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第03讲 二次函数的性质（一）
（2个知识点+3种经典题型+习题试卷）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
【例1】（2023秋 江干区校级期中）二次函数，当时，随的增大而减小，则实数和满足　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】由二次函数的性质可确定出的范围．
【解答】解：，当时，随的增大而减小，
抛物线开口向下，对称轴为，
，
当时，随的增大而减小，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式1】（2024 西湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3≠0，若a+b＜0，a+2b＞0，则下列说法正确的是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
【分析】根据题意得到b＞0，a＜0，再联立函数解析式表示出x1，x2 x3，利用不等式性质，比较其大小，即可解题．
【解答】解：∵a+b＜0，a+2b＞0，
∴b＞0，a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax的交点为A，
∴ax2+bxy＝bx2+ax，
整理得（a﹣b）x （x﹣1）＝0，
解得 x1＝1或x1＝0，
∵x1x2x3≠0，
∴x1＝1，
∵抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax，与x轴的交点分别为B，C，
∴ax2+bx＝0，可得 ，bx2+ax＝0 可得，
∵a+b＜0，
∴，，
∴x2＜x1＜x3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质以及不等式性质，利用不等式比较大小即可求解．
【变式2】（2024 江北区一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，．设点的横坐标为，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则的取值范围为 　或　．
【分析】分四种情况：当点在轴的下边，轴的左侧时，当点在轴的上边，轴左边时，当点在上方时，当点在下方，轴右边时，分别画出图象，结合图象即可求得答案．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，
点的对称点为，
令，得，
解得：，，
，，
根据题意可知，需要分类讨论：
当点在轴的下边，如图1，不合题意
当点在轴的上边，轴左边时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图2，
此时；
当点在上方，轴右边时，如图3，不合题意；
当点在下方，轴右边时，如图4，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
此时；
综上所述，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
【变式3】（2024 杭州一模）已知二次函数为常数）．
（1）若该函数图象的顶点为，求证：．
（2）若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由．
【分析】（1）由顶点坐标公式可得，，即可证；
（2）解方程组求得，由，得到，，然后根据二次函数的性质即可得出．
【解答】（1）证明：二次函数图象的顶点坐标为，
，，
；
（2）解：，理由如下：
解方程组得，
，
，，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
，
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，解一元一次不等式组，求得、的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
知识点2．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【例2】（2024 瑞安市二模）已知，，当时，则的最大值为 　10　．
【分析】首先求出的函数解析式，然后由进一步得出的取值范围即可．
【解答】解：，
，
，
当时，函数有最小值，等于，当时，由最大值；
故答案为：10．
【点评】此题考查二次函数的最值，利用配方法求得二次函数最值是常用的基本方法．
【变式1】（2024 桐乡市一模）已知二次函数的图象上有两点，，若，则当时，函数　　
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【分析】由，可得该二次函数与轴交点为，，因为，推断，因为，可得在第一象限，越大越小，可画出该函数的大致图象，判断有无最大值最小值．
【解答】解：，
令，则或，即该二次函数与轴交点为，，
当时，，如图所示，
，
该函数有最大值，无最小值，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是根据该二次函数与轴交点为，，当时，，可得该函数在第一象限，越大越小．
【变式2】（2022秋 温岭市期末）关于的二次函数，在时有最大值6，则　2或　．
【分析】分类讨论：，，根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：当，函数的最大值为，
解得：（不合题意舍去），，
当，时，，
解得：或（舍去）．
综上所述，的值是2或．
故答案为：2或．
【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
【变式3】（2022秋 诸暨市期末）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求，的值；
（2）当时，求的最大值与最小值之差；
（3）当时，若的最大值与最小值之差为8，求的值．
【分析】（1）是与轴的交点，可得，再将代入求值，可求得的值；
（2）根据二次函数的解析式；当时，仅当时，取得最大值；仅当时，取得最小值；再计算的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：①，；②当且时，即；③当时，即；根据函数特点，计算求出符合题意的值．
【解答】解：（1）函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2），
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3）当时，，
①当时，即，
仅当，取得最小值，此时；仅当，取得最大值，此时；
，解得：，
，
不符合题意；
②当且时，即，此时最小值为，
当取得最大值，即时，，此时，
，
解得：，
，，
不符合题意；
；
当取得最大值，即时，，此时，
，解得：，
，，，
符合题意，不符合题意，
；
③当时，即，
仅当，取得最小值，此时；仅当，取得最大值，此时；
，解得：，
，
不符合题意；
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
经典题型汇编
题型一.把y=ax +bx+c化成顶点式
1．（23-24九年级上·浙江·期中）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【答案】D
【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式、二次函数图象的平移，先将抛物线化为顶点式得，再根据二次函数平移的法则：左加右减，上加下减，即可得到答案，熟练掌握平移的法则是解此题的关键．
【详解】解：，
抛物线可以由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
故选：D．
2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，则其顶点关于轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，再求出顶点关于轴对称的点的坐标即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点是，
则顶点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的顶点在上．
(1)试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)求k的值；
(3)当的图象经过两个点．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识，有一定的综合性，难度适中．
（1）令，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）将二次函数化为顶点式得到顶点坐标，再将顶点坐标代入一次函数表达式得：，即可求解；
（3）求出，将点P、Q的坐标代入上式，求出、的值，得到，即可证明．
【详解】（1）证明：令，
则，
，
图象与x轴必有两个交点；
（2）解：，
则顶点坐标为：，
将顶点坐标代入一次函数表达式得：，
解得：；
（3）证明：由（2）知，一次函数表达式为：，
则，
当的图象经过两个点时，
此时，，
，
，
，
即．
题型二.画y=ax +bx+c的图象
4．（2021·浙江杭州·一模）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．
【详解】解：函数的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，
∴k＝3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
5．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ．
【答案】对称轴都为（答案不唯一）
【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为，
故答案为：对称轴都为（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
6．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）抛物线与y轴交点坐标是．
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】(1)，见解析
(2)抛物线与x轴的交点为，顶点坐标为
(3)当时，y的值随x值的增大而减小
【分析】（1）把代入解析式，可求出m的值，再画出抛物线解析式，即可求解；
（2）直接观察抛物线图象，即可求解；
（3）直接观察抛物线图象，即可求解．
【详解】（1）解：∵与y轴交点坐标是，
∴，
∴抛物线的解析式为．
列表如下：
x 0 1 3
y 0 3 4 0
函数图象如图∶
（2）解：由函数图象得，抛物线与x轴的交点为，顶点坐标为；
（3）解：由函数图象可知，当时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
题型三.y=ax +bx+c的图象与性质
7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数，当函数的图象经过点，，若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数图象性质，解题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
先求对称轴，确定与关于对称轴对称，分两种情况：①当N在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，②当N在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，可得结论．
【详解】解：∵
∴二次函数的对称轴为直线，
∴与关于对称轴对称，
当N在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
当N在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
综上，若，则的取值范围是或．
故答案为：或．
8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个二次函数和，当（）时，取到最大值5，且；又的最小值为，若，则二次函数．和两图象的对称轴相距（ ）个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查求函数解析式，根据题意可以设出的解析式，也就得出的解析式，根据题意列出方程，解方程从而求出和的解析式，再分别求出它们的对称轴即可解决问题．
【详解】解：设，则，
当时，，
即：，
解得：，（舍去）
∴，
∴
∵的最小值为
∴
解得，
检验：当时，，
∴，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
∴和两图象的对称轴距离为：个单位，
故选：C
9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知二次函数，反比例函数
(1)当时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围．
【答案】(1)或或
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括两个函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，二次函数的增减性，解不等式组等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）把代入两函数解析式，然后联立方程组求解即可；
（2）两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据方程有一个到两个的根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，整理得：，即：，一一代入求解即可；
（3）分无解和有解讨论即可．
【详解】（1）
解：联立，并整理得：
①
时，上式为：，
解得：x=1或或，
故函数交点坐标为：或或；
（2）
解：①式中含有的因式，即：，
故其中一个根：，
a为正整数，方程有一个到两个的根，
，
交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，
即(k为非负整数)，整理得：，
即：，
而，
当，时，解得： (舍去)；
当，时，解得：；
当，时， (舍去)；
故；
（3）
解：对于，
①当无解时，则，
解得；
②当时，两个根均大于，
即和均为正数，
则
∵，，
代入上式得：，解得，
故：a的取值范围为：．
练习试卷
一、单选题
1．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象上有两点，则的值是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
【答案】B
【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y1，y2的值即可.
【详解】∵二次函数y= (x 2)2+a 的图象上有两点(-1，y1)，(5， y2)，
y1 =-(-1-2)2 +a，
y2 = (5-2)2+a，
∴y1-y2=-(-1-2)2+a+ (5-2)2-a=-×9+×9=0，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键.
2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】配方法将一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，解题的关键是掌握配方法，正确的进行转化．
3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）把二次函数用配方法化成的形式应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
4．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知，，是二次函数图象上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把原函数解析式化成项点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断的大小．
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵三点中，点离对称轴较近，点在对称轴上，点离对称轴较远，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及利用抛物线的增减性是解题的关键．
5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数的图象，则函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查配方法、二次函数图象与几何变换，利用配方法求出二次函数的顶点式，再利用平移法则：“左加右减，上加下减”即可得到表达式．
【详解】利用配方法可得：
根据“左加右减，上加下减”的平移法则可知：
向右平移1个单位，此时：
再向上平移2个单位，此时：
化简得：
故选：D．
6．（2021·浙江温州·二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
7．（21-22九年级上·浙江宁波·期中）二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象过A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(0，y3)，D(3，y4)四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＜0，则y3y4＞0 B．若y1y3＜0，则y2y4＜0
C．若y2y4＞0，则y1y3＞0 D．若y3y4＞0，则y1y2＞0
【答案】D
【分析】观察图象可知，y3＞y2＞y1＞y4，再结合题目一一判断即可．
【详解】解：如图，由题意对称轴为直线x＝﹣1，
观察图象可知，y3＞y2＞y1＞y4，
若y1y2＜0，则y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y3＜0，则y2y4＞0或y2y4＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＞0，则y1y3＜0或y1y3＞0，选项C不符合题意，
若y3y4＞0，则y1y2＞0，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
8．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出图象，找到该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点的边界，利用与交点位置可得的取值范围．
【详解】解：抛物线化为顶点式为：，
∴函数的对称轴：，
∴和两点关于对称，
根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，这些整点是，，，，，
如图所示：

∵当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴的取值范围是，
故选：．
【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与轴交点位置是解题的关键．
9．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，比较的大小，通过正负先排除A和B，根据越大，开口越小，确定过点，点，点三点的二次函数的的值最大，利用待定系数法计算即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
由图可知，过点，，和过点，，的二次函数开口向下，，故排除A和B，
越大，开口越小，
当时，开口小的那个最大，
由图可知，过点，点，点三点的二次函数的的值最大，
把，，代入得，
解得．
故选：C．
10．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　）
A． B． C．2 D．5
【答案】C
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解．
【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同，
∴抛物线不会经过A、B、C三点，
∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，
如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大，
把代入得
，
解得，
∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为，
当时，，
故的最大值等于2，
故选：C．
二、填空题
11．（19-20九年级上·浙江·阶段练习）抛物线的图象如图，当x 时，y0．
【答案】
【分析】由图观察得出y=0时所对的x的值，再根据开口方向，从而确定y0时，x的取值范围.
【详解】由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y0时，.
【点睛】本题是对二次函数图像的考查，准确找到而从函数零点位置是解决本题的关键，难度较小.
12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线的开口方向 ，最小值是 ．
【答案】 向上
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．根据，可得出开口方向，将其化为顶点式，即可得出最小值．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线的开口向上，
当时，y有最小值：，
故答案为：向上；．
13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数，当 时，该函数的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】本题考查了把二次函数化为顶点式、二次函数的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
当时，该函数的最小值是；
故答案为：4，．
14．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题．
【详解】解：由二次函数的表达式为可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线
所以当时，函数取得最小值，且
则当时，
当时，
∴在中，函数的最大值为，
故答案为：．
15．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为 ．
【答案】
【分析】画出函数图像，结合函数图像可得的值．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
如图：点关于轴的对称点为，
∵成立的值恰好有三个，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质．涉及顶点坐标，图像的对称变换等知识点。利用图像变换画出函数图像，数形结合解题是关键．
16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据函数的单调性以及二次函数的性质求解即可．
【详解】解：构造，又，且在上单调递增
∴
∴当时，
最小值即为
故答案为：
17．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴交点，待定系数法求函数解析式，注意分类讨论思想的应用．
先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标分别代入求解即可．
【详解】解：令，则，
∴，
∵过点作轴的平行线交抛物线于点，
∴点纵坐标为，
当时，，
解得：，，
∴，
∴，
∵，
当点C在线段上时，
∴，，
∴，
当点C在线段延长线上时，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
综上，的值为或．
故答案为：或．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点．已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解答本题的关键．
根据题意二次函数过点，，得到二次函数的表达式：，又，得到当时，最小，为，当时，最大，为，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
二次函数过点，，
，
，
，
又，
，
当时，最小，为，
当时，最大，为，
，
故答案为：．
三、解答题
19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式．
【答案】或
【分析】本题考查了抛物线解析式的计算，设，把代入，确定a值即可．
【详解】∵抛物线过点，且顶点为，
∴设，
∴，
解得，
故抛物线解析式为或．
20．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求该抛物线顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案；
（2）由（1）中求得表达式，化为顶点式即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数图象经过点，
设二次函数表达式为，
二次函数图象经过点，
，
解得，
二次函数表达式为；
（2）解：由（1）可知二次函数表达式为，
该抛物线顶点坐标为．
21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，与轴的交点为．
(1)求抛物线解析式，并在如图的平面直角坐标系中画出函数大致图象；
(2)结合图象，当，则x的范围为______．
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，画二次函数图象：
（1）根据对称轴公式结合点A和点C的坐标利用待定系数法求出函数解析式，进而画出函数图象即可；
（2）根据函数图象找到函数图象在x轴上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
函数图象如下所示：
（2）解：在中，当时，解得或，
∴由函数图象可知，当，则x的范围为，
故答案为：．
22．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数．
(1)求此二次函数图象的顶点坐标；
(2)若此抛物线与轴交于，两点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
（1）把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）解方程得点、的坐标为，，从而可得的长．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）当时，，
解得，，
点、的坐标为，，
．
23．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数表达式为．
(1)用b表示二次函数图象的顶点坐标，并求出顶点纵坐标的最大值；
(2)当时，恒成立，求b的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为，顶点纵坐标有最大值为1；
(2)
【分析】
（1）配成顶点式，可求得顶点坐标，再对顶点纵坐标配方，利用非负数的性质即可求解；
（2）分类讨论，函数图象与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数，都有成立，若函数图象与轴有两个交点，列出不等式即可求的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
∵顶点纵坐标，
∵，
∴顶点纵坐标有最大值为1；
（2）
解：①二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴当二次函数的图象与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立，如图；
此时△，即，
解得；
②当二次函数的图象与轴有2个交点时，如图；
△，可得或，
∵对称轴为直线，
观察图象，显然，
综上所述，对满足的任意实数，都使得成立，则．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是数形结合，分类列不等式解决问题．
24．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
(1)若，，求该抛物线的函数解析式及对称轴；
(2)已知点，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)，对称轴为直线；
(2)，理由见解析．
【分析】（）将点，代入解析式求解；
（）根据可得，再根据可得答案；
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
【详解】（1）∵，，
∴点，在抛物线上，将点，代入得：，
解得：，，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）
∵点和点在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，即，
∴与异号，
∵，
∴，
∵，在该抛物线上，
∴，，
∵，
∴．
25．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当时，求y的取值范围 ．
【答案】(1)上，
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向；
（2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，
将，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为；
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
故答案为：上，；
（2）由（1）可知二次函数的表达式为；
（3）解：当时，；
当时，．
又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，．
故答案为：．
26．（22-23九年级上·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．
(1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；
(2)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)点B的坐标为；作图象见解析
(2)或
【分析】（1）将代入函数解析式求解，
（2）根据点A，B坐标及图象求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴B点坐标为，
列表得：
x 0 1 2 3
y 3 0 0 3
画图得：
（2）解：，，如图，一次函数的图象过A，B两点，
由图形可得：或时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 二次函数的性质（一）
（2个知识点+3种经典题型+习题试卷）
本节知识导图
知识点合集
知识点1．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
【例1】（2023秋 江干区校级期中）二次函数，当时，随的增大而减小，则实数和满足　　
A．， B．， C．， D．，
【变式1】（2024 西湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3≠0，若a+b＜0，a+2b＞0，则下列说法正确的是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
【变式2】（2024 江北区一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，．设点的横坐标为，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则的取值范围为 　　．
【变式3】（2024 杭州一模）已知二次函数为常数）．
（1）若该函数图象的顶点为，求证：．
（2）若点，在该二次函数图象上，且满足，当时，比较，的大小，并说明理由．
知识点2．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【例2】（2024 瑞安市二模）已知，，当时，则的最大值为 　　．
【变式1】（2024 桐乡市一模）已知二次函数的图象上有两点，，若，则当时，函数　　
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【变式2】（2022秋 温岭市期末）关于的二次函数，在时有最大值6，则　　．
【变式3】（2022秋 诸暨市期末）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求，的值；
（2）当时，求的最大值与最小值之差；
（3）当时，若的最大值与最小值之差为8，求的值．
经典题型汇编
题型一.把y=ax +bx+c化成顶点式
1．（23-24九年级上·浙江·期中）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，则其顶点关于轴对称的点的坐标为 ．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的顶点在上．
(1)试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)求k的值；
(3)当的图象经过两个点．求证：．
题型二.画y=ax +bx+c的图象
4．（2021·浙江杭州·一模）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ．
6．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）抛物线与y轴交点坐标是．
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
题型三.y=ax +bx+c的图象与性质
7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数，当函数的图象经过点，，若，则的取值范围是 ．
8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个二次函数和，当（）时，取到最大值5，且；又的最小值为，若，则二次函数．和两图象的对称轴相距（ ）个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知二次函数，反比例函数
(1)当时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围．
练习试卷
一、单选题
1．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象上有两点，则的值是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）把二次函数用配方法化成的形式应为（　　）
A． B．
C． D．
4．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知，，是二次函数图象上的点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数的图象，则函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·浙江温州·二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣
7．（21-22九年级上·浙江宁波·期中）二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象过A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(0，y3)，D(3，y4)四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＜0，则y3y4＞0 B．若y1y3＜0，则y2y4＜0
C．若y2y4＞0，则y1y3＞0 D．若y3y4＞0，则y1y2＞0
8．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C．3 D．1
10．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　）
A． B． C．2 D．5
二、填空题
11．（19-20九年级上·浙江·阶段练习）抛物线的图象如图，当x 时，y0．
12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线的开口方向 ，最小值是 ．
13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知函数，当 时，该函数的最小值是 ．
14．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
15．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为 ．
16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义，，则的最小值为 ．
17．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点．已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为 ．
三、解答题
19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式．
20．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求该抛物线顶点坐标．
21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，与轴的交点为．
(1)求抛物线解析式，并在如图的平面直角坐标系中画出函数大致图象；
(2)结合图象，当，则x的范围为______．
22．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数．
(1)求此二次函数图象的顶点坐标；
(2)若此抛物线与轴交于，两点，求的长．
23．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数表达式为．
(1)用b表示二次函数图象的顶点坐标，并求出顶点纵坐标的最大值；
(2)当时，恒成立，求b的取值范围．
24．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
(1)若，，求该抛物线的函数解析式及对称轴；
(2)已知点，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
25．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当时，求y的取值范围 ．
26．（22-23九年级上·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．
(1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；
(2)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．

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