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专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】公式的基本应用 6
【考点2】公式的逆用及变形 11
【考点3】角的变换问题 15
【分层检测】 18
【基础篇】 18
【能力篇】 25
【培优篇】 29
考试要求：
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
参考答案：
1．A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
2．B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
3．C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
4．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
5．C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
6．
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
【考点1】公式的基本应用
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）下列条件能确定唯一一个三角形的是（ ）
A．，，边上中线长.
B．，.
C．，，.
D．.
4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
三、填空题
5．（2024·辽宁·模拟预测）在中，若，则 ．
6．（2024·江苏南京·二模）在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为 ．
参考答案：
1．B
【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
则．
故选：B．
2．D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
3．ACD
【分析】结合条件，利用三角恒等变换公式或正余弦定理解三角形，可判断三角形形状或确定解的情况，即可判断答案.
【详解】对于A，在中，，则
即，解得，结合，，
可知为边长为8的正三角形，唯一确定，A正确；
对于B，，则，故A为锐角，则，
又，故，即,
即得，结合，满足， 经验证等号取不到，
又大小关系不定，由此可知的解必存在且不唯一，即三角形的解不唯一，B错误；
对于C，在中，,
故，
结合，得，
由于，故，
即，则，结合,
解得，故,
又，，则，即，
而，则B为锐角，唯一确定，从而A唯一确定，
此时三角形的解唯一确定，C正确；
对于D，由，得，即，
故，又，则，则，
此时三角形唯一确定，D正确，
故选：ACD
4．BCD
【分析】
利用三角函数定义可求得N点的坐标为，可知A错误；易知，B正确；求得点横坐标，再利用中点坐标公式可得C正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D正确.
【详解】
由N为的中点，则，可得，
由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；
易知，
又因为，，M为线段AB的中点，
则，
所以，故C正确；
由易知线段，，
则，
所以，故D正确，
故选：BCD．
5．/
【分析】先将目标式切变弦变形整理，然后利用余弦定理计算将条件代入，结合目标式可得答案.
【详解】．
由余弦定理得．
由正弦定理得，从而．
所以．
故答案为：.
6．
【分析】设，，利用勾股定理得到，再由两角和的正切公式及锐角三角函数求出、，最后根据计算可得.
【详解】连接，依题意，设，，则，
又，
即，即，
即，显然，则，即，
又，所以，整理得，
即，解得，所以，
所以
.
故答案为：
反思提升：
1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【考点2】公式的逆用及变形
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）若 ， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形
D．若为锐角三角形，的最小值为1
三、填空题
5．（2023·广东·二模）的值为 .
6．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， .
参考答案：
1．D
【分析】根据两角和的正切公式化简可得，再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】由 ，得，
所以，即，
所以．
故选：D．
2．D
【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D为的中点，则，
则，
即，解得（舍去），
所以.
故选：D.
3．ABC
【分析】由两角和差的三角函数公式、平方关系结合已知运算即可.
【详解】由已知，得，，
两式分别平方相加，得，，
整理得，∴，∴A正确；
同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确；
由，，两式分别平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正确，D错误.
故选：ABC．
4．AB
【分析】对A：借助正弦定理及两角差的正弦公式化简即可得；对B：借助及正弦定理计算即可得；对C：结合，可得或，结合三角函数内角和计算即可得；对D：结合角的范围可计算出的范围，利用正切函数的二倍角公式可将化简，结合对勾函数性质即可得.
【详解】对A：中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，故A正确；
对B：若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，故B正确；
对C：由，故或，若，则有，
则，不为直角三角形，故C错误；
对D：在锐角中，，
即，
故
由对勾函数性质可知，当时，，故D错误；
故选：AB.
5．
【分析】根据两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：
6．
【分析】
第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解.
【详解】由可得，即，
由可得，即，
两式相加可得，
即，解得；
因为，
，
所以，
所以．
故答案为：；.
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
反思提升：
1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
【考点3】角的变换问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则 .
6．（2024·湖南·模拟预测）已知，，则 .
参考答案：
1．B
【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出，再根据两角差的余弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，
所以.
故选：B．
2．D
【分析】根据两角和与差求解的余弦公式求解，进而求出，求出，利用二倍角求出
【详解】由，则,
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
3．AC
【分析】利用三角恒等变形公式逐一化简计算即可.
【详解】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选：AC.
4．ACD
【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解.
【详解】A.由，则，，故A正确；
B. 由，则，，故B错误；
C.，，
，故C正确；
D.由，则，故D正确.
故选：ACD
5．
【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出.
【详解】因为，
所以
，
得，
所以，
则
.
故答案为：.
6．/-0.125
【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
故答案为：
反思提升：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江温州·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·模拟预测）已知，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（22-23高二上·浙江金华·阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．的最小正周期为1
D．是函数图像的一个对称中心
7．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，函数，则（ ）
A．在上有4个零点
B．在单调递增
C．
D．直线是曲线的一条切线
三、填空题
8．（2024·黑龙江·三模）已知，则 .
9．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 .
10．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则 .
四、解答题
11．（2024·天津·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
12．（2023·广东潮州·二模）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】利用和差角公式展开，即可得到，再两边同除，最后结合两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
即，
即，
两边同除可得，
所以.
故选：C
2．B
【分析】先由两角和正弦和已知条件解得，进而得，再利用两角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.
【详解】因为，故由两角和正弦公式得，
故两边平方得，即，
故
.
故选：B.
3．D
【分析】由已知可得，利用，可求值.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：D.
4．B
【分析】展开并同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得到关于的方程，解出即可.
【详解】展开得，
两边同时平方有，
即，解得，
故选：B.
5．ABC
【分析】通过两角和差弦切公式的逆用，以及降幂公式，即可化简求值.
【详解】
，故A选项正确；
,故B选项正确；
,故C选项正确；
，
故D选项错误；
故选：ABC.
6．BD
【分析】先化简，然后利用性质进行验证
【详解】由
由，
所以为偶函数错误，故A项错误
又，所以，且，
所以， B项正确；
由B项，，
所以的最小正周期为，C项错误；
令，解得，
当时，，所以是函数图像的一个对称中心，D项正确．
故选：BD．
7．BCD
【分析】根据向量的数量积坐标公式求解并化简，对于选项A、B，根据正弦型函数的零点，单调性验证；对于C，直接代入计算验证；对于D，利用导数求在点处的切线进行判断.
【详解】由题知，
对于A，当时，，
令，则，则或，即或，
故在上有2个零点，故A错误；
对于B，当时，，
又在区间上单调递增，故在上单调递增，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，则，
又，
故在处的切线方程为，即，故D正确.
故选：BCD.
8．/
【分析】已知，由两角和的余弦公式求得，再由两角和的余弦公式求，倍角公式求.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故答案为：.
9．
【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可.
【详解】由，
且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案为：.
10．/
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，即可得到，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，又，
所以，
所以
.
故答案为：
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，
（2）根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1），
又,所以,
由于为三角形的内角，所以,
（2）由于，所以,
故,
由于为锐角三角形，所以且，故，
则，故，
故的取值范围为
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
2．（2024·河北张家口·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为
D．若，其中为锐角，则的值为
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则 ．
四、解答题
4．（2024·安徽·三模）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
参考答案：
1．B
【分析】由正弦定理得，再通过两角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即.
所以，
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），
所以，
当且仅当，即取等号.
所以.
故选：B.
2．ACD
【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；根据平移变化求，由奇偶性可求出，可判断C；根据已知化简可得，将目标式化为，由和差角公式求解可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确；
对于B，因为，
所以，点不是函数的对称中心，B错误；
对于C，由题知，，
若函数为偶函数，则，得，
因为，所以的最小值为，C正确；
对于D，若，
则，
因为为锐角，，所以，
所以
，D正确.
故选：ACD
3．
【分析】利用韦达定理可得，，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.
【详解】因为，是方程的两个根，
所以，，则，
所以．
故答案为：
4．(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助等面积法计算可得，利用基本不等式可得， 利用面积公式计算即可得.
【详解】（1），
由正弦定理得，
则，
即
则，
且，
，；
（2）由和，可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，即，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以的面积的最小值为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·湖南·二模）在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（ ）
A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
三、填空题
3．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积 ．
参考答案：
1．C
【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【详解】由余弦定理得，
即，
，
所以或，
又，所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：由余弦定理先求，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式方程解方程即可.
2．ACD
【分析】结合图形特征，利用两角差的正弦正切公式，弧长公式和三角函数，求解选项中的数据.
【详解】记，所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，

则，，
选项A：根据弧长公式得的长为，故A正确．
选项B：，则，故B错误．(也可以在中利用余弦定理求解)
选项C：如图1，过点A，C分别作EF的平行线，与过点F的EF的垂线分别交于点D，G，∵，，∴，
∵，∴，．
由题易知AD﹣CG为半坡宽度，DG为坡屋面高度半径，
，，
，，
∴，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C正确．
选项D：如图2，过点A作EF的垂直平分线，交EF于点M，过点C作，垂足为N，
，，当时，，
∴，∴．
易知CN为半坡宽度，AN为坡屋面高度半径，
∴，D正确．
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
理解题目中坡屋面高度半径和半坡宽度的定义是解题关键，结合图形特征，利用三角函数知识求解.
3．/
【分析】在中，由正弦定理得再利用两角和差的正弦展开式计算出，最后利用三角形面积公式得到面积.
【详解】在中，由正弦定理得：，由于，所以．
而，则有：，
，
又，，
由，
可得，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于能利用正弦定理和两角差的正切公式结合三角形面积公式求出边长.
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专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 3
【考点1】公式的基本应用 3
【考点2】公式的逆用及变形 5
【考点3】角的变换问题 6
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 8
【培优篇】 9
考试要求：
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【考点1】公式的基本应用
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）下列条件能确定唯一一个三角形的是（ ）
A．，，边上中线长.
B．，.
C．，，.
D．.
4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
三、填空题
5．（2024·辽宁·模拟预测）在中，若，则 ．
6．（2024·江苏南京·二模）在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为 ．
反思提升：
1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【考点2】公式的逆用及变形
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）若 ， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形
D．若为锐角三角形，的最小值为1
三、填空题
5．（2023·广东·二模）的值为 .
6．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， .
反思提升：
1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
【考点3】角的变换问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，则 .
6．（2024·湖南·模拟预测）已知，，则 .
反思提升：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江温州·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·模拟预测）已知，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（22-23高二上·浙江金华·阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．的最小正周期为1
D．是函数图像的一个对称中心
7．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，函数，则（ ）
A．在上有4个零点
B．在单调递增
C．
D．直线是曲线的一条切线
三、填空题
8．（2024·黑龙江·三模）已知，则 .
9．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 .
10．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则 .
四、解答题
11．（2024·天津·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
12．（2023·广东潮州·二模）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
2．（2024·河北张家口·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为
D．若，其中为锐角，则的值为
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则 ．
四、解答题
4．（2024·安徽·三模）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·湖南·二模）在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（ ）
A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
三、填空题
3．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积 ．
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