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第02讲 一元二次方程的解法 同步讲义
课程标准 学习目标
理解一元二次方程的各种解法的原理； 能根据方程的特点选择合适的解法； 掌握一元二次方程解法的应用. 熟练掌握一元二次方程的各种解法； 能够灵活运用解法解决问题； 提高分析问题和解决问题的能力.
知识点一、直接开方法解一元二次方程
根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法.
以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程：
1.形如x的一元二次方程：
当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当a＜0时，则方程无实数根.
2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是.
知识点二、用配方法解一元二次方程
将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法.
1.对进行分类讨论：
（1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
（2）当m＝0时，则；
（3）当m＜0时，则方程无实数根.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.配方法主要有以下几种应用：
①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小；
②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值；
③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）.
知识点三、用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况：
①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
②当时，则，此时方程有两个相等的实数根；
③当时，此时方程没有实数根.
以上三点，反之也成立.
知识点四、用因式分解法解一元二次方程
利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法.
1.因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程等号的右边化为0；
②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
题型01 直接开平方法（形如）
1．方程x2﹣4＝0的两个根是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝x2＝﹣2
C．x1＝x2＝2 D．x1＝2，x2＝0
2．一元二次方程x2＝3的根为（　　）
A．x B．x1，x2＝0
C．x1＝x2 D．x1，x2
3．已知关于x的一元二次方程ax2＝8（a≠0）的一个解为x＝2，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
4．方程3x2＝15的解为x＝　　．
题型02 直接开平方法（形如）
1．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
2．方程（x+1）2＝4的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．方程（x+5）2﹣16＝0的解是 　 　．
4．若方程（x﹣2）2＝a﹣4有实数根，则a的取值范围是 　 　．
题型03 配方法（二次项系数为1）
1．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
2．解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣1）2＝4
3．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为 　 　．
4．用适当的方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
题型04 配方法（二次项系数不为1）
1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　　．
题型05 公式法解一元二次方程
1．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
2．用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2＝0，它的根是 　 　．
4．（1）解方程：；
（2）若 ABCD的两条对角线长恰好是（1）中方程的两个解，求该平行四边形AB边的取值范围．
题型06 因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣2＝0的根为（　　）
A．x1＝2，x2 B．x1＝﹣2，x2
C．x1＝﹣2，x2 D．x1＝2，x2
2．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．6或8 B．10或 C．10或8 D．
3．对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，则m＝　　．
4．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　．
题型07 换元法解一元二次方程
1．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果设x2﹣3＝y，那么原方程可变形为（　　）
A．y2﹣5y+2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣5y﹣2＝0 D．y2+5y+2＝0
2．关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
3．已知y为实数，且满足（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，则5（y2+m2）的值是（　　）
A．6 B．30 C．36 D．12
4．若实数x满足（x2+x）（x2+x+1）＝42，则x2+x＝　　．
拓展：题型08 含绝对值的一元二次方程的解法
1．已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．8
2．已知方程x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，则满足该方程的所有根之和为（　　）
A． B． C．0 D．1
3．已知α，β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，求代数式的值．
1．若（m﹣1）x2﹣2mx+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m B．m且m≠1 C．m且m≠1 D．m＜1
2．一元二次方程2x2+（m﹣2）x＝m+1的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
3．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．15 B．13 C．11或8 D．11和13
4．对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2则关于x的方程（m+2） x＝1﹣m的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
6．已知关于x的一元二次方程x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
7．如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　 　．
8．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝　 　．
9．若一个等腰三角形的一边为3，另外两边为x2﹣8x+m＝0的两根，则m的值为 　 　．
10．（1）解方程：2x（x﹣3）＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
13．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边的长度．
（1）如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
（2）如果△ABC是以c为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由．
14．阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下：
解：x2+6x﹣4＝0
x+6x＝4……①
x2+6x+9＝4……②
（x+3）2＝4……③
x1＝1，x2＝﹣5……④
（1）上述解答过程中，从第 　 　步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
15．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求边c的最大值．
16．阅读下列材料：
a2±2ab+b2＝（a±b）2，我们把形如“a2+2ab+b2”或“a2﹣2ab+b2”的多项式叫做完全平方式，因为（a±b）2是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题：
（1）4992＝（500﹣1）2＝250000+　 　+1．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 一元二次方程的解法 同步讲义
课程标准 学习目标
理解一元二次方程的各种解法的原理； 能根据方程的特点选择合适的解法； 掌握一元二次方程解法的应用. 熟练掌握一元二次方程的各种解法； 能够灵活运用解法解决问题； 提高分析问题和解决问题的能力.
知识点一、直接开方法解一元二次方程
根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法.
以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程：
1.形如x的一元二次方程：
当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当a＜0时，则方程无实数根.
2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是.
知识点二、用配方法解一元二次方程
将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法.
1.对进行分类讨论：
（1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
（2）当m＝0时，则；
（3）当m＜0时，则方程无实数根.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.配方法主要有以下几种应用：
①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小；
②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值；
③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）.
知识点三、用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况：
①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
②当时，则，此时方程有两个相等的实数根；
③当时，此时方程没有实数根.
以上三点，反之也成立.
知识点四、用因式分解法解一元二次方程
利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法.
1.因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程等号的右边化为0；
②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
题型01 直接开平方法（形如）
1．方程x2﹣4＝0的两个根是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝x2＝﹣2
C．x1＝x2＝2 D．x1＝2，x2＝0
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．
2．一元二次方程x2＝3的根为（　　）
A．x B．x1，x2＝0
C．x1＝x2 D．x1，x2
【分析】运用直接开平方法即可解决问题．
【解答】解：因为x2＝3，
所以x是3的平方根，
则．
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法是解题的关键．
3．已知关于x的一元二次方程ax2＝8（a≠0）的一个解为x＝2，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】直接把x＝2代入方程，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2＝8（a≠0）的一个解为x＝2，
∴4a＝8，
解得a＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
4．方程3x2＝15的解为x＝　　．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵3x2＝15，
∴x2＝5，
则x，
故答案为：x＝±．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
题型02 直接开平方法（形如）
1．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
【分析】根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，
∴m+1≥0，
解得：m≥﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法﹣直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．
2．方程（x+1）2＝4的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】首先直接开平方可得一元一次方程x+1＝±2，再解即可．
【解答】解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
则x+1＝2，x+1＝﹣2，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±．
3．方程（x+5）2﹣16＝0的解是 　 　．
【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（x+5）2﹣16＝0，
（x+5）2＝16，
∴x+5＝±4，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【点评】本题考查了直接开方法求一元二次方程的解，把（x+5）看作一个整体，整理出左平方，右常数是解题的关键．
4．若方程（x﹣2）2＝a﹣4有实数根，则a的取值范围是 　 　．
【分析】根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解即可．
【解答】解：∵方程（x﹣2）2＝a﹣4有实数根，
∴a﹣4≥0，
∴a≥4，
故答案为：a≥4．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式．
题型03 配方法（二次项系数为1）
1．方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
【分析】先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝4，
∴（x﹣1）2＝4，
∴m＝﹣1，n＝4，
∴m+n＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
2．解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣1）2＝4
【分析】根据配方法将方程x2﹣4x+2＝0变形，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴（x﹣2）2﹣2＝0，
即（x﹣2）2＝2，
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程．
3．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为 　 　．
【分析】根据a2±2ab+b2＝（a±b）2即可求解．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0，
移项得，x2+2x＝3，
等式两边同时加上1得，x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4，
故答案为：（x+1）2＝4．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
4．用适当的方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】先移项，把方程化为x2﹣4x＝﹣2，再配方得到（x﹣2）2＝2，再解方程即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，
∴x2﹣4x＝﹣2，
则x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴，
∴，．
【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键．
题型04 配方法（二次项系数不为1）
1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题．
【解答】解：∵4x2﹣2x﹣1＝0，
∴4x2﹣2x＝1，
两边除以4得x2x，
∴x2x，
∴（x）2．
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤，属于中考常考题型．
2．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
由上可得，丁同学是错的，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　　．
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边除以3，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a、b的值，然后计算它们的和即可．
【解答】解：3x2+6x﹣1＝0，
x2+2x，
x2+2x+11，
（x+1）2，
所以a＝1，b，
所以a+b＝1．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
题型05 公式法解一元二次方程
1．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
【分析】根据公式法解答，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2，
∴这个方程为x2﹣4x﹣2＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键．
2．用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据公式法的步骤解决问题即可．
【解答】解：2x2+5x﹣1＝0
∴a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33＞0，
∴；
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握公式法；因此此题可根据公式法求解方程．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2＝0，它的根是 　 　．
【分析】采用公式法求解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣5x+2＝0，
a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，
∴x
解得x1，x2．
故答案为：x1，x2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程即可．
4．（1）解方程：；
（2）若 ABCD的两条对角线长恰好是（1）中方程的两个解，求该平行四边形AB边的取值范围．
【分析】（1）整理成一般式，再利用因式分解法求解即可；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分及三角形三边关系求解即可．
【解答】解：（1）∵，
∴x2﹣14x+48＝0，
（x﹣6）（x﹣8）＝0，
则x﹣6＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝6，x2＝8；
（2）∵平行四边形的对角线长度为6、8，
∴第三边4﹣3＜AB＜3+4，即1＜AB＜7．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
题型06 因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣2＝0的根为（　　）
A．x1＝2，x2 B．x1＝﹣2，x2
C．x1＝﹣2，x2 D．x1＝2，x2
【分析】先把方程左边分解，这样原方程化或0，然后解一次方程即可．
【解答】解：2x2﹣3x+2＝0，
（2x+1）（x﹣2）＝0，
2x+1＝0或x﹣2＝0，
所以x1，x2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
2．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．6或8 B．10或 C．10或8 D．
【分析】由方程可以求出直角三角形的两条边长，再根据勾股定理求三角形的第三边．
【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0
即（x﹣6）（x﹣8）＝0
得：x1＝6，x2＝8，
∴当6和8是直角三角形的两直角边时，第三边是斜边等于10；
当8是斜边时，第三边是直角边，长是2
故直角三角形的第三边是10或．
故选：B．
【点评】求三角形的边长时，一定注意判断是否能构成三角形的三边．
3．对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，则m＝　　．
【分析】直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案．
【解答】解：∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
∴（m+2）*（m﹣3）＝24，
∴（m+2+m﹣3）2﹣（m+2﹣m+3）2＝24，
则（2m﹣1）2﹣25＝24，
则2m﹣1＝±7，
解得：m1＝4，m2＝﹣3．
故答案为：4或﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确解方程是解题关键．
4．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
题型07 换元法解一元二次方程
1．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果设x2﹣3＝y，那么原方程可变形为（　　）
A．y2﹣5y+2＝0 B．y2+5y﹣2＝0 C．y2﹣5y﹣2＝0 D．y2+5y+2＝0
【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时3﹣x2与x2﹣3互为相反数，符号要变化．
【解答】解：∵x2﹣3＝y
∴3﹣x2＝﹣y
所以y2+5y+2＝0．
故选：D．
【点评】注意变形时符号的变化．
2．关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
【分析】设x2+x＝t，求出t的值，进而可得出结论．
【解答】解：设x2+x＝t，则此方程可化为t2+2t﹣3＝0，
∴（t﹣1）（t+3）＝0，
∴t﹣1＝0或t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝﹣3，
∴x2+x的值是1或﹣3．
当x2+x＝﹣3时，x2+x+3＝0，
∵Δ＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解，
∴x2+x的值是1．
故选：B．
【点评】本题考查的是换元法解一元二次方程，熟知把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法是解题的关键．
3．已知y为实数，且满足（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，则5（y2+m2）的值是（　　）
A．6 B．30 C．36 D．12
【分析】将y2+m2看成一个整体，不妨设为t，则原式可变形为t2﹣2t﹣24＝0，因式分解法解方程，由t为非负值，即可确定答案．
【解答】解：令t＝y2+m2，
由（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，
得t2﹣2t﹣24＝0，（t﹣6）（t+4）＝0，
∴t＝6或﹣4，
又∵t＝y2+m2≥0，
∴t＝6，
即y2+m2＝6．
∴5（y2+m2）＝5×6＝30，
故选B．
【点评】此题考查换元法解一元二次方程，将所求式子看作一个整体是解题的关键．
4．若实数x满足（x2+x）（x2+x+1）＝42，则x2+x＝　　．
【分析】设 x2+x＝y，则原方程换元为y（y+1）＝42，即 y2+y﹣42＝0，可得y1＝6，y2＝﹣7，即可求解．
【解答】设 x2+x＝y，则原方程换元为y（y+1）＝42，即 y2+y﹣42＝0，
∴（y﹣6）（y+7）＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣7，
即 x2+x＝6或x2+x＝﹣7（无实数根，舍去），
∴x2+x＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了高次方程，换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
拓展：题型08 含绝对值的一元二次方程的解法
1．已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．8
【分析】根据已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，分两种情况讨论，根据根与系数的关系即可解答．
【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，
即（x+3）（x﹣5）＝0，
∴x+3＝0，x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，
②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，
即（x﹣3）（x+5）＝0，
∴x﹣3＝0，x+5＝0，
解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，
③当x＝0时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．
或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，
即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，
∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），
解得x＝5或﹣5，
∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．
故选：A．
2．已知方程x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，则满足该方程的所有根之和为（　　）
A． B． C．0 D．1
【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．
【解答】解：当2x﹣1≥0时，即x，原方程化为：x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∵﹣1，
∴x2＝﹣1（舍去），
∴x＝3，
当2x﹣1＜0，即x时，原方程化为：x2+2x﹣5＝0，
∴（x+1）2＝6，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∵﹣1，
∴x1＝﹣1（舍去），
∴x＝﹣1．
则3+（﹣1）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．
3．已知α，β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，求代数式的值．
【分析】通过解一元二次方程可得出αβ＝﹣4、|α|+|β|＝4，代入中即可求出结论．
【解答】解：当x≥0时，原方程为2x2﹣3x﹣2＝0，即（2x+1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝2，x2（舍去）；
当x＜0时，原方程为2x2+3x﹣2＝0，即（2x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x3＝﹣2，x4（舍去）．
∵α，β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，
∴αβ＝2×（﹣2）＝4，|α|+|β|＝4，
∴1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
1．若（m﹣1）x2﹣2mx+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m B．m且m≠1 C．m且m≠1 D．m＜1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m﹣1）＞0，
解得m且m≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．注意二次项系数不为0．
2．一元二次方程2x2+（m﹣2）x＝m+1的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】求出判别式的值判断即可．
【解答】解：对于一元二次方程2x2+（m﹣2）x＝m+1即：2x2+（m﹣2）x﹣m﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×2×（﹣m﹣1）＝m2+4m+12＝（m+2）2+8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等在实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程无实数根，据此判断即可．
3．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．15 B．13 C．11或8 D．11和13
【分析】根据题意解出x2﹣6x+8＝0方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2，x＝4，
∵三角形两边长分别为3和6，
∴当第三边长为2时，2+3＜6不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去，
当第三边长为4时，符合构成三角形三边关系，则周长为：3+4+6＝13，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
4．对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2则关于x的方程（m+2） x＝1﹣m的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据运算“ ”的定义将方程（m+2） x＝1﹣m转化为一般式，由根的判别式Δ＝k2+8＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（m+2） x＝1﹣m，
∴x2﹣（m+2）x＝1﹣m，
∴x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
∴Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1）＝m2+8＞0，
∴关于x的方程（m+2） x＝1﹣m有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k且k≠1　．
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）×2＞0，然后解两个不等式得到它们的公共解即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）×2＞0，
解得k且k≠1．
即k的取值范围是k且k≠1．
故答案为：k且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．已知关于x的一元二次方程x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　．
【分析】先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m＝0，然后解方程和不等式得到m的值．
【解答】解：方程化为一般式为mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
根据题意得m≠0且Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m＝0，
解得m，
即m的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　3　．
【分析】用配方法求解即可．
【解答】解：x2+6x＝40，
x2+6x+9＝40+9，
（x+3）2＝49，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
8．已知m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，则m+n＝　﹣5或2　．
【分析】将m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn逐步变形为（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，根据非负数的性质即可得出结果．
【解答】解：∵m2+n2+3（m+n）＝10﹣2mn，
∴（m2+2mn+n2）+3（m+n）＝10，
∴（m+n）2+3（m+n）﹣10＝0，
∴（m+n+5）（m+n﹣2）＝0，
∴m+n＝﹣5或m+n＝2，
故答案为：﹣5或2．
【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
9．若一个等腰三角形的一边为3，另外两边为x2﹣8x+m＝0的两根，则m的值为 　15　．
【分析】等腰三角形一边为3，有两种情况，腰为3或者底为3，分开讨论并结合根的判别式进行求解即可．
【解答】解：利用一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2＝8，x1x2＝m，
若x1＝3，则x2＝5，m＝3×5＝15，则m＝15，
腰为3时，3+3＝6＞5，合题意，
把x＝3代入方程，得9﹣24+m＝0，
则m＝15，
底为5时，5+5＝10＞3，合题意，
把x＝5代入方程，得25﹣40+m＝0，
则m＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了根的判别式，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
10．（1）解方程：2x（x﹣3）＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为2x＝0或x﹣3＝0，然后据诶两个一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）2x（x﹣3）＝0，
2x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3；
（2）x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了因式分解法解一元二次方程．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程解的定义把x＝2代入原方程求出m的值即可；
（2）求出Δ＝4（m﹣1）2≥0即可证明结论．
【解答】（1）解：把x＝2代入x2﹣2mx+2m﹣2＝0中得：22﹣4m+2m﹣2＝0，
解得m＝1；
（2）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣2）
＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2≥0，
∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵x，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边的长度．
（1）如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
（2）如果△ABC是以c为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由．
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得出a＝b＝c，进而解一元二次方程，即可求解；
（2）根据勾股定理得出a2﹣c2＝﹣b2，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0，
∴2ax2﹣2ax+a﹣a＝0
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1；
（2）原方程有两个不相等的实数解
理由：∵△ABC是以c为斜边的直角三角形，
∴a2+b2＝c2，b≠0，
∴a2﹣c2＝﹣b2
∵（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0，
∴Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）
＝4b2﹣4（a2﹣c2）
＝4b2+4b2
＝8b2＞0
∴原方程有两个不相等的实数解
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理；
14．阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下：
解：x2+6x﹣4＝0
x+6x＝4……①
x2+6x+9＝4……②
（x+3）2＝4……③
x1＝1，x2＝﹣5……④
（1）上述解答过程中，从第 　②　步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【分析】（1）观察解答过程可得答案；
（2）用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9；
故答案为：②；
（2）移项得：x2+6x＝4，
配方得：x2+6x+9＝4+9，即（x+3）2＝13，
∴，
∴或，
∴，．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
15．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求边c的最大值．
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式2（5分）为9+16，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长．
【解答】解：（1）x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，
∴a＝3，
∴4﹣3＜c＜3+4，
∴1＜c＜7，
又∵c是正整数，
∴△ABC的边c的值2，3，4，5，6；
∴△ABC的边c的最大值6．
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．阅读下列材料：
a2±2ab+b2＝（a±b）2，我们把形如“a2+2ab+b2”或“a2﹣2ab+b2”的多项式叫做完全平方式，因为（a±b）2是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题：
（1）4992＝（500﹣1）2＝250000+　（﹣1000）　+1．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
【分析】（1）4992＝（500﹣1）2，利用完全平方公式展开求解；
（2）将a2+b2﹣4a+6b+18化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，即可求解；
（3）可得（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，即可求解．
【解答】解：（1）∵4992＝（500﹣1）2＝250000+2×500×（﹣1）+12，
∴4992＝（500﹣1）2＝250000+（﹣1000）+1
故答案为：（﹣1000）；
（2）由题意得，
a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）由题意得，
∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键．

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