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专题08 分式及其运算
知识点一 分式的概念
表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式叫做分式。
分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。
【典例1】8．（2023秋 九龙坡区期末）对于分式下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时分式无意义 B．当x＝2时分式的值为零
C．当x＝±2时分式的值为零 D．当x＝﹣2时分式有意义
【变式训练】
1．（2023秋 广州期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023秋 德宏州期末）下列分式中一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023秋 台州期末）分式有意义的条件是 　 　．
4．（2023春 新昌县期末）当x的值为 　　时，分式的值是零．
知识点二 分式的基本性质
1.分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
(其中M是不等于零的整式)
2.把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
3.分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
【典例2】（2023秋 西城区期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023秋 湖里区期末）下列各式从左向右变形正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝2 D．＝
2．（2023秋 乌兰察布期末）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023秋 定陶区期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023秋 赵县期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
知识点三 分式的乘除
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
【典例3】（2022秋 乳山市期末）化简：．
【变式训练】
1．（2023秋 临江市期末）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023秋 曾都区期末）化简的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
3．（2023秋 夏津县期末）若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A．y﹣x B．y+x C． D．3x
4．（2023秋 白云区期末）化简的结果是（　　）
A． B．a C． D．
5．（2023秋 巴东县期末）计算：（）2 ＝　　．
6．（2023秋 永吉县期末）化简的结果是 　　．
7．（2023秋 福山区期末）计算：
（1）； （2）．
8．（2023秋 湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（﹣）÷＝．
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
知识点四 分式的加减及混合运算
1.同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。
2.把分母不相同的几个分式化为分母相同的分式，叫做通分。经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。
3.通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积作为公分母。
【典例4】1．（2023秋 商丘期末）化简+的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
2．（2023秋 佳木斯期末）先化简，再求值：（x﹣1﹣），其中x＝4．
【变式训练】
1．（2023春 田东县期末）计算的结果是（　　）
A．1 B．a﹣2 C． D．
2．（2023秋 武昌区期末）分式+可化简为（　　）
A． B．1 C．﹣1 D．
3．（2023秋 枣庄期末）已知，，则（　　）
A．M+N＝1 B．M﹣N＝1 C．M N＝1 D．
4．（2023秋 潮南区期末）若n﹣m＝2，则代数式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．（2023春 锦州期末）小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（　　）
原式＝…①
＝…②
＝…③
＝2…④
A．① B．② C．③ D．④
6．（2023秋 环江县期末）先化简，再求值，其中x＝2．
7．（2023秋 遵义期末）先化简再求值（x+1﹣）÷，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
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专题08 分式及其运算
知识点一 分式的概念
表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式叫做分式。
分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。
【典例1】8．（2023秋 九龙坡区期末）对于分式下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时分式无意义 B．当x＝2时分式的值为零
C．当x＝±2时分式的值为零 D．当x＝﹣2时分式有意义
【点拨】根据分式有意义，无意义以及分式值为零的条件解答即可．
【解析】解：∵对于分式，
当x+2＝0，即x＝﹣2时无意义，
当x+2≠0，即x≠﹣2是有意义，
当|x|﹣2＝0且x+2≠0，即x＝2时值为零．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义，无意义以及分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式训练】
1．（2023秋 广州期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】解：在，，，中，是分式的：，，共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2．（2023秋 德宏州期末）下列分式中一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式有意义的条件进行解答即可．
【解析】解：A、∵y2≥0，∴y2+1＞0，∴分式一定有意义，符合题意；
B、∵当y＝±1时，y2﹣1＝0，∴分式不一定有意义，不符合题意；
C、∵当y＝﹣1时，y+1＝0，∴分式不一定有意义，不符合题意；
D、∵当y＝0时，y2＝0，∴分式不一定有意义，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3．（2023秋 台州期末）分式有意义的条件是 　x≠2　．
【点拨】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：要使分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
4．（2023春 新昌县期末）当x的值为 　　时，分式的值是零．
【点拨】根据题意得出分式方程，求出方程的解即可．
【解析】解：根据题意得：＝0，
解得：x＝，
经检验x＝是所列方程的解，
即当x的值是时，分式的值是零．
故答案为：．
【点睛】本题考了分式的值为零的条件，能根据题意得出分式方程是解此题的关键．
知识点二 分式的基本性质
1.分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
(其中M是不等于零的整式)
2.把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
3.分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
【典例2】（2023秋 西城区期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的性质逐项判断即可．
【解析】解：＝，则A不符合题意；
＝＝﹣1，则B符合题意；
与不一定相等，则C不符合题意；
＝＝，则D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式训练】
1．（2023秋 湖里区期末）下列各式从左向右变形正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝2 D．＝
【点拨】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可．
【解析】解：A、分子、分母都加2，分式的值改变，故A错误；
B、＝＝，故B正确；
C、＝1+，故C错误；
D、≠，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变，这是分式变形的主要依据．
2．（2023秋 乌兰察布期末）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
【解析】解：A、，分式的值保持不变，符合题意；
B、，分式的值改变，不符合题意；
C、，分式的值改变，不符合题意；
D、，分式的值改变，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．（2023秋 定陶区期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可．
【解析】解：＝＝
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．（2023秋 赵县期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解析】解：A、＝，故A选项不合题意．
B、＝，故B选项不合题意．
C、＝﹣1，故C选项不合题意．
D、是最简分式，不能化简，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简分式的概念，解题时要注意对分式进行化简．
知识点三 分式的乘除
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
【典例3】（2022秋 乳山市期末）化简：．
【点拨】根据分式的混合运算法则求解即可．
【解析】解：
＝（x+2y）（x﹣2y） （﹣）
＝﹣y．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．
【变式训练】
1．（2023秋 临江市期末）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的乘法法则解决此题．
【解析】解：
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质、分式的乘法，熟练掌握分式的基本性质、分式的乘法法则是解决本题的关键．
2．（2023秋 曾都区期末）化简的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
【点拨】先把除法运算变为乘法运算，然后约分计算即可．
【解析】解：
＝
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键，注意结果应是最简的结果．
3．（2023秋 夏津县期末）若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A．y﹣x B．y+x C． D．3x
【点拨】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【解析】解：÷＝×
∵运算的结果为整式，
∴□中式子一定含有x的单项式，
故只有D项符合．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（2023秋 白云区期末）化简的结果是（　　）
A． B．a C． D．
【点拨】将原式变形后，约分即可得到结果．
【解析】解：原式＝＝a．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023秋 巴东县期末）计算：（）2 ＝　　．
【点拨】先算乘方，再算乘法，即可得出结果．
【解析】解：
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
6．（2023秋 永吉县期末）化简的结果是 　　．
【点拨】利用分式的乘除法则计算即可．
【解析】解：原式＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．（2023秋 福山区期末）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先把括号内的除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝1÷，然后进行除法运算．
【解析】解：（1）原式＝﹣ ÷
＝﹣
＝﹣；
（2）原式＝1÷（ ）
＝1÷
＝．
【点睛】本题考查了分式的乘除法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；分式的乘方是把分子、分母分别乘方．
8．（2023秋 湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（﹣）÷＝．
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【点拨】（1）根据已知算式得出被手遮住部分的代数式＝ ÷（﹣），再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则算乘法即可；
（2）列出方程＝﹣1，求出x＝0，再根据分式有意义的条件求出x不能为1，﹣1，0，再得出答案即可．
【解析】解：（1）被手遮住部分的代数式为：
÷（﹣）
＝ [﹣]
＝﹣；
（2）原代数式的值不能等于﹣1，
理由是：＝﹣1，
x+1＝﹣（x﹣1），
x+1＝﹣x+1，
x+x＝1﹣1，
2x＝0，
x＝0，
要使代数式﹣（﹣）÷有意义，x+1≠0且x≠0且x+1≠0，
即x不能为1，﹣1，0，
所以原代数式的值不能等于﹣1．
【点睛】本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
知识点四 分式的加减及混合运算
1.同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。
2.把分母不相同的几个分式化为分母相同的分式，叫做通分。经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。
3.通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积作为公分母。
【典例4】1．（2023秋 商丘期末）化简+的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【点拨】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解析】解：原式＝﹣＝＝x，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋 佳木斯期末）先化简，再求值：（x﹣1﹣），其中x＝4．
【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】解：原式＝（﹣）÷
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
【变式训练】
1．（2023春 田东县期末）计算的结果是（　　）
A．1 B．a﹣2 C． D．
【点拨】利用分式的减法的法则进行运算即可．
【解析】解：
＝
＝1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2023秋 武昌区期末）分式+可化简为（　　）
A． B．1 C．﹣1 D．
【点拨】变形后变成同分母的分式，根据同分母的分式加减法则，分母不变，分子相加减，进行计算即可．
【解析】解：原式＝﹣
＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的通分和分式的加减法则的应用，能熟练地运用法则进行计算和化简是解此题的关键．
3．（2023秋 枣庄期末）已知，，则（　　）
A．M+N＝1 B．M﹣N＝1 C．M N＝1 D．
【点拨】根据已知条件，利用分式的加减乘除法则，分别求出M+N，M﹣N，MN和，然后根据计算结果进行判断即可．
【解析】解：∵，，
∴M+N
＝
＝
＝
＝1，
M﹣N
＝
＝
＝，
M N
＝
＝
＝，
＝
＝
＝
＝﹣x，
∴A选项的计算正确，B，C，D选项的计算错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查考查了分式的加减乘除，解题关键是熟练掌握分式的加减乘除法则．
4．（2023秋 潮南区期末）若n﹣m＝2，则代数式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m﹣n＝﹣2代入进行计算即可．
【解析】解：∵n﹣m＝2，
∴m﹣n＝﹣2，
原式＝
＝2（m﹣n）
＝﹣2（n﹣m）
＝﹣2×2
＝﹣4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
5．（2023春 锦州期末）小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（　　）
原式＝…①
＝…②
＝…③
＝2…④
A．① B．② C．③ D．④
【点拨】根据分式的加法法则计算，判断即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝﹣2，
∴小明开始出现错误的那一步是第④步，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
6．（2023秋 环江县期末）先化简，再求值，其中x＝2．
【点拨】先把括号内通分和除法化为乘法，再把分母因式分解，然后约分后再通分得到最简结果，最后再把x的值代入计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
7．（2023秋 遵义期末）先化简再求值（x+1﹣）÷，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【点拨】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为1和2，取x＝3，最后代入求出答案即可．
【解析】解：（x+1﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
要使分式有意义，必须x﹣1≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为1和2，
取x＝3，
当x＝3时，原式＝＝5．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
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