资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“三角形”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理,理解和掌握尺规作图的基本原理和方法.三角形是图形与几何领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.三角形是最简单的封闭图形,既顺承前面学过的线段、角、平行线及相交线,又为后续四边形等图形的学习提供思路、方法的支持.显而易见,三角形处于前衔后联的核心地位.三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形,而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现.三角形的知识是研究其他几何图形不可或缺的基础,三角形的应用几乎遍及初中几何的所有章节.
2.本单元教学内容分析
　　人教版教材八年级上册第十一章“三角形”,本章包括三个小节:11.1与三角形有关的线段;11.2与三角形有关的角;11.3多边形及其内角和.
“图形的性质”主题中的“三角形”包括:与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)——三角形的稳定性——三角形的内角和定理、外角的性质——多边形的内角和与外角和.本章从内容来看,包括很多重要的概念和性质定理:三角形的概念及三边关系、推理证明三角形内角和等于180°、认识多边形的对角线、推理证明多边形内角和公式、外角和等于360°等.本章是前面所学知识的延伸,又是学习全等三角形、四边形、相似三角形、三角函数等章节的基础,起到承上启下的作用.通过学习,培养学生几何图形意识和初步的动手操作技能,拓展学生归纳、总结、切割、分析复杂图形的能力.通过三角形知识的研究进一步了解几何中研究问题的基本思路和方法,也为将来进一步研究全等三角形、等腰三角形、相似三角形和平行四边形等内容奠定了知识基础,提供了研究思路.这不仅对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展非常有益,而且是深入贯彻实施《标准2022》的素养理念的渠道,有利于促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生的学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十一章的三角形,学生在小学已经学过三角形的一些知识,对三角形的许多重要性质有所了解,在七年级又学过线段、角以及相交线、平行线等知识,初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征,会进行简单的推理,已具备一定的逻辑思维能力,掌握了一定的探究方法.三角形和多边形也是学生生活中最常见的图形,有了相应的表象知识,学生更乐于深入学习,积极探索.本章从学生熟悉的生活与社会情境入手,以三角形结构化数学知识主题为载体,在符合学生认知发展规律的数学与科学情境中,让学生经历“用数学的眼光发现和提出问题,用数学的思维与数学的语言分析和解决问题”的过程,并从中获得数学学习的活动经验和积累,初步养成独立思考、探究质疑、合作交流等学习习惯,初步形成自我反思的意识,同时在形成与发展“四基”的过程中形成抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等.
四、单元学习目标
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高、角平分线等概念,了解三角形重心的概念,了解三角形的稳定性.
2.探索并证明三角形两边的和大于第三边,并会运用这一性质解决问题.
3.探索并证明三角形的内角和定理,掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
4.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
5.理解并掌握三角形外角的概念,掌握三角形外角的性质和三角形外角和,解决与三角形外角有关的简单计算和证明问题,发展学生的抽象思维,培养模型观念和应用意识.
6.了解多边形的概念及多边形的边、内角、外角、凸多边形、正多边形等有关特征,探索并证明多边形的内角和与外角和公式并能应用解决简单问题,体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
11.1.1　三角形的边
课时目标
1.结合具体的实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,发展学生的抽象能力.
2.会用符号、字母表示三角形,学生通过观察、推理、归纳,能从不同角度对三角形进行分类,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
3.理解三角形两边的和大于第三边与两边的差小于第三边的性质,并会初步应用这些性质解决相关的计算和推理问题,发展应用意识.
学习重点
三角形三边关系的探究和应用.
学习难点
三角形三边关系的应用.
课时活动设计
情境引入
教师出示图片,并提出问题:
(1)从古埃及的金字塔到现代建筑物,从巨大的钢架桥到微小的分子结构,都有什么样的形状
(2)在我们的生活中有没有这样的形状呢
教师引导学生观察图片,小组交流后回答问题.
设计意图:由实际例子引出,抽象出三角形,通过学生自主探究、合作交流,发现日常生活中的三角形,让学生感悟数学来源于生活,并应用于生活的辩证思想,引导学生产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.
探究新知
探究1　三角形及其有关概念
我们已经知道三角形是由三条线段组成的.
教师引导学生观察上面的五幅图,并回答下面的问题.
(1)判断上面各图是否是由三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
(2)上图中哪些是三角形
三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.其中三条线段必须满足以下条件:①不在一条直线上;②首尾顺次相接.
阅读教材第2页第一部分至思考,结合下图并回答以下问题:
(1)三角形有几条边,几个内角,几个顶点
(2)三角形ABC用符号表示为什么
(3)三角形ABC的边AB,AC和BC可用小写字母分别表示为什么
解:(1)三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边组成的角,叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
(2)三角形ABC用符号表示为△ABC.
(3)三角形的三边,如图,顶点A所对的边BC用a表示,顶点B所对的边AC用b表示,顶点C所对的边AB用c表示.
探究2　三角形的分类
问题1:小学中已经学过,如何将三角形进行分类
解:按照三个内角的大小,可将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
问题2:如何将三角形按边的关系进行分类
教师提出问题,学生举手回答.教师提示分类的标准是什么.
解:以“有几条边相等”分类,可将三角形分为有两边相等、有三边相等和三边都不相等.
三角形
总结:在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的角叫做底角.等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.
师生共同归纳三角形的分类方法.按不同的标准分类,可以有不同的分法:
1.三角形按边的相等关系分类如下:
三角形
2.三角形按角分类如下:
三角形
探究3　三角形的三边关系
如图是一个△ABC,假设有一只小狗从点A出发,沿三角形的边到点C吃香肠.
(1)小狗有几条路线可以选择
(2)各条路线的长有什么关系
教师提出问题,学生观察后进行讨论,思考问题并回答.
解:(1)小狗从点A出发沿三角形的边到点C吃到香肠有如下路线:
①从A→C,即线段AC的长;②从A→B→C,即AB+BC的长.
(2)两条路线长度不一样,从A→C路线最短.
教师进一步提出问题:这条路线为什么是最短的
解:两点之间,线段最短.
师生共同归纳,可得AB+BC>AC.①
同理可得AC+BC>AB.②
AB+AC>BC.③
即三角形两边的和大于第三边.
问题:(1)将不等式①②③移项,你能得到怎样的不等式
(2)通过得到的不等式,你有什么发现
解:(1)由不等式①②③移项,可得BC>AC-AB,BC>AB-AC,AC>BC-AB,AC>AB-BC,AB>AC-BC,AB>BC-AC.
(2)三角形中,任意两边的差小于第三边.
师生共同归纳:一般地,三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边.
设计意图:通过问题串,教师引导学生自主探究三角形及其相关概念.设置有趣的问题,激发学生的求知欲.通过经历观察、推理、归纳合作探究三角形的三边关系的这个过程,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
典例精讲
例　用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗 为什么
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.
x+2x+2x=18.解得x=3.6.
所以,三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
(2)因为长为4 cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
如果4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则4+2x=18.解得x=7.
如果4 cm长的边为腰,设底边长为x cm,则2×4+x=18.解得x=10.
因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
设计意图:通过例题,使学生更加理解构成三角形的条件,体会分类讨论的数学思想.
巩固练习
1.以下列各组数值为长度的线段中,能组成三角形的是(　D　)
A.2,4,7　　　　　　B.3,3,6　　　　　　C.5,8,2　　　　　　D.4,5,6
2.若三角形的三边长分别是4,9,a,则a的值可能是(　D　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知等腰三角形ABC,其中有两边长是3和5,则此三角形的周长为　11或13　.
设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固和内化.
课堂小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点),会用符号表示一个三角形.
2.三角形的分类.
3.通过实践了解三角形三边的不等关系.
设计意图:培养学生的概括能力,使知识形成体系,并渗透数学思想方法.
相关练习.
1.教材第4页练习第1,2题.
2.相关练习.
11.1.1　三角形的边
　　1.三角形及其有关概念.
2.三角形的分类:
(1)按角分类:　　　(2)按边分类:
三角形 三角形
3.三角形的三边关系:任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边.
教学反思

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