资源简介

11.2.1　三角形的内角
第2课时　直角三角形的两个锐角互余
课时目标
1.理解并掌握直角三角形的性质和判定,体会从一般到特殊的数学思想,增强合作交流的能力和创新意识.
2.能运用直角三角形的性质和判定解决简单问题,培养学生应用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
了解直角三角形两个锐角的关系.
学习难点
1.掌握直角三角形的判定.
2.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
课时活动设计
回顾复习
1.三角形的内角和是多少度
2.我们学习过的三角形按角分类,能分为哪些呢
设计意图:回顾上节课所学知识,为本节课所学内容做准备,为后续学习作铺垫.
回顾引入
我们学习几何知识,通常先学习一般图形,再学习特殊图形.上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质,就是三角形的内角和定理,它反映了三角形三个内角之间的关系,今天我们学习有一个特殊内角的三角形——直角三角形.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”.
直角三角形作为特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性质呢 换言之,三角形的内角和定理适用于直角三角形吗 直角三角形的内角之间还有什么独特的性质吗
设计意图:通过新旧知识的衔接,构成知识之间的联系,提出问题,激发学生的学习兴趣,并启发学生思考.
探究新知
探究1　直角三角形的性质
我们常用的直角三角板,两锐角的度数之和为多少度
准备一张直角三角形纸片,教师引导学生类比三角形内角和定理的探索步骤自主探究,小组交流.
(1)测量角度:用量角器分别测量直角三角形两个锐角的度数,精确到度,看它们是否互余;
(2)猜想结论:多次测量后,得到共同的结论“直角三角形的两个锐角互余”;
(3)拼合验证:把直角三角形纸片的两个锐角剪下,拼合在一起,看能否组成直角;
(4)演绎证明:已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.
证明:在Rt△ABC中,∠C=90°,
由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B+90°=180°,
所以∠A+∠B=90°.
(5)定理表述:证明后的结论可以作为定理使用.这个结论“直角三角形的两个锐角互余”可以看作是三角形内角和定理的一个推论.
探究2　直角三角形的判定
我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗 请同学们说说理由.
学生独立画图,写出已知,求证,并证明.
教师点拨:在没有证明三角形是直角三角形之前,不能默认它是直角三角形,比如:不能给三角形标注直角符号.
已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形.
证明:在△ABC中,因为∠A+∠B+∠C=180°,
又因为∠A+∠B=90°,所以∠C=90°.
所以△ABC是直角三角形.
教师总结:有两个角互余的三角形是直角三角形.
设计意图:本环节让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的方法,探究出直角三角形的性质之后,学生自主探究直角三角形的判定并完成证明.在此过程中不仅培养了学生的抽象能力,使学生学会用数学语言表达现实世界,感悟几何证明的意义,还让学生体会到几何证明的规范性.
典例精讲
例　如图,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系 为什么
解:在Rt△ACE中,∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED,
∴∠CAE=∠DBE.
设计意图:该例题是对直角三角形的性质和余角的性质的综合运用,通过探究此题,提高学生解决问题的能力,发展学生的推理能力,提高学科素养.
巩固练习
1.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(　D　)
A.∠A+∠B=∠C　　　　　　　　　　　B.∠A-∠B=∠C
C.∠A：∠B：∠C=1：2：3 D.∠A=∠B=3∠C
2.在△ABC中,若∠A=43°,∠B=47°,则这个三角形是　直角三角形　.
3.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证:△ACD是直角三角形.
证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B,
∴∠A+∠ACD=90°.
∴△ACD是直角三角形.
设计意图:围绕课堂中的主要问题,当堂训练,及时反馈学习效果.
课堂小结
本节课上,同学们学到了什么知识 还学到了探索几何知识的哪些方法
1.本节课的主要内容是直角三角形的性质及判定,即“直角三角形的两个锐角互余”,以及“有两个角互余的三角形是直角三角形”.
2.学习方法,可以启发学生总结,比如:
(1)采用类比的方法探索新知;
(2)通过“测量角度——猜想结论——拼合验证——演绎证明——定理表述”等步骤研究新知;
(3)利用基本图形特征,应用新知.
设计意图:复习巩固本节课所学知识,及时进行总结反思.通过对数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
相关练习.
1.教材第14页练习第1,2题.第16,17页习题11.2第4,10题.
2.相关练习.
教学反思

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