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专题19 利用导数研究函数的零点（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 16
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 16
【考点2】根据零点情况求参数范围 25
【考点3】与函数零点相关的综合问题 33
【分层检测】 39
【基础篇】 39
【能力篇】 49
【培优篇】 52
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
4．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
参考答案：
1．B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
2．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
3．①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
4．（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
6．(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
7．(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究
【详解】（1）的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
（2）
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减，
当，，
又，
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
【点睛】
方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
8．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数
一、单选题
1．（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·全国·专题练习）若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有唯一零点
三、填空题
4．（2024·北京顺义·二模）已知函数，给出下列四个结论：
①当时，对任意，有1个极值点；
②当时，存在，使得存在极值点；
③当时，对任意，有一个零点；
④当时，存在，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
5．（23-24高二下·江西南昌·期中）已知函数.
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，证明：.
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的斜截式方程；
(2)当时，求出函数的所有零点；
(3)证明：.
参考答案：
1．D
【分析】将函数有两个零点，转化为函数的图象有两个不同交点问题；由此设，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根，
即函数的图象有两个不同交点；
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，当时，，
作出的图象如图：
当直线与图象相切时，设切点为，
此时，则，
故此时，
结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点，
需满足，
故，
故选：D
2．C
【分析】由不等式在恒成立，得到在上单调递增，再由在上是奇函数得到是偶函数，进而画出两个函数，大致图象，即可求解.
【详解】∵定义在上的奇函数满足，
∴．
∵，∴．
即，记，在上单调递增．
∵，∴是偶函数．
∴在上单调递减，且．
如图所示，画出，大致图象．
由图可得，有3个零点．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，关键在于构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，作出函数图象，将一个函数的零点个数问题，转化为两个函数的交点个数问题.
3．AD
【分析】对于A：利用导数的几何意义计算即可判断；对于B：求出，作图象数形结合判断其正负，即可判断函数的单调性；对于C、D：令，则构造函数令，利用导数求得其极值，从而说明当时，，即可判断.
【详解】对A：当时，，
，故在处的切线的斜率为1，故A正确；
对B：当时，，
作出函数在上的图象如图示，
可以看到在有两交点，
即有两个零点，不妨假设，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
故当时，在上不是单调递增函数，故B错误；
对C：，，
令，则，
令，，
令，得，
故当时，，递减，
当时，，递增，
所以当时，取到极小值，
即当时，取到极小值，
又，即，
又因为在上，递减，故，
当时，取到极大值，
即当时，取到极大值，
又，即，故，
当时，，
所以当，即时，在上无零点，故C错误；
对D：当，即时，与的图象只有一个交点，
即存在，在上有唯一零点，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，利用导数判断函数单调性，确定极值，从而帮助解决问题.
4．①④
【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理得到直线与曲线的关系.
【详解】对①：当时，，，
则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故对任意，有1个极大值点，故①正确；
对②：当时，，
若存在极值点，则有变号零点，则必须有解，
令，
则，
故当时，，当时， ，
故在、上单调递增，在上单调递减，
又时，，，
即恒成立，故当时，无解，故②错误；
对③：当时，，
当时，，此时函数无零点，故③错误；
对④：当时，若存在，使得有3个零点，
则直线与曲线有三个不同交点，
由直线过点，曲线过点，
又，是偶函数，且在上单调递减，
故当时，直线与曲线在第二象限必有一交点，
同理，当时，直线与曲线在第一象限必有一交点，
过点作曲线的切线，设切点为，
则切线方程为，
即，则，
由，则，即，
即，即，
故当时，存在，
使曲线有过点的切线，且切点为，
当时，切线斜率为，
则当时，有，又，
则存在，使，
此时函数单调递减，而恒成立，
故存在，使，
即当时，存在，使得有3个零点，
同理可得，当时，存在，使得有3个零点，故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理去得到直线与曲线的关系.
5．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理即可证明.
（2）把恒成立问题转化为，令，利用导数研究单调性，利用单调性求解最值即可求解参数范围.
（3）由题意只需证明，令，利用导数求解最值得，令，利用导数求解最值得，即可证明.
【详解】（1）当时，函数，定义域为，
则，
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，则，
即在上恒成立，所以在上单调递增，
而，
所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点.
（2）当时，等价于，
令，求导得，
令，
则，当时，单调递增，
当时，单调递减，则，
于是当时，单调递增，
当时，单调递减，因此，
所以的取值范围为.
（3）要证明，只要证明，
令，则，所以，
所以在为增函数，为减函数，
所以，令，解得，
所以在为减函数，在为增函数，
所以，又因为，所以，即所以得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.
6．(1)；
(2)有唯一零点；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）把代入，利用导数探讨单调性，求出函数最小值即得.
（3）对所证不等式作等价变形得，再构造函数依次证明即得.
【详解】（1）当时，，求导得，
则，又，
因此曲线在点处的切线方程为，
所以切线的斜截式方程为.
（2）当时，，求导得，
令，，则，
则在单调递增，而，当时，，即，
当时，，，函数在上递减，在上递增，又，
所以当时，有唯一零点.
（3）不等式
，
令函数，求导得，当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，则，即，
因此，，
令，求导得，函数在上递增，
，因此，又，
从而，
所以原不等式得证.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
反思提升：
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
【考点2】根据零点情况求参数范围
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）己知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
4．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
5．（2024·江苏·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上零点的个数；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】当时，，当时，，利用导数求得时，有最小值， 由，求a的取值范围.
【详解】由题意，令，得，
已知，当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
故当时，有最小值，而，
由此可知当时，，当时，，
若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知，
的最小值，
又，所以，，所以，所以，
即a的取值范围是．
故选：B.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．C
【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解.
【详解】当时，，此时，
则时，单调递减；时，单调递增，
所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象，
函数有5个不同的零点，则方程，
即有5个不相等实数根，
也即是和共有5个不相等实数根，
其中有唯一实数根，
只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知，
即实数的取值范围为.
故选：C.
3．ACD
【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
4．
【分析】根据对勾函数的性质以及导数求解函数的最值，即可作出函数的图象，根据只有一个交点，即可结合图象求解.
【详解】，
由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减，
故，作出的大致图象如下：
故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点，
故，即，
故答案为：
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明；
（2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.
【详解】（1）因为函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则，
则在单调递增，
所以，即.
（2），
令，
则.
所以在单调递增，，
①时，，.
则在为增函数，在上无极值点，矛盾.
②当时，.由（1）知，，
，则，则使.
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增.
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
6．(1)1个零点
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得在单调递减，结合零点存在定理即可得到结果；
（2）根据题意，由端点效应可得，然后证明当时，，均有即可.
【详解】（1）当时，，令，
则，
当时，，在单调递减，即在单调递减，
且，，
，使，
在单调递增，单调递减；
，，
在有1个零点；
（2），注意到，要使，则须满足，即，得．
下证：当时，，均有．
当时，
此时在单调递减，此时．
当时，，必存在，使在单调递增，那么均有，矛盾．
综上所述：要使成立的的取值范围为：．
反思提升：
1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【考点3】与函数零点相关的综合问题
一、单选题
1．（2023·陕西安康·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西·模拟预测）已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东泰安·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，直线与相切
B．，
C．恰有2个零点
D．若且，则
三、填空题
4．（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，且．
(1)求的取值范围；
(2)证明：．
参考答案：
1．B
【分析】由题意求导得当时，有最大值，当时，，当时，，若要满足题意，则只能，结合，由此即可得解.
【详解】由题意，令，得，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故当时，有最大值，
而，
由此可知当时，，当时，，
若函数有两个不同的零点，
结合零点存在定理可知的最大值，
又，所以，所以，
解得，所以，即的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：关键是通过求导结合题意分析得到的最大值，从而即可顺利求解.
2．B
【分析】化简，令，转化为有解，设，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在唯一零点，转化为在有解，令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可求解.
【详解】由题意得，，
令，问题转化为有解，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又由，所以存在唯一零点，即在有解，
即，令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．ACD
【分析】利用导数研究函数的单调性并作出图形，结合导数的几何意义即可判断A；根据函数的单调性和，即可判断B；根据函数的单调性和零点的存在性定理即可判断C；当、时，分别解方程，即可判断D.
【详解】由题意知，的定义域为，，
则，对于方程，，
所以在上恒成立，故在、上单调递减，
作出直线和函数的图象，如图，
A：由图可知，当时，，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，
此时使得直线与相切，故A正确；
B：当时，，函数在上单调递减，
且，则存在使得，
当时，且，当时，，
所以，使得，故B错误；
C：由选项B的分析知，函数在上有且仅有1个零点；
当时，，在上单调递减，
又，，由零点的存在性定理知，
函数在上有且仅有1个零点，所以恰有2个零点，故C正确；
D：若，则，，
得，解得；
若，则，，
得，解得，
综上，若且，则，故D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析，结合零点单调存在性定理求解即可.
4．
【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可.
【详解】不等式移项可得，
设，则，
设，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，使得，①
所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，代入①可得，
所以，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
（1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；
（2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分析函数的单调性.
5．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）函数有两个不相等的极值点，则方程在上有两个不相等的实数根，通过构造函数，利用导数研究单调性和函数图象，数形结合求结论成立时的取值范围；
（2）由，设，要证，只需证，即证即证，构造函数利用导数证明不等式.
【详解】（1）函数的定义域是，
，
因为函数有两个不相等的极值点，
所以方程在上有两个不相等的实数根，所以，
方程两边同时除以，整理得，
即直线与函数的图象有两个交点．
令，则，令，得，
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以，又，
时，且，所以的图象如图所示，

要想与的图象有两个交点，则，所以．
故的取值范围是．
（2）由（1）易知，，设，则，．
由（1）得，所以，即，
又，即，代入上式得，，
整理得，
要证，
只需证，
两边同时除以，即证，
即证，
两边同除以，即证，
结合式，即证，
即证，
设，因为，
所以在上单调递增，所以，
所以原不等式得证．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
反思提升：
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二·全国·课后作业）函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，下列正确的是（ ）
A．若函数有且只有1个零点，则
B．若函数有两个零点，则
C．若函数有且只有1个零点，则，
D．若有两个零点，则
6．（21-22高二下·广东潮州·开学考试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
7．（20-21高二·全国·课后作业）已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．函数有极小值，但无最小值
B．函数有极大值，但无最大值
C．若方程恰有一个实数根，则
D．若方程恰有三个不同实数根，则
三、填空题
8．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
9．（2021·全国·模拟预测）已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是 ．
10．（2021·云南昆明·三模）已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
11．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
(2)若使得，求参数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】
求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】,
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
则的草图如下：
由图象可得函数的零点个数为.
故选：C.
2．B
【分析】利用导数判断出的单调性，结合零点存在性定理求得正确答案.
【详解】，所以函数单调递增，
又因为，，，
所以函数在内存在唯一零点.
故选:B
3．B
【分析】由题意首先确定函数的单调性和极值，据此得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围．
【详解】由题意可得：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值，
结合题意可得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：B．
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
4．D
【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.
【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象如图：
要使有两个交点，则，
故选：D
5．AD
【分析】根据函数零点的性质，结合常变量分离法，导数的性质逐一判断即可.
【详解】由，
当时，
令，
当时，，函数单调递增，
当时，函数单调递减，故，
函数的图象如下图所示：
当时，直线与函数的图象没有交点，所以函数没有零点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点，所以函数只有一个零点，而，所以选项A正确，选项C不正确；
当时，直线与函数的图象只有二个交点，所以函数只有二个零点，因此选项B不正确，选项D正确，
故选：AD
6．AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
7．BD
【分析】先求导，根据导数和函数单调性的关系，以及极值和最值的关系即可判断．
【详解】解： 由题意得．令，即，解得或．则当或时，，函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以函数在处取得极大值，在处取得极小值．又时，；时．作出函数的大致图象如下图所示：
因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值．若方程恰有一个实数根，则或；若方程恰有三个不同实数根，则．
故选：BD
8．
【分析】分离常数，将问题转化为y＝与y＝的图象有两个交点，令（x∈R），利用导数求出的最值，再给合的正负分析即可得答案．
【详解】解：因为有两个零点，
即有两个零点 有两个解，
即y＝与y＝的图象有两个交点，
令（x∈R），
则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
又因当时，＝＜0，
当时，＝＞0，
当时，＝＝0，
要使y＝与y＝的图象有两个交点，
所以0＜＜，即
故的取值范围为．
故答案为：．
9．
【分析】根据极值点的定义，将极值问题转化为导函数的零点问题，然后利用分离参数法即可求解．
【详解】由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点．由得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，又当时，，当时，，所以要使有两个零点，需，即．
故答案为：
10．
【分析】令，转化为有两个不同的根，令 ，转化为函数有两个零点，用导数法求解.
【详解】令，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 在上恒成立，递减，不可能有两个零点，
当时，存在使得 ，即 ，
当时， ，当 时， ，
若两个不同的零点，即有两个零点，
则 ，即，
解得，
故答案为：
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可；
（2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证.
【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而.
故，从而当时，当时.
故在上递增，在上递减，所以具有最大值.
所以命题等价于，即.
所以的取值范围是.
（2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有.
在的范围内定义函数.
则，所以单调递增.
这表明时，即.
又因为，且和都大于，
故由在上的单调性知，即.
12．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【分析】（1）对求导数，然后分类讨论即可；
（2）直接对和分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由，知.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，对有，
对有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）的结论，知在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的都有，
故恒成立，这表明此时条件不满足；
当时，设，由于，，
故由零点存在定理，知一定存在，使得，
故，从而，这表明此时条件满足.
综上，的取值范围是.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
三、填空题
3．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·河南郑州·三模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
参考答案：
1．B
【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案.
【详解】点不在函数的图象上，
则，即，
设过点的直线与的图象相切于，
则切线的斜率，整理可得，
则问题可转化为只有一个零点，且，
令，可得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使仅有一个零点，
或
故选：B
2．AC
【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.
【详解】对A,B，因为，.
所以，.
设，，则，因为，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，
且，，
所以，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，因为，
所以，
因为，所以.故A正确，B错误；
对D，又，.
所以，.
设，则，，所以在恒成立.
所以在上单调递增，
所以至多一个解，故D错误；
对C，又因为，，
所以只有一解，在区间内.
所以在上单调递增，且，
所以在上无零点.故C正确.
故选：AC
3．
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
又，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又时，时，
又函数有零点，所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
4．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
（2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数.
【详解】（1）若，则.
又,切点为，
曲线在处的斜率，
故所求切线方程为即.
（2）由题．
1°当时，在上单调递减，又.
故存在一个零点，此时零点个数为1.
2°当时，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故的最小值为.
当时，的最小值为0，此时有一个零点.
当时，的最小值大于0，此时没有零点．
当时，的最小值小于0，，
时，，此时有两个零点.
综上，当或时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，没有零点.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数.
(1)判断的零点个数；
(2)求曲线与曲线公切线的条数.
2．（2024·山西·模拟预测）定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.
3．（2024·福建宁德·三模）已知函数的图象在处的切线过点.
(1)求在上的最小值;
(2)判断在内零点的个数，并说明理由.
参考答案：
1．(1)
(2)一条
【分析】（1）根据题意，求得，得到函数的单调区间，求得，即可得到结论；
（2）利用导数的几何意义，分别求得曲线在点和在点处的切线方程，列出方程组得到，令，转化为，设，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
令，得；令，得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，故的零点个数为.
（2）解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即，
曲线在点处的切线方程为：，
即，
令，可得，
消去，整理得，
令，可得，等价于，
设，则，所以在上单调递增，
又因为，所以在上有唯一的零点，
由，得，所以曲线与曲线有且仅有一条公切线.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
2．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【分析】（1）借助导数，分及讨论即可得；
（2）（i）结合定义，令，构造函数，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得.
【详解】（1），
当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；
当时，令，得；
令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）（i）令，得，得，
设，则，
设，则，
当时，，单调递减，
即在上单调递减，且，，
故，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，
所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点，
即函数与在上存在“单交点”；
（ii）因为，所以要证，即证，
即证，只需证，
因为，得，
所以只需证即可，
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，即，
原不等式即证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，从而消去参数，将转化为.
3．(1)
(2)有2个零点，理由见解析
【分析】（1）法一：利用在处的切线过点，可求，进而可求最小值；法二：利用导数求得切线方程为，进而可得切点，可求，进而可求最小值；
（2）法一：问题等价于判断方程根的个数，令，求导判断函数的单调性，利用零点的存在性定理可得结论.法二：求导可得，令，进而求导可得上必有一个零点，使得，进而可得在上单调递增，在上单调递减，进而利用零点的存在性定理判断在上有一个零点，在上有一个零点.
【详解】（1）法一：，
又，所以切线方程为，
又切线过点，
得，所以.
所以，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为.
法二:，
所以切线方程为，
因此切点为，
得，所以，
所以，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为；
（2）法一：判断在内零点的个数，等价于判断方程根的个数，
等价于判断方程根的个数.
令，，令，则，得.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.，（或）
所以时，方程有2根，
所以在有2个零点.
法二：由（1）得，
令，则在上为减函数
，
所以在上必有一个零点，使得，
从而当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减..
又，
所以在上必有一个零点，使得.
当时，，即，此时单调递增;
当时，，即，此时单调递减..
又因为，
所以在上有一个零点，在上有一个零点，
综上，在有2个零点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用隐零点法并结合零点存在性定理判断其零点个数.
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专题19 利用导数研究函数的零点（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 3
【考点2】根据零点情况求参数范围 4
【考点3】与函数零点相关的综合问题 5
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 8
【培优篇】 9
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
4．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数
一、单选题
1．（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·全国·专题练习）若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有唯一零点
三、填空题
4．（2024·北京顺义·二模）已知函数，给出下列四个结论：
①当时，对任意，有1个极值点；
②当时，存在，使得存在极值点；
③当时，对任意，有一个零点；
④当时，存在，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
5．（23-24高二下·江西南昌·期中）已知函数.
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，证明：.
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的斜截式方程；
(2)当时，求出函数的所有零点；
(3)证明：.
反思提升：
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
【考点2】根据零点情况求参数范围
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）己知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
4．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
5．（2024·江苏·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上零点的个数；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
反思提升：
1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【考点3】与函数零点相关的综合问题
一、单选题
1．（2023·陕西安康·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西·模拟预测）已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东泰安·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，直线与相切
B．，
C．恰有2个零点
D．若且，则
三、填空题
4．（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，且．
(1)求的取值范围；
(2)证明：．
反思提升：
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二·全国·课后作业）函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，下列正确的是（ ）
A．若函数有且只有1个零点，则
B．若函数有两个零点，则
C．若函数有且只有1个零点，则，
D．若有两个零点，则
6．（21-22高二下·广东潮州·开学考试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
7．（20-21高二·全国·课后作业）已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．函数有极小值，但无最小值
B．函数有极大值，但无最大值
C．若方程恰有一个实数根，则
D．若方程恰有三个不同实数根，则
三、填空题
8．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
9．（2021·全国·模拟预测）已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是 ．
10．（2021·云南昆明·三模）已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
11．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
(2)若使得，求参数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
三、填空题
3．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·河南郑州·三模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数.
(1)判断的零点个数；
(2)求曲线与曲线公切线的条数.
2．（2024·山西·模拟预测）定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.
3．（2024·福建宁德·三模）已知函数的图象在处的切线过点.
(1)求在上的最小值;
(2)判断在内零点的个数，并说明理由.
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