极差的概念计算即可．
【解答】解：这组数据的最大值是19，最小值是9，
则这组数据的极差为：，
故选：．
【例3】　（2023秋 临淄区期中）若一组数据，0，2，4，的极差为6，则的值是　　
A． B．2或 C．5 D．5或
【答案】
【分析】当为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．
【解答】解：当为最大值时，
，
解得；
当为最小值时，
，
解得，
故选：．
考点4 方差
（1）方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量． （2）方差的计算公式是：． （3）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是． （4）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
【例1】　（2024春 渝中区校级期中）从我校4月30日的春季运动会中，抽取了甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，这3位同学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：，，，
，
这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是乙．
故选：．
【例2】　（2024春 鄞州区校级期中）已知数据，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是　　
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】
【分析】利用方差的定义和性质直接求解．
【解答】解：数据，，的方差是4，
数据，，，的方差是．
故选：．
【例3】　（2024春 海曙区校级期中）若一组数据3，，，，3的众数是3，则这组数据的方差为 　　．
【答案】6．
【分析】先根据众数的概念得出，再依据方差的定义计算可得．
【解答】解：数据3，，，，3的众数是3，
，
则数据为3，，3，，3
这组数据的平均数为：，
这组数据的方差为：；
故答案为：6．
考点5 利用方差做决策
在实际问题中，方差大与小都有各自的用途，并不是所有的统计问题中，方差都是越小越好，还要看这组数据所反映的实际问题．
【例1】　（2024 德城区一模）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是　　
甲 乙 丙 丁
平均数 92 98 98 91
方差 1 1.2 0.9 0.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】
【分析】根据方差越小越稳定决策即可．
【解答】解：丙的平均数最大，方差最小，
丙成绩好且状态稳定，
故选：．
【例2】　（2024 拱墅区校级模拟）甲、乙、丙、丁四位学生进行“汉字拼写”训练，每位同学五次训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加比赛，应选择　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵，，，，
，
应选择丁，
故选：．
【例3】　（2024春 瑞安市期中）为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量，从七、八年级中随机各抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如下：（单位：
七年级：0.7，0.8，0.7，0.7，1.0，1.6，2.2，1.0，1.8，1.5．
八年级：0.9，0.8，1.2，0.9，1.8，0.9，0.8，1.6，2.2，0.9．
餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：．，，，．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 等级所占百分比
七年级 1.2 1.0 0.26
八年级 1.2 0.9 0.22
（1）直接写出上述表中，，的值；
（2）结合以上各个统计量进行分析，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由．
【答案】（1）0.7，0.9，；
（2）八年级落实的更好，理由见解答内容（言之有理即可）．
【分析】（1）根据众数、中位数的概念即可求出、，再根据八年级的数据中等级的数据除以调查总数，即可求；
（2）结合统计表的相关数据，合理分析即可．
【解答】解：（1）从七年级的数据可以看出，0.7出现的次数更多，所以这组数据的众数为0.7，即；
将八年级的数据从小到大排列为：0.8，0.8，0.9，0.9，0.9，0.9，1.2，1.6，1.8，2.2，一共有10个数据，其中第5个和第6个数据均为0.9，所以这组数据的中位数为，即；
八年级中的数据有6个，所以，
故答案为：0.7，0.9，．
（2）八年级落实的更好，理由如下：
从统计表中可以看出，虽然八年级的众数略高于七年级，
但两者的平均数相同，八年级的中位数低于七年级，八年级等级的占比高于七年级，说明八年级更多班级落实了“光盘行动”，
同时八年级的方差低于七年级，说明八年级的成绩更稳定，
所以八年级比七年级落实的更到位（言之有理即可）．
考点6 平均数、中位数、众数、方差与统计图表综合
结合统计图获取信息，利用直观想象素养，可以确定一组数据的平均数、中位数、众数，解决问题． （1）条形统计图中频数最大的数是众数，要先计算总体数据个数，然后确定中位数． （2）根据扇形统计图可以直观得出众数，同时可以确定中位数的大致范围． （3）在平均数与统计图相结合的题目中，准确理解统计图表示的意义是解题的关键，条形统计图能清楚地表示事物的具体数量，折线统计图反映了数据的变化情况，扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中的占比情况． （4）利用方差做决策的解决方法： 观察统计图表→获取数据信息→计算方差→作出判断．
【例1】　（2024春 兴宁区校级期中）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）相关数据统计、整理如下：
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图；
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，
8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 合格率
七年级
八年级 7.4 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　，　　，　　；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【答案】（1）7.4，7.5，8，7；
（2）150人；
（3）见解析．
【分析】（1）由平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图以及八年级抽取的学生的竞赛成绩，即可求得答案；
（2）用学生总数乘以被调查学生中竞赛成绩达到（9分）及以上的人数所占的比例即可得到答案；
（3）根据中位数和众数的意义进行说明．
【解答】解：（1）七年级的平均数
，
七年级的中位数，
七年级的众数，
八年级的中位数，
故答案为：7.4，7.5，8，7；
（2）（人，
即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到（9分）及以上有150人；
（3）众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数，
中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平．
【例2】　（2024春 鹿城区校级期中）为深入开展全民禁毒宣传教育，某校八年级开展了“禁毒知识”竞赛活动．每班参加竞赛活动的人数相同，成绩分为，，，四个等级，且相应等级的得分依次为50分，30分，10分，0分，学校将八一班和八二班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
（1）八一班和八二班学生的竞赛成绩的中位数分别为 　　分，　　分．
（2）八三班也参加了此次竞赛，获知八三班的竞赛成绩只有、两个等级．若八三班成绩的中位数比一班、二班都高，求八三班的平均成绩最低是多少？
【答案】（1）10，30；
（2）40.4分．
【分析】（1）根据中位数的确定方法解答即可；
（2）先判断等级的最低人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，每班都是（人参加竞赛，
八一班分数由高到低排列第13个数据在等级，
八一班学生竞赛成绩的中位数为10分；
八二班级有（人，级有（人，级有（人，级有（人，
八二班分数由高到低排列第13个数据在等级，
八二班学生竞赛成绩的中位数为30分；
故答案为：10，30；
（2）八三班的竞赛成绩只有、两个等级．若八三班成绩的中位数比一班、二班都高，
八三班的竞赛成绩等级至少有13人，
八三班的平均成绩最低是（分，
答：八三班的平均成绩最低是40.4分．
【例3】　（2024春 沙坪坝区校级期中）为了解、两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买、两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：差评，中评，好评，下面给出了部分信息．
购买款饮水机的10名用户体验评分：2，6，6，7，8，8，9，9，9，10．
购买款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：5，7，7，7，8，8．
购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表
类别 平均数 众数 中位数 方差
7.4 8 4.84
7.4 7 4.24
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的　　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若购买款饮水机的用户有2000名，购买款饮水机的用户有1500名，估计对、两款饮水机好评的用户共有多少名？
【答案】（1）9、7.5、30；
（2）款饮水机用户体验情况更好，理由见解答（答案不唯一）；
（3）1050名．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数和方差的意义求解即可（答案不唯一）；
（3）用总人数分别乘以、款饮水机好评人数所占比例即可．
【解答】解：（1）款饮水机的10名用户体验评分的众数，
款饮水机的10名用户体验评分中“差评”等级人数为（人，
所以评分数据的第5、6个数据分别为7、8，
所以其中位数，
，即，
故答案为：9、7.5、30；
（2）款饮水机用户体验情况更好，
款饮水机用户体验评分的中位数大于款饮水机，
所以款饮水机用户体验评分得高分人数多于款，
所以款饮水机用户体验情况更好（答案不唯一）；
（3）（名，
答：估计对、两款饮水机好评的用户共有1050名．
1．（2024 东莞市校级模拟）九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是　　
成绩 24 25 26 27 28 29 30
人数 ▄ ▄ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数
【答案】
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据中成绩为24、25的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数30，即众数30，
第15、16个数据都是29，
则中位数为29，
故选：．
2．（2024春 鼓楼区校级期中）八年级某班正在筹备班班有歌声比赛，班长对全班同学进行了问卷调查．他将三首备选歌曲编号，让每位同学选取其中一首．下列调查数据中你认为最值得关注的是　　
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
【答案】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故最值得关注的是众数．
故选：．
3．（2024春 海淀区校级期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是　　
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
【答案】
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16；
把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16，
则这组数据的中位数是16．
故选：．
4．（2024春 鼓楼区校级期中）某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为、，方差分别为、，则　　
甲组 4 5 6 6 7 8
乙组 2 5 6 6 7 10
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】先计算甲乙两组的平均数判断和的大小，再根据方差的概念和意义，分析和的大小，即可解答．
【解答】解：，
，
所以，，
从表格中可以看出，甲组的数据分布于，乙组的数据分布于，
根据方差的概念和意义可知，甲组的数据波动比乙组的数据波动更小，离散程度更小，稳定性也更大，
所以，
故答案为：．
5．（2024春 灌云县期中）某篮球队5名场上队员的身高（单位：分别是183、187、190、200、195，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员身高的　　
A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变小，方差变小
【答案】
【分析】利用平均数的计算方法判断平均数的变化，利用数据波动性的变小和方差的意义判断数据方差的变化．
【解答】解：用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变大，而人数没变，
所以他们的平均数变大，
由于数据的波动性变大，
所以数据的方差变大．
故选：．
6．（2024春 苍南县期中）一组数据2，3，7，5，5，则这组数据的中位数是　　
A．2 B．3 C．7 D．5
【答案】
【分析】把数据按从小到大的顺序排列，由中位数的概念可得答案．
【解答】解：把数据按从小到大的顺序排列，第3个数是5，
中位数为5，
故选：．
7．（2024 高青县一模）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
学生人数 100 180 220 80 750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的有关知识判断即可．
【解答】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数，
故选：．
8．（2024春 新昌县期中）已知一组数据是8，4，7，，10，其平均数是7.4，则的值为　　
A．7.4 B．8 C．9 D．10
【答案】
【分析】利用平均数公式计算即可求出的值．
【解答】解：根据题意，得，
解得，
故选：．
9．（2024春 如东县期中）某公司决定招聘经理一名，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩（分数） 80 80 90
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 　　分．
【答案】83．
【分析】利用加权平均数的计算公式列式计算可得．
【解答】解：该应聘者的总成绩是（分，
故答案为：83．
10．（2023秋 武功县期末）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为 　　分．
【答案】91．
【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．
【解答】解：李老师的综合成绩为：（分，
故答案为：91．

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