资源简介

11.2.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和
课时目标
1.学生通过度量或剪图、拼图等过程,感知三角形内角和等于180°,经历添加辅助线证明三角形内角和定理的过程,锻炼学生的动手操作能力和合作探究能力,让学生体验教学活动的探索性和创造性,发展学生几何直观能力的核心素养.
2.能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题,培养学生用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
三角形内角和定理.
学习难点
三角形内角和定理的推理过程.
课时活动设计
情境导入
我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°,那么怎样证明这个结论的正确性呢 小学中我们通过度量的方法进行过验证,但我们不可能对所有的三角形进行验证,有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢
设计意图:提出问题,使学生产生强烈的求知欲,为下一环节打下基础.
探究新知
探究1　三角形的内角和
1.在准备的三角形硬纸上标出三角形三个内角的编码,如图1.
2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如图2),用量角器量出∠BCD的度数,可得∠A+∠B+∠ACB=180°.
3.把∠B和∠C剪下按下图拼在一起(如图3),用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什么结果
教师在学生完成后,提出问题,小组交流.
(1)在图2中,直线BC与AB是什么关系
解:相交.
(2)在图3中,直线MN与BC是什么关系
解:平行.
你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗
探究2　证明三角形内角和定理
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
已知:△ABC如图所示.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法,然后规范地写出证明过程.注意向学生提示辅助线要用虚线.
证明:如图,过点A作直线l,使l∥BC.
∵l//BC,∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).
同理∠3=∠5.
∵∠1,∠4,∠5可以组成平角,
∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,得到如下定理.
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
除上述方法外,你能想出这个定理的其他证法吗
学生先独立思考,然后小组交流.
教师总结点拨:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.为了证明三个角的和等于180°,将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法.
师生合作交流,归纳出几种常见的验证方法的辅助线作法(如图):
设计意图:学生通过度量、剪拼等操作,进一步感知三角形三个内角的和等于180°,通过小组共同探究,发现操作的局限性,进而了解证明的必要性;另一方面从动手操作的过程中受到启发,感悟添加辅助线的方法,获得证明思路,体会辅助线在几何证明中的重要作用.培养学生的抽象能力,学会用数学语言表达现实世界.感悟几何证明的意义,体会几何证明的规范性.鼓励学生从不同的角度思考问题,进一步体会作辅助线的方法,丰富学生的解题经验.
典例精讲
例1　如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
分析:∠ADB是△ABD的一个内角,在△ABD中,∠B=75°,如果能求出∠BAD的度数,就能求出∠ADB的度数.
解:由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线,得∠BAD=∠BAC=20°.
在△ABD中,∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.
例2　如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度
分析:A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角,如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.
解法一:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD∥BE,得∠BAD+∠ABE=180°.
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
如果不求∠ABC,能不能求∠ACB
解法二:如图,过点C作CF,使CF∥AD.
由CF∥AD,得∠ACF=∠DAC=50°.
由CF∥BE,得∠BCF=∠CBE=40°.
所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.
答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
我们发现解法二中,没有用到“B岛在A岛的北偏东80°方向”(即∠BAD=80°)这个条件,那么仍然采用解法一的基本思路,不添加任何辅助线,能否不用这个“多余”的条件呢
解法三:由AD∥BE,可得∠BAD+∠ABE=180°,
即∠BAC+∠CAD+∠ABC+∠CBE=180°.
所以∠BAC+∠ABC=180°-(∠CAD+∠CBE)=180°-(50°+40°)=90°.
在△ABC中,∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°.
答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
问题:解法一明明用到了∠DAB=80°这个条件,它为什么没有对结果产生干扰呢 你能看出其中的奥秘吗
提示:只要把解法一用一个综合算式来表示,就能看出其中的奥秘
解:∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-(∠ABE-∠EBC)-(∠BAD-∠CAD)=180°-(180°-∠BAD-∠EBC)-(∠BAD-∠CAD)=180°-180°+∠BAD+∠EBC-∠BAD+∠CAD=∠EBC+∠CAD.
设计意图:例1运用三角形内角和定理求相关角的度数,促进学生进一步巩固定理内容.例2利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题,通过一题多解,培养学生思维的发散性,提高学生的应用意识和数学表达能力.
巩固练习
1.在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=　100°　.
2.如图,在△ABC中,∠1+∠2+∠3+∠4=　280°　.
3.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.
(1)若∠A=60°,求∠BPC的度数;
(2)写出∠BPC与∠A之间的数量关系.
解:(1)∵△ABC中,∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
(2)∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB).
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.
设计意图:培养学生分析问题、解决问题的能力.当堂检测,及时反馈学习效果.
课堂小结
1.通过本节课的学习,你在知识上有哪些收获 你是通过什么方法获得这些知识的
2.本节课的主要内容.
(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
(2)求一个角的度数的方法:将所求角设法转化到三角形中,或添加辅助线,利用三角形的内角和等于180°来解题.
(3)求一个角的度数的技巧:适当的设出未知数,利用方程思想来解题,也可适当运用整体思想来解题.
设计意图:复习巩固本节课的知识,学会总结反思,培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.
相关练习.
1.教材第13页练习第1,2题,第16页习题11.2第1题.
2.相关练习.
教学反思

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