资源简介

11.1.2　三角形的高、中线与角平分线
课时目标
1.通过经历画图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,会运用它们解决一些应用问题,感受数学语言的准确性,提高学生的观察能力和语言表达能力,发展推理能力.
2.会用工具画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点.通过类比探究三角形的三条中线,三角形的三条角平分线都交于一点.
3.以学生实践为主,在已学内容的基础上进行更深一步的探究,从而发现新的结论,以此提高学生的观察能力和语言表达能力,发展推理能力.
学习重点
掌握三角形的高、中线及角平分线的概念及画法.
学习难点
1.钝角三角形高的画法.
2.探究三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都各交于一点的过程.
课时活动设计
复习导入
1.如图1,P为线段AB右上方一点,过点P作线段AB的垂线.
2.如图2,如果C是线段AB的中点,那么你能得到什么结论
3.如图3,如果OC是∠AOB的平分线,那么你能得到什么结论
设计意图:通过复习旧知,温故知新.回顾前面所学的垂线、线段的中点和角平分线等,为下面探究三角形的高、中线、角平分线打下基础,降低教学难度,提高课堂效率.
探究新知
探究1　三角形的高
教师提问,学生回答:(1)如何求三角形的面积
解:三角形的面积=×三角形的底边长×底边上的高.
(2)什么是三角形的高,怎样画三角形的高
解:从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
如图,AD是△ABC的边BC上的高,即AD⊥BC,垂足为D.
想一想:一个三角形有几条高
解:三条.
学生在纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:
(1)分别画出每个三角形的三条高.
(2)观察每个三角形的三条高之间有怎样的位置关系
(3)观察三条高是否交于一点,是在三角形的内部还是外部
学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:三角形的三条高(或高所在的直线)相交于一点,锐角三角形三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在三角形的直角顶点,钝角三角形三条高的交点在三角形的外部.
注意:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边所对的顶点;(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上.
探究2　三角形的中线
如图,如果D是线段BC的中点,那么线段AD就叫做△ABC的边BC上的中线,即BD=CD=BC.
类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的中线
结论:三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段,叫做中线.
想一想:一个三角形有几条中线
学生在纸上分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:(1)分别画出每个三角形的三条中线.
(2)观察三角形的三条中线有何特点
(3)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系 为什么
教师引导学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:三角形的三条中线都在三角形的内部,且它们相交于一点,交点叫重心.三角形的一条中线将三角形的面积分成相等的两部分.
探究3　三角形的角平分线
如图,在△ABC中,画∠A的角平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,即∠1=∠2=∠BAC.
类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的角平分线
结论:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做角平分线.
想一想:一个三角形有几条角平分线
学生在纸上分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:(1)分别画出每个三角形的三条角平分线.
(2)观察三角形的三条角平分线有何特点
学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在三角形的内部,且交于一点.
三角形的高、中线、角平分线都是线段.
设计意图:为了突出重点,突破难点,学生自主探究,动手画图,经历猜想、验证、合作交流的过程,理解并掌握三角形的高的概念及性质,通过类比的方法,探究三角形的中线及角平分线的概念及其性质.引导学生从简单的数学问题入手,层层深入,让学生体会思考和解决数学问题的步骤.培养学生的语言表达能力、探究能力和合作精神.
典例精讲
如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4.若点P在边AC上移动,则BP的最小值为多少
解:由题意,得当BP⊥AC时,BP有最小值.
∵S△ABC=BC·AD=BP·AC,AB=AC=5,BC=6,AD=4,
∴×4×6=×5×BP.
∴BP=.
∴BP的最小值为.
方法归纳:利用面积相等作桥梁(但不求面积),求三角形的高或底,这种解题方法通常称“面积法”.
例2　如图,在△ABC中,AC=5 cm,AD是△ABC的中线.若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm,则BA的值为多少
解:△ABD的周长=AB+BD+AD,△ADC的周长=AD+DC+AC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC.
又∵△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm,AC=5 cm,
∴(AB+BD+AD)-(AD+DC+AC)=AB-AC=2 cm.
∴AB=7 cm.
方法归纳:三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.
例3　如图,在△ABC中,E是BC边上的一点,EC=2BE,D是AC的中点,若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF的值是多少
解:∵S△ADF=S△ADB-S△AFB,S△BEF=S△ABE-S△AFB.
∴S△ADF-S△BEF=S△ADB-S△AFB-S△ABE+S△AFB=S△ADB-S△ABE.
又∵D是AC的中点,EC=2BE.
∴S△ADB=S△ABC=6,S△ABE=S△ABC=4.
∴S△ADF-S△BEF=S△ADB-S△ABE=6-4=2.
方法归纳:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分:高相等时,面积的比等于底边的比;底相等时,面积的比等于高的比.
设计意图:通过例题讲解,巩固及应用新知,使学生熟练应用三角形的三线解决有关问题,让学生体会知识的不同考法,提高自身的解题能力.
巩固练习
1.下列说法正确的是(　B　)
A.三角形三条高都在三角形内
B.三角形三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
2.下列图形中,能够表示AD是△ABC的BC边上的高的是(　D　)
3.如图,在△ABC中,AD为中线,BE为角平分线,则在以下等式中:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE=EC.正确的是　②③　.
如图,在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长.
解:∵CD是△ABC的中线,∴BD=AD.
∵△DBC的周长=BC+BD+CD=25 cm,则BD+CD=25-BC.
∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=25-BC+AC=25-(BC-AC)
=25-5=20(cm).
设计意图:当堂检测,及时反馈学习效果.
课堂小结
1.谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识.
2.教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质.
设计意图:引导学生回顾知识产生和发展的过程,学会总结反思,培养学生的归纳概括能力.
相关练习.
1.教材第5页练习第1,2题.
2.相关练习.
11.1.2　三角形的高、中线与角平分线
　　　三角形的高、中线、角平分线
三角形的高 三条高所在直线交于一点 面积法
三角形的中线 三条中线交于一点(内部) 中线平分三角形面积
三角形的角平分线 三条角平分线交于一点(内部)
教学反思

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