资源简介

11.3.2　多边形的内角和
课时目标
1.能通过不同方法探索并证明多边形的内角和及外角和公式.
2.通过把多边形转化为三角形,体会转化思想和从具体到抽象的研究问题的方法,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
3.学会运用多边形的内角和及外角和公式解决简单问题,并在此过程中培养学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,提高学生的核心素养.
学习重点
探索多边形的内角和及外角和公式.
学习难点
会运用多边形的内角和及外角和公式解决问题.
课时活动设计
复习导入
三角形内角和等于多少度 外角和等于多少度 正方形、长方形的内角和等于多少度
学生思考并回答问题.
设计意图:从学生熟悉的、已知的特例出发,为后续内容作铺垫.
探究新知
探究1　四边形的内角和
问题:你知道任意一个四边形的内角和等于多少度吗
1.教师引导学生可从正方形、长方形这两个特殊四边形的内角和入手,猜想四边形的内角和等于360°.
2.学生自我探究,小组交流展示方法,进一步论证自己的猜想.
(1)学生任意画一个凸四边形,借助量角器测量四边形的各个内角,并求四边形的内角和.
(2)解法一:如图1,从四边形ABCD的一个顶点出发,引出一条对角线BD,将四边形分割成2个三角形,180°×2=360°.
解法二:如图2,从四边形ABCD内部取一点O,分别连接OA,OB,OC,OD,将四边形分割成4个三角形,180°×4-360°=360°.
解法三:如图3,在四边形ABCD的一边BC上取一点P,分别连接PA,PD,将四边形分割成3个三角形,180°×3-180°=360°.
3.教师在学生的回答基础上小结:借助辅助线把四边形分割成几个三角形,利用三角形的内角和定理求得四边形的内角和.
探究2　多边形的内角和
问题1:你知道任意一个五边形的内角和等于多少度吗
教师引导学生类比探究1中求四边形内角和的方法,根据图1,2,3求出五边形内角和.
问题2:你知道任意一个n边形的内角和等于多少度吗
解:n边形的内角和等于180°×(n-2);180°×n-360°;180°×(n-1)-180°.
教师总结,多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)×180°.
设计意图:本环节将研究方法进行类比迁移,把n边形问题转化为熟悉的三角形问题,体会化归思想的作用,进一步加深对n边形内角和公式推理过程的理解.整个探究过程把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知,再次让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的方法.
典例精讲
例1　十边形的内角和是多少 已知一个多边形的内角和为1 080°,则它是几边形
解:十边形的内角和等于(10-2)×180°=1 440°.
由题意,得(n-2)×180°=1 080°,解得n=8.
所以它是八边形.
例2　如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系
解:如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,
所以∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.
你能用文字叙述上结论吗
如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.
设计意图:通过例1,让学生从正反两个方面运用公式,解决与多边形内角和有关的简单计算问题.通过例2,让学生理解文字语言,并会将文字语言转化为图形语言和符号语言,进一步巩固多边形的内角和公式,利用公式解决具体问题.
探究新知
多边形的外角和公式
如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少
分析:考虑以下问题:(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系
(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和是多少
(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系
联系这些问题,考虑外角和的求法.
解:(1)六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.
(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和等于6×180°.
(3)这个总和就是六边形的外角和加上内角和,所以外角和等于总和减去内角和,即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.
师生共同研究:n边形(n是不小于3的任意整数)的外角和等于多少度
教师引导学生类比推理并小结:n边形的外角和等于360°.
设计意图:通过合作探究多边形的外角和公式的过程,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
典例精讲
例　如图,清晨,小明沿一个五边形广场周围按逆时针方向跑步.
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身体转过的角是哪个角
(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少
(3)在图中,你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数吗 你是怎样得到的
(4)对此,你如何理解多边形的外角和等于360°
解:(1)由图可知,小明身体转过的角是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.
(2)∵各角是五边形的外角,
∴身体转过的角度之和是360°.
(3)∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,因为各角是五边形的外角.
(4)如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形的各边走过各顶点,再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和,就是多边形的外角和.由于走了一周,所转的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
设计意图:通过例题,从学生已有的生活经验和知识出发,给学生提供现实的、有意义的、富有创造性的思维方式,激发学生的学习兴趣.
巩固练习
1.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于(　C　)
A.360°　　　　　　　　　　　　B.540°
C.720°　　　　　　　　　　　　D.900°
2.一个多边形的每一个外角都是36°,则这个多边形的边数是　10　.
3.如图所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,走的路程一共是　150　米.
4.一个多边形的内角和为1 800°,截去一个角后,求得到的多边形的内角和.
解:设这个多边形的边数为n,则有180°×(n-2)=1 800°,解得n=12.
∴原多边形边数为12.
∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1,
∴新多边形的边数可能是11,12,13.
∴新多边形的内角和可能是1 620°,1 800°,1 980°.
设计意图:复习巩固本节课的知识,让学生学会总结反思,体会逆向思维、数形结合及分类讨论的数学思想和思维方式.
课堂小结
1.本节课学习的主要内容有哪些
(1)n边形的内角和等于多少度
(2)n边形的外角和等于多少度
2.本节课学习新知的过程中运用了哪种重要的思想方法
设计意图:通过课堂小结,激发学生参与的主动性,培养学生概括归纳的能力.
相关练习.
1.教材第24页练习第1,2,3题.
2.相关练习.
教学反思

展开更多......

收起↑