资源简介

第2课时　勾股定理的验证及其应用
课时目标
1.进一步了解勾股定理,探索勾股定理的证明过程.
2.学会利用几何图形的割、补证明勾股定理.
3.能够利用勾股定理解决简单的实际问题.
4.在数学活动中发展学生的自主探究和合作交流的意识,体会勾股定理的应用价值.
学习重点
运用割补、拼图的方法证明勾股定理.
学习难点
灵活应用勾股定理解决实际问题.
课时活动设计
新课引入
小组合作展示:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.
提出问题,观察学生如何操作,再让学生展示过程,最后教师用课件展示拼图过程.
追问:还有其他拼法吗
设计意图:通过学生自己动手操作,让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时又培养学生的动手能力和创新能力.
探究新知
问题:在下图中,分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗
追问:如何计算大正方形的面积呢
上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形探索发现了勾股定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢 这需要进一步验证.如何验证勾股定理呢 事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也将去验证勾股定理.
设计意图:通过观察图形,思考如何验证勾股定理.介绍世界上有数百种验证方法,激发学习兴趣.通过这一环节,明确仅仅探索得到勾股定理还不够,还需进行验证.当听到有数百种验证方法时,马上就有了去寻求属于自己的方法的欲望.
新知讲解
教师用多媒体演示课件,引导学生观察并思考.
为了计算大正方形的面积,小明对这个大正方形进行了“补”和“割”,如下图所示.
问题1:通过“补”的办法,你能表示出大正方形的面积吗
教师引导学生通过两种方法表示大正方形的面积,同学独立思考,教师进行巡视,对于思路不清晰的学生给予指导.
证明:因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab,
所以a2+b2+2ab=c2+2ab,即a2+b2=c2.
问题2:通过“割”的办法,你能表示出大正方形的面积吗
教师引导学生用上面的等面积法进行证明,同学独立思考,教师进行巡视,对于有困难的学生给予指导.
证明:因为S大正方形=c2,S小正方形=(a-b)2,
又因为S大正方形=4S直角三角形+S小正方形,所以c2=4×ab+=a2+b2.
问题3:还有其他方法可以证明吗 我们来了解下.
如图,图中的三个三角形都是直角三角形,求证:a2+b2=c2.
证明:因为S梯形=(a+b)(a+b),S梯形=ab+ab+c2,
所以(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,即a2+b2=c2.
事实上,勾股定理的证明方法十分丰富,达数百种之多.其中一类方法尤为独特,单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理,被誉为“无字的证明”,如以下两种:
设计意图:由学生操作自主探究,教师引导,运用数形结合的思想,通过等面积的方法来证明勾股定理,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念.通过三种不同的证明方法培养学生的动手操作能力,观察分析问题的能力.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考,解答.然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答案.
例　我方侦察员小王在距离公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
分析:根据题意,可以画出示意图,如图所示.其中点A表示小王所在位置,点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置,由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300 m.
敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108 000(m).
即它行驶的速度为108 km/h.
设计意图:通过例题的讲解,巩固对勾股定理的理解和掌握,培养学生的应用意识.
拓展应用
观察下图,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
结论1:若钝角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b2结论2:若锐角三角形中较长边长为c,较短边长为a,b,则a2+b2>c2.
设计意图:给出问题,激发学生思考,并讨论交流.引导学生从数学现象背后发现数学规律,为后面学生独立解题打下一定的基础.学生通过数格子的方法可以得出,如果不是直角三角形,那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2.通过这个结论,学生将对直角三角形三边之间的关系有进一步认识,并为后续直角三角形的判定打下基础.
巩固训练
1.如图,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两棵树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,小鸟至少飞行(　B　)
A.8 m　　　　　B.10 m　　　　　C.12 m　　　　　D.14 m
第1题图　　　第3题图
2.如果梯子的底端离一幢楼5米,那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是(　A　)
A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
3.如图,王大爷准备建一个蔬菜大棚,棚宽8 m,高6 m,长20 m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,阳光透过的最大面积是　200 m2　.
设计意图:通过巩固训练,加强对所学知识的理解,灵活应用勾股定理解决实际问题.
课堂小结
1.本节课我们主要学习了哪些内容
2.证明勾股定理的方法有哪些
设计意图:通过梳理本节课所学知识,形成结构化的知识,便于学生理解和记忆,同时培养学生归纳、总结能力.
相关练习.
1.教材第6页随堂练习,习题1.2第1,2,3题.
2.相关练习.
教学反思

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