资源简介

第1课：一元二次方程的定义
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、理解一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式及其有关概念:
2、理解一元二次方程根的概念并能估算出简单一元二次方程的根;
3、能从实际问题中找等量关系，列一元二次方程
教学重难点：一元二次方程有关概念，建立一元二次方程的数学模型，并能解决实际问题
教学重难点：通过提出问题建立一元二次方程的数学模型，由一元二次方程迁移出一元二次方程的概念.
知识点一、一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
注意以下几点： ①只含有 一个未知数 ；
②未知数的最高次数是 二次 ；
③等号两边都是 整式 ．
例1、下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程是 ．
例2、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（　 　）
A. B. C. D.
例3、已知方程
(1) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
(2) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？
针对练习1、有下列关于x的方程：①，②，③，
④，⑤，⑥，⑦．
其中是一元二次方程的有 ．
针对练习2、关于x的方程是一元二次方程，则m的取值是 ．
针对练习3、a为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
知识点二、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 ．其中，ax2是 二次项 ，a是 二次项系数 ；bx是 一次项 ，b是 一次项系数 ；c是 常数项 ．
例1、将方程(2x－3)(1－3x)＝8 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
例2、若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
例3、已知关于x的方程
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
针对练习1、方程x(x－2)＝6化为形式后，a、b、c的值分别为 ．
针对练习2、根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.
针对练习3、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？
知识点三、一元二次方程的根：
1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
2．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
（1）若一元二次方程的二次项系数含有字母，则根据一元二次方程的定义求值时，要注意不能忽略隐含条件“”．
（2）指出一元二次方程的二次项、一次项和常数项时，一定要注意各项均包含前面的符号
例1、若关于x的方程的一个根是1，则m的值为________．
例2、已知m是关于x的方程的一个根，则．
例3、关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为_________．
针对练习1、若一元二次方程有一个根为x＝－1，则a＋b＝__________
针对练习2、若x＝1是方程的解，则（　　 ）
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
针对练习3、关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_________．
小结：
巩固练习：
1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________.
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）；（6）.
2、下列方程中不含一次项的是（ ）
A． B． C． D．
3、下列各数是方程 解的是（ ）
A、6 B、2 C、4 D、0
4、若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则(　　)
A．a≠0 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠－1
5、一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
6、一元二次方程的一般形式是(　　)
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2＋bx＋c(a≠0)
C．ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D．ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
7、一元二次方程4x2–3x–5=0的一次项系数是(　　)
A．–5 B．4 C．–3 D．3
8、方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则(　　)
A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠2
9、下列方程是一元二次方程的是(　　)
A．2x–3y+1 B．3x+y=z C．x2–5x=1 D．x+2y=1
10、一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是(　　)
A．2，5，–4 B．2，5，4 C．2，–5，–4 D．2，，4
11、把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是(　　)
A．1，3，5 B．1，–3，0 C．–1，0，5 D．1，3，0
12、已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．0或3
13、方程的二次项系数________；一次项系数________；常数项______.
14、把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为______________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.
15、若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．
16、一元二次方程化为一般形式是__________，它的一次项是__________，常数项是__________．
17、当m=__________时，关于x的方程 是一元二次方程．
18、已知关于的方程的一个根是，则__________．
19、方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_____________.
20、若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
21、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．
22、关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．
课后作业：
1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下面关于的方程中：①；②；③；④（
为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3、是关于的一元二次方程，则的值应为（ ）
A、＝2 B、 C、 D、无法确定
4、若一元二次方程有一个根为1，则_________.
若有一个根是-1，则b与、c之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.
5、若方程 是一元二次方程，则m的值为_________.
6、已知关于x的方程x2–kx–6=0的一个根为x=3，则实数k的值为_________.
7、关于的方程是一元二次方程，则=__________．
8、已知=0是关于x的一元二次方程，则k为__________．
9、如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为__________．
10、若是方程的一个根，则的值为__________．
10、已知是方程的根，则式子的值为__________．
11、关于x的方程x2+5x–m=0的一个根是2，则m=__________．
12、若一元二次方程ax2–bx–2017=0有一根为x=–1，则a+b=__________．
13、关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+（a2–1）=0的一个根是0，则a的值是__________．
14、已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a–c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=–1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．第2课：直接开平方——解一元二次方程
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、会利用开平方法解形如 的方程
2、初步了解形如方程的解法
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性
教学重点：通过解 的方程了解方程解法
教学难点：通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法
知识点一、利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
步骤：1、变形：将方程化为的形式；
2、开方：利用平方根，将方程转化为两个一元一次方程；
3、求解：解一元一次方程，得出方程的根.
例1、解方程：
例2、解方程：
例3、已知方程的一个根是，求的值和另一个根．
针对练习1、解方程：
针对练习2、若关于的方程的一个根是，求的值和另一个根.
针对练习3、16.李老师在课上布置了一个如下的练习题：
若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：
解：，
，
，
晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．
小结：
巩固练习：
1、方程的解是( )
A. ， B. C. D. ，
2、已知，关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根
3、对形如的方程，下列说法正确的是( )
A. 用直接开平方得 B. 用直接开平方得
C. 当时，直接开平方得 D. 当时，直接开平方得
4、已知一元二次方程的两根为，，且，则的值是( )
A. B. C. D.
5、如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为( )
A. B. C. D. 都不对
6、关于的方程均为常数，的解是，，则方程的解是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7、方程的根是 ．
8、若代数式的值为，则的值为______．
9、关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______ ．
10、若一元二次方程的两个根分别是与，则方程的两个根分别是______ ．
11、关于的一元二次方程有一个解是，则 ______ ．
12、如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为______．
13、已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为多少？
14、将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，求的值．
15、在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程的解．
16、如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
用，，表示纸片剩余部分的面积；
当，，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
课后作业：
1、一元二次方程((x+6) =16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+6=4，则另一个一元一次方程是( )
A. x-6=4 B. x-6= -4 C. x+6=0 D. x+6= -4
2、关于x的方程((2x+3) =4的根是( )
3、如果关于x的方程(x-9) =m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( )
A. m>3 B. m≥3 C. m>-4 D.m≥-4
4、关于x的一元二次方程的一个根为1，则实数p的值是（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．－1
5、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0
6、定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____．
7、，则__________．
8、解方程：
9、阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容.
解方程：(x-1) =4.
解: ∵(x-1) =4,①
∴x-1=2,②
∴x=3.③
上述过程中有没有错误 若有，错在步骤 (填序号)，原因是 ，请写出正确的解答过程.
10、先化简，再求值：，其中是一元二次方程的正实数根．
11、阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程可化为，化简解得．
当时，；
原方程的解为
解答问题：仿照上述方法解方程：第3课：配方法——解一元二次方程
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、通过对比、转化、总结得出配方法的步骤
2、探究配方法的推导过程，能将方程进行熟练配方
3、会运用配方法熟练、灵活的解一元二次方程。素养目标通过实际问题引出方程，用配方法解一元二次方程，初步形成分析问题与解决问题的能力和思维品质。
教学重点：运用配方法解一元二次方程，领会将次---转化的数学思想
教学难点：灵活的运用配方法解一元二次方程
知识点一、回顾完全平方公式：________ ________
配方：配成完全平方形式
例1、把下列式子通过完全平方公式配平
例2、如果a、b为实数，满足，求ab的值
针对练习1、把下列式子通过完全平方公式配平
针对练习2、已知为Rt的三边长，若+25=6a+8b,求Rt的周长
知识点二、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为一元二次方程的形式 ；
②移项：把常数项移到方程右边；
③二次项系数化为 1（方程两边同时除以二次项系数）；
④配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，写成 的形式；
⑤直接开平方法解方程.
例1、解下列方程
例2、
例3、
例4、
针对练习1、
针对练习2、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是( )
A. B. m≥0 C. m≥1 D. m≥2
针对练习3、在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：，求方程(4 3) x＝24的解．
知识点三、配方法的应用
配方法的应用有两个大的方面：二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程，其依据是完全平方公式；另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等，是一个重要的数学方法。
例1、试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式的值必定大于零.
例2、若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且，试判断△ABC 的形状.
例3、用配方法求最值：
针对练习1、利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式的值总是负数，并求出它的最大值.
针对练习2、已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式，试判断 △ABC 的形状.
针对练习3、若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.
小结：
巩固练习：
1、用配方法将方程a2－4a－5=0变形，得（ ）
A．（a－2）2=－9 B．（a+2）2=－9 C．（a+2）2=9 D．（a－2）2=9
2、下列说法正确的是（ ）
A．将方程x2=0.04两边进行平方得x1=0.02，x2=－0.02
B．一元二次方程x2=6x的根是x=3
C．方程4x2－x=0可以转化为（2x－）2=
D．若m≠1时，方程（m－1）x2－4x=0是关于x的一元二次方程
3、关于x的方程x2=m的解为（ ）
A． B．－ C．± D．当m≥0时，x=±；当m<0时，无实根
4、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2－2x－99=0化为（x－1）2=100 B．2t2－7t－4=0化为（t－）2=
C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25 D．3x2－4x－2=0化为（x－）2=
5、若方程x2－4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6、将方程x2－2x－1=0配方后，得新方程为 ．
7、用适当的数（式）填空：
8、填上适当的数，使下列等式成立：y2+ +（）2=（y+ ）2．
9、设实数x、y满足x2+4y2+2x－4y+2=0，则x2y+2x的值等于 ．
10、3x2+2x－2=3（x+ ）2+ ．
解方程（1） （2） （3）（y－1）2=52；
（4）x2－8x+15=0 （5）x2－x－=0 （6）－=x． （7）
12、已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．
13、用配方法证明：无论x取何实数，代数式的值不小于10。
课后作业：
1、下列命题中，错误的是（ ）
A．关于x的方程x2=k必有两个互为相反数的实数根
B．关于x的方程（x－c）2=k2必有两个实数根
C．关于x的方程ax2+bx=0必有一根是零
D．关于x的方程x2=1－a2可能没有实数根
2、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2－14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17 C．17或19 D．19
3、若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A．11 B．15 C．－15 D．±15
4、一元二次方程x2－2x－1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1＋，x2＝－1－
C．x1＝1＋，x2＝1－ D．x1＝－1＋，x2＝－1－
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为 D．3x2－4x－2＝0化为
7、设实数x、y满足x2+4y2+2x－4y+2=0，则x2y+2x的值等于 ．
8、3x2+2x－2=3（x+ ）2+ ．
9、把一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，则此方程根的情况是：
当n<0时，方程 实根；当n=0时，方程 实根；当n>0时，方程 实根．
10、已知y1=x2－2x－3，y2=x+7，当x= 时，y1=y2．
11、代数式2x2－7x+2的最小值为 ．
12、利用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x－1＝0； (2)(x＋4)(x＋2)＝2； (3)4x2－8x－1＝0；
(4)3x2＋4x－1＝0 （5）2x2－4x+1=0； （6）6x2－x－3=0
（7）4（x－2）2=9（2x+3）2 （8）3x4－10x2+3=0．第4课：公式法——解一元二次方程
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、理解一元二次方程的求根公式的推导过程
2、熟记求根公式，并理解公式中的条件
3、能熟练地运用求根公式解一元二次方程
教学重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程
教学难点：求根公式的推导
回顾旧知：
知识点一、一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程;
① 当△=＞0，方程有两个不相等的实数根；
② 当△== 0，方程有两个相等的实数根；
③ 当△== 0，方程没有实数根；
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
例2、m为何值时，关于x的一元二次方程；
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．
例3、关于 x 的一元二次方程有两个实根，求m的取值范围.
针对练习1、若关于 x 的一元二次方程有实数根．求 m 的取值范围.
针对练习2、不解方程，判断关于 x 的方程的根的情况.
针对练习3、在等腰 △ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中a = 5，若关于x的方程有两个相等的实数根，求 △ABC 的周长.
知识点二、公式法——解一元二次方程
由上可知，当Δ≥0时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）；
（2）求出判别式的值，判断根的情况；
（3）在（注：此处读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式
进行计算，求出方程的根．
例2、
例3、
针对练习1、用公式法解下列方程.（1）；（2）；（3）.
针对练习2、已知a、b是方程x2－2x－1=0的两个不等的实根，求a2+a+3b的值．
针对练习3、已知关于x的方程
求证方程恒有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长；
小结：
巩固练习：
1、用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程－4x2+3=5x，下列叙述正确的是（ ）
A．a=－4，b=5，c=3 B．a=－4，b=－5，c=3
C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=5，c=－3
2、下列一元二次方程无实数解的是（ ）
A．x2=1 B．x2－2x+1=0 C．x2－2x－3=0 D．x2+x+1=0
3、若方程x2－4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
6、如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.
7、用公式法解方程2x2－x－1=0的根是________．
8、若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0有实数根，则m的取值范围是________．
9、方程x2－6x－4=0的两根为x1=____，x2=______，x1+x2=_____，x1·x2=______．
10、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的范围为 .
11、用公式法解方程：
（1） （2） （3）
12、如果关于x的一元二次方程kx2－4x+4=0有两个不等的实数根，求k的取值范围．
13、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且改方程的根都是整数，求k的值.
14、求证：关于的方程有两个不相等的实数根．
15、若关于x的一元二次方程没有实数解，求的解集（用含的式子表示）．
课后作业：
1、一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝3
2、下列一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
3、若关于x的一元二次方程x2＋x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是( )
A．k<－2 B．k<2 C．k>－2 D．k＝－2
4、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k> B．k≥ C．k>且k≠1 D．k≥且k≠1
5、已知关于x的方程有两个相等的实数根，则常数c的值为（　 　）
A．－1 B．0 C．1 D．3
6、若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜9且m≠0 B．m＞9 C．0＜m＜9 D．m＜9
7、一元二次方程的根的情况为（　 　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D. 无法确定
8、下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（　　 ）
A. B. C. D.
9、关于x的方程x(x+6)＝16解为（　 　）
A．x1＝2，x2＝2 B．x1＝8，x2＝－4 C．x1＝－8，x2＝2 D．x1＝8，x2＝－2
10、一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
11、x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
12、已知方程有两个相等的实数根，则k＝_________
13、关于x的一元二次方程没有实数根，则k的最小整数是________
14、用公式法解下列方程.
（1）； （2）； （3）.
15、已知关于x的方程x2－(4k＋1)x＋4k2－2=0，根据下列情况，求k的取值范围．
(1)方程有两个相等的实数根；
(2)方程有两个不相等的实数根；
(3)方程没有实数根．
16、已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值
17、解方程（1） （2）
18、已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大数值时，解此一元二次方程．
19、 已知关于x的方程
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值和这个等腰三角形的周长第5课：因式分解法——解一元二次方程
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解一元二次方程；
2、使学生会根据题目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力；
3、通过经历、观察、猜想、探究的过程，培养学生的科学探索精神，体会学习数学的乐趣。
教学重点：用因式分解法解-元二次方程；
教学难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想；
回顾旧知、因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式
例1、提取公因式
1、 2、 3、 4、 5、
例2、平方差公式
2、 3、 4、 5、
例3、完全平方公式
2、 3、 4、 5、
例4、十字相乘法（拆首尾，拼中间）（）
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
因式分解（综合）：
2、 3、 4、
6、 7、 8、
知识点一、因式分解法.
因式分解法就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过 因式分解 化为两个一次因式的 乘积 的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解．
例1、
例2、用因式分解法解下列一元二次方程
（1） （2） x2+4x-12=0 （3） （4）
例3、用适当的方法解下列方程
（1） （2） （3） （4）
针对练习1、已知等腰三角形的腰长是方程的一个根，其底边长为6，求底边上的高。
针对练习2、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的腰长。
针对练习3、已知x=2是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
小结：
巩固练习：
1、方程的解是 （ ）
A． B． C． D．或
2、菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A.10cm B.12cm C.16cm D.12cm或16cm
3、方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
4、定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
5、一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
6、一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1
7、方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
8、已知等腰的边是方程的根，则的周长为（　　）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
9、方程的解是（　　）
A． B． C．或 D．或
10、一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
11、老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12、我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想
13、三角形两边长分别是4和2，第三边长是的一个根，则三角形的周长是________。
14、方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三边长为_____。
13、方程的解是 ．
14、关于x的方程的解是 ．
15、用你喜欢的方法解下列关于x的方程
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
课后作业：
1、用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　）
A． B．
C． D．
2、一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
3、一元二次方程的根为（　　）
A． B． C．或 D．或
4、解方程，最适当的解法是（ ）
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
5、方程的解是（ ）
A. x＝2 B. C. x＝0 D．x＝2或x＝0
6、一元二次方程的根是（　 　）
A. B. C. D.
7、若的值互为相反数，则x的值是（ 　　）
A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或
8、等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9 C．13 D．12或9
9、方程x(x－1)＝2的解是（　 　）
A. x＝－1 B．x＝－2 C． D．
10、小华在解一元二次方程时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是( )
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0
11、已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　 　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
12、方程的解是_____________
13、用公式法解方程，其中 ．
14、解下列方程
（1） （2） （3） （4）
9. 已知实数x，y满足，求的值。第6课：根与系数的关系
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决具体问题,
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
教学重点：掌握一元二次方程根与系数的关系
教学难点：一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用
知识点一、根与系数的关系
1.如果方程的两个根为，那么，，这个关系也称为韦达定理。
2.根与系数的关系在运用时必须要注意：
（1）方程必须是一元二次方程；
（2）方程有实数根，即；
如果方程的两个根是，则，。
例1、1、已知一元二次方程的两根为、，则______．
例2、关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，则______，______．
例3、已知方程的两个根为、，求的值.
针对练习1、若x、x是方程x2－5x+2=0的两根，求代数式（x1+1）（x2+1）的值．
针对练习2、关于x的一元二次方程x +2x+k+1=0的实数解是x1和x2，如果x1+x2-x1·x2＜—1，且k为整数，求k的值。
针对练习3、关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求的值．
知识点二、一元二次方程根与系数的关系的应用
韦达定理常用公式：
； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）.
例1、已知是方程的两根，计算：
（1）； ⑵ ； ⑶
例2、若方程的两根为，则的值为____________
例3、已知：是关于x的方程的两个实数根且，求a的值．
针对练习1、已知关于的一元二次方程。
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根，且1，求的值。
针对练习2、已知关于x的方程k x —2（k+1）x+1=0有两个实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，设所给方程的两个根分别为x1和x2，求的值。
针对练习3、关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
小结：
巩固练习：
1、关于的方程的两根同为负数，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
2、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（ ）
A、－1或 B、－1 C、 D、不存在
3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
4、已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
5、已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6、关于的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别（ ）
A．， B．， C．， D．，
7、已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021 B．2023 C．2024 D．2025
8、已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、下列一元二次方程中，两根之和为1的是（ ）
A． B． C． D．
10、已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11、若a，b是方程的两根，则（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
12、关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根和的值分别为（ ）
A．，3 B．1，3 C．，4 D．3，
13、已知方程的两个根是m，n，则 ．
14、设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ．
15、已知关于x的方程的两个根分别为和2，则的值为 ．
16、已知，是方程的两实数根，则 ．
17、已知是方程的两实数根，则的值为 ．
18、已知、是方程的两实数根，求的值.
19、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.
20、已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
21、已知，是关于的方程的两个实数根．
（1）求，的值；
（2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
22、解下列方程
(1)x2-6x-16=0（配方法）； (2)（公式法）．（3）（用因式分解法）．
（4） （5） （6） （7）．
课后作业：
1、下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（　 　）
A. B. C. D.
2、已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（　 　）
A．－4 B．－2 C．4 D．2
3、若x1，x2是方程的两个根，且，则m的值为( )
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
4、已知α、β是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（　 　）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1
5、设x1，x2是方程的两根，则
6、若m，n是方程的两个实数根，则mn的值为_________
7、设x1，x2是一元二次方程的两根，则
8、已知矩形的长和宽分别是关于x的方程（m≥8）的两根，则矩形的面积是__________
9、解下列方程：
（1）4x2﹣x﹣9＝0 （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2 （3）3x（2x+1）＝4x+2
10、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的腰长。
11、已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出k的值．
12、关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根，满足，求k的值；
(3)已知方程的一个根为，求代数式的值．
13、已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，且，求m的值．
14、已知关于的方程．
(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围；
(2)当方程的两个根满足时，求的值．
15、已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
16、已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2。
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的值
17、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1 x2，求k的值．
18、已知关于x的一元二次方程有两个实数根a、b；
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值第7课：一元二次方程的解法综合运用
八升九人教版数学衔接讲义
素养目标：1、使学生会灵活运用不同方法解一元二次方程；
2、学生通过不同解法的探究，培养学生的基本运算技巧和能力。
教学重点：灵活运用不同方法解一元二次方程
教学难点：培养学生的基本运算技巧和能力
知识点一、解一元二次方程的基本思路
例1、填空：
最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： 最适合运用配方法： .
例2、若一个三角形的三边长均满足方程 ，求此三角形的周长.
例3、用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）.
针对练习1、已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
针对练习2、已知关于x的一元二次方程的常数项为0.
(1)求m的值；
(2)求方程的解．
针对练习3、若m是非负整数，且关于x的方程有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．
小结：
巩固练习：
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、
二、用配方法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、
三、用公式解法解下列方程。
1、 2、 3、
四、用因式分解法解下列一元二次方程。
2、 x2+5x+6=0 3、 4、
五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法)
1、 2、 3、
4、 5、 6、
7、 8、 9、
6、阅读材料，解答问题：
材料：为解方程,我们可以视为一个整体.
然后设,原方程可化为①.解得.
当时，,即，∴.
当时，,即，∴.
∴原方程的解为.
解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.
（2）解方程.
课后作业：
1、当代数式的值为7时，代数式的值为（ ）
A、4 B、2 C、-2 D、-4
2、关于 x 的方程 有实数根，则 k 的取值范围是 ( )
3、方程的解是 ．
4、已知是关于的方程的一个根，则 ．
5、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： ．
6、已知一元二次方程.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根
7、关于 x 的一元二次方程 有实数根.
(1) 求k的取值范围；
(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值.
8、关于 x 的方程 ．
(1) 求证：无论 k 为何值，方程总有实数根．
(2) 设 x1，x2 是方程 (k﹣1)x2 + 2kx + 2＝0 的两个根，记 ，S 的值能为2吗？若能，求出此时 k 的值；若不能，请说明理由．
9、已知 a，b 是方程的两根．
(1) 求的值；
(2) 求的值；
(3) 求 的值.

展开更多......

收起↑