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专题03 二元一次方程组的应用
知识点一 由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
【典例1】（2023秋 河西区期末）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；
③；④；⑤43m＝n+2．
其中正确的是（　　）
A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④
【点拨】分别由乘客人数不变及客车的数量不变，可列出关于m，n的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：由乘客人数不变，可列出方程40m+10＝43m﹣2，43m＝n+2；
由客车的数量不变，可列出方程＝；
∴正确的方程有①③⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春 海淀区期末）将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（　　）
A．x+5＝2y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2
【点拨】根据将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形可得等量关系：长﹣5＝宽×2，依此得出方程即可．
【解析】解：由题意，得：x﹣5＝2y．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．
2．（2023春 宾阳县期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍y间，小圈舍x间，则x与y的方程可列为（　　）
A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C． D．
【点拨】根据今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，可以列出相应的方程．
【解析】解：由题意可得，
6y+4x＝50，即y＝．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
3．（2023春 任丘市期末）为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则有（　　）
A．x﹣y＝10 B．5x﹣3y＝60 C．3x﹣y＝40 D．x+y＝20
【点拨】根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分”列出方程．
【解析】解：依题意得：5x﹣3y+（20﹣x﹣y）＝60，即x﹣y＝10．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量＝20，避免列错方程．
4．（2022春 定西期末）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设出未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程式是（　　）
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝42
【点拨】根据小红列出的方程，可得出x，y表示的意义，利用时间＝路程÷速度，结合从乙地到甲地需42min，即可列出关于x，y的二元一次方程（即方程组的另一个方程），此题得解．
【解析】解：∵小红列出的一个方程为+＝，上坡每小时走3km，平路每小时走4km，从甲地到乙地需54min，
∴x表示坡路的长度，y表示平路的长度，
又∵平路每小时走4km，下坡每小时走5km，从乙地到甲地需42min，
∴+＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
5．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6．（2023春 厦门期末）六一儿童节，某班级家委用650元购买了一些水笔和笔记本作为儿童节的礼物，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本．设购买了x支水笔和y本笔记本，根据以上信息，可列出方程：　7x+5y＝650　．
【点拨】利用总价＝水笔的单价×购买水笔的数量+笔记本的单价×购进笔记本的数量，即可列出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：7x+5y＝650．
故答案为：7x+5y＝650．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
知识点二 由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【典例2】（2023秋 章丘区期末）我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴x+9＝2（y﹣9）；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴x﹣9＝y+9．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2024春 长安区校级期中）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程x+5＝y，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【解析】解：由题意得，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
2．（2024 镇海区一模）甲，乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙．若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】此题中的等量关系：①乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；
②乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙．
【解析】解：根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x＝5y+10；
根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程4x＝4y+2y．
可得方程组．
故选：A．
【点睛】此题是追及问题．注意：无论是哪一个等量关系中，总是甲跑的路程＝乙跑的路程．
3．（2024春 鲤城区校级月考）某电子厂加工车间共有72名工人，平均每人每天加工6个甲零件或15个乙零件，且1个甲零件和2个乙零件才能配成一套产品，问需分别安排多少名工人加工甲零件、乙零件，才能使每天加工的甲零件、乙零件刚好配套？设安排x名工人加工甲零件，y名工人加工乙零件，由题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据“工人数共72人、生产的乙零件数是甲零件数的2倍”列出方程组即可．
【解析】解：根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．
4．（2024春 沭阳县校级期中）某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元列出二元一次方程组，即可求解．
【解析】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
5．（2023秋 萍乡期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 　　．
【点拨】设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组．
【解析】解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
6．（2024春 北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　　．
【点拨】结合一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克，可列一元一次方程组即可完成解答．
【解析】解：由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
知识点三 二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
【典例3】（2023秋 二七区期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
（1）求A，B两种车型各有多少个座位．
（2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
【点拨】（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，根据“如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，根据座位数正好为300，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出结论．
【解析】解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：45m+60n＝300，
∴n＝5﹣m．
∵m，n均为正整数，
∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式训练】
1．（2023秋 界首市期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　56　cm．
【点拨】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【解析】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm，
由题意得，
解得，
则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm，
当n＝50时，其高度为：50+6＝56（cm）．
故答案为：56．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．
2．（2022春 赣州期末）小明到文具店买文具，请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是共112元． 不对呀，是144元．
啊……哦我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．
【点拨】设中性笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】解：设中性笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2023秋 福田区校级期末）2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
【点拨】（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意建立方程组求解即可得出答案；
（2）设学校购进篮球a个，则购进排球（20﹣a）个，商场获利为W元，根据题意得出W＝（m﹣10）a+600﹣20m，根据商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，得到m﹣10＝0，据此解答即可．
【解析】解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，
根据题意得，
解得，
答：篮球每个100元，排球每个80元；
（2）设学校购进篮球a个，则购进排球（20﹣a）个，商场获利为W元，
篮球的进价为100÷（1+25%）＝80（元），
根据题意得，W＝80×25%a+（80﹣50﹣m）（20﹣a）＝（m﹣10）a+600﹣20m，
∵商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，
∴m﹣10＝0，
∴m＝10．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
4．（2023秋 罗湖区期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．
（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．
（2）学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．
【点拨】（1）设出每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格，再列二元一次方程组，解出即可；
（2）分别求出在甲商场和乙商场购买的价格，再比较即可得出在哪个商场采购合算．
【解析】解：（1）设每副乒乓球拍的价格为x元，每盒乒乓球的价格为y元，
根据题意，得，
解得，
答：每副乒乓球拍的价格为30元，每盒乒乓球的价格为5元；
（2）在甲商场采购合算．
理由如下：
在甲商场采购：（20×30+30×5）×0.9＝675（元），
在乙商场采购：20×30+（30﹣）×5＝700（元），
∵675＜700，
∴在甲商场采购合算．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的等量关系并列出方程组是解题的关键．
5．（2023秋 敦煌市期末）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米 吨），铁路运费为1元/（千米 吨）．
（1）求该食品厂到A地，B地的铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润＝总售价﹣总成本﹣总运费）
【点拨】（1）设这家食品厂到A地的距离是x公里，到B地的距离是y公里，根据食品厂到B地的距离是到A地的2倍且A，B两地间的距离为150公里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元、铁路运费20600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）设这家食品厂到A地的距离是x公里，到B地的距离是y公里，
根据题意，得：，
解得：，
∴50﹣20＝30，100﹣30＝70，
答：这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米．
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨，
（3）设卖出的食品每吨售价为a元，
由题意得：200a﹣5000×220﹣15600﹣20600＝863800，
解得：a＝10000，
答：卖出的食品每吨售价是10000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
6．（2023秋 瑶海区期末）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息：
数量方式 购买笔的数量（本） 大本子的数量（本） 小本子的数量（本） 所剩的钱数（元）
方式一 36 0 0 2
方式二 38 0 0 ﹣9**
方式三 0 12 8 0
方式四 0 10 10 10
**注意是负数!
（1）求小文所带班费的数量；
（2）求大、小本子每本的售价；
（3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元）
【点拨】（1）[2﹣（﹣9）]÷（38﹣36）可得笔的单价，购买笔的数量×笔的单价+所剩的钱＝小文所带班费的数量；
（2）设大本子和小本子的价格分别为x，y，根据表格列二元一次方程组，所求解即为大、小本子每本的售价；
（3）设设大本子、小本子的成本分别为m，n，实际购买方案的利润﹣原计划购买方案的利润＝10，可得大本子，小本子的成本，大小本子成本×购买数量+笔的成本×购买数量＝小文实际购买文具的成本．
【解析】解：（1）[2﹣（﹣9）]÷（38﹣36）＝5.5（元），
36×5.5+2＝200（元），
答：小文所带班费为200元；
（2）设大本子和小本子的价格分别为x，y，
，
解得，
答：大本子和小本子的价格分别为12元和7元；
（3）设大本子、小本子的成本分别为m，n，
（5.5﹣4）×4+（0.9×12﹣m）×10+（0.9×7﹣n）×10﹣[（5.5﹣4）×6+（12﹣m）×6+（7﹣n）×6]＝10，
解得：m+n＝11，
4×4+11×10＝126（元），
答：小文实际购买文具的成本为126元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，关键是根据题意正确列出方程．
7．（2023秋 萍乡期末）萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称，湘东区的陶瓷热销全国各地在某次商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品：已知出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元．
（1）求A产品和B产品每件的售价；
（2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入2200元，则出售A，B两种产品各几件？
【点拨】（1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，根据出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元，列出方程组进行求解即可；
（2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可．
【解析】解：（1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，
由题意得，
解得，
答：A产品的售价200元，B产品的售价300元；
（2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，
由题意得200a+300b＝2200，
化简得2a+3b＝22，
∵a，b为正整数，
∴或或，
答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售5件，B产品出售4件或出售A产品8件，B产品2件．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
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专题03 二元一次方程组的应用
知识点一 由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
【典例1】（2023秋 河西区期末）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；
③；④；⑤43m＝n+2．
其中正确的是（　　）
A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④
【变式训练】
1．（2023春 海淀区期末）将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（　　）
A．x+5＝2y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2
2．（2023春 宾阳县期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍y间，小圈舍x间，则x与y的方程可列为（　　）
A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C． D．
3．（2023春 任丘市期末）为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则有（　　）
A．x﹣y＝10 B．5x﹣3y＝60 C．3x﹣y＝40 D．x+y＝20
4．（2022春 定西期末）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设出未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程式是（　　）
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝42
5．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
6．（2023春 厦门期末）六一儿童节，某班级家委用650元购买了一些水笔和笔记本作为儿童节的礼物，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本．设购买了x支水笔和y本笔记本，根据以上信息，可列出方程：　　．
知识点二 由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【典例2】（2023秋 章丘区期末）我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024春 长安区校级期中）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 镇海区一模）甲，乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙．若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024春 鲤城区校级月考）某电子厂加工车间共有72名工人，平均每人每天加工6个甲零件或15个乙零件，且1个甲零件和2个乙零件才能配成一套产品，问需分别安排多少名工人加工甲零件、乙零件，才能使每天加工的甲零件、乙零件刚好配套？设安排x名工人加工甲零件，y名工人加工乙零件，由题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024春 沭阳县校级期中）某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023秋 萍乡期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 　　．
6．（2024春 北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　　．
知识点三 二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
【典例3】（2023秋 二七区期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
（1）求A，B两种车型各有多少个座位．
（2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
【变式训练】
1．（2023秋 界首市期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　　cm．
2．（2022春 赣州期末）小明到文具店买文具，请你根据对话信息（小明：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小明：啊……哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了），求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是共112元． 不对呀，是144元．
啊……哦我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．
3．（2023秋 福田区校级期末）2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
4．（2023秋 罗湖区期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．
（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．
（2）学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．
5．（2023秋 敦煌市期末）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米 吨），铁路运费为1元/（千米 吨）．
（1）求该食品厂到A地，B地的铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润＝总售价﹣总成本﹣总运费）
6．（2023秋 瑶海区期末）某校七年级（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品经与店家沟通交流，小文获知了如表信息：
数量方式 购买笔的数量（本） 大本子的数量（本） 小本子的数量（本） 所剩的钱数（元）
方式一 36 0 0 2
方式二 38 0 0 ﹣9**
方式三 0 12 8 0
方式四 0 10 10 10
**注意是负数!
（1）求小文所带班费的数量；
（2）求大、小本子每本的售价；
（3）起初，小文原计划购买上述三种文具各6个作为奖品，但店家对小文推销说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大小本子各10本，付钱时，店家说：“你很有经济头脑，我现在的利润只比刚才的利润多10元，但你却多买了很多东西”，根据以上信息求出小文实际购买文具的成本．（已知一支笔的成本为4元）
7．（2023秋 萍乡期末）萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称，湘东区的陶瓷热销全国各地在某次商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品：已知出售1件A产品和3件B产品共收入1100元，出售2件A产品和5件B产品共收入1900元．
（1）求A产品和B产品每件的售价；
（2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入2200元，则出售A，B两种产品各几件？
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