资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“勾股定理”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理.通过信息技术的演示或者代数推理,让学生掌握勾股定理并会验证勾股定理,进而应用勾股定理解决生活中的数学问题.探索勾股定理及其逆定理,并能运用他们解决一些简单的实际问题是课标对勾股定理的直接要求.在前面学生已经掌握了三角形的基本性质,研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识,还研究了当三角形一个角是90°,即直角三角形的相关性质.对于直角三角形三边之间的关系将在本章研究.本章主要内容是勾股定理及其逆定理,勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系,是直角三角形非常重要的性质,它可以用来解决许多直角三角形的计算问题,是解直角三角形的重要工具之一,是搭建代数与几何的重要桥梁.同时本章对于渗透数学文化有着很好的载体,相关素材对于培养学生的民族自豪感,开展学科德育教育有积极的意义和作用.
2.本单元教学内容分析
　　北师大版教材八年级上册第一章“勾股定理”,本章包括三个小节:1.1探索勾股定理;1.2一定是直角三角形吗;1.3勾股定理的应用.
本章内容主要研究勾股定理及其逆定理,包括发现、证明、应用三个环节.首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理.然后运用勾股定理解决问题,在此基础上引入勾股定理的逆定理.在勾股定理和其逆定理的探索过程中,要引导学生观察、归纳和总结,并将结论运用到问题解决中,注意体会数形结合、转化等数学思想.在实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,是数形结合的典范,是直角三角形特有的性质,可以解决许多直角三角形中的计算问题.
本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用.
本章主要有如下特点:
1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理,是通过问题引出的.
2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来.
3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重.
本章节勾股定理的背景资料非常丰富,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理丰富的文化内涵,激发学生的学习兴趣.通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情,培养学生的民族自豪感.
三、单元学情分析
本单元内容是北师大版数学八年级上册第一章勾股定理,学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助,但本章内容思维量大,对思维的严谨、归纳推理能力要求较高,学生学起来有一点的难度.
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力.他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法(包括割补、拼接),但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够.另外,学生普遍学习积极性较高,课堂活动参与较主动,但合作交流的能力还有待加强.
四、单元学习目标
1.在研究图形性质和运动等过程中,进一步发展空间观念,培养学生几何直观和抽象能力的核心素养.
2.在多种形式的数学活动中,发展合情推理能力,培养学生推理能力、运算能力.
3.经历从不同角度分析问题和解决问题,体验解决问题方法的多样性,发展学生创新意识.
4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
勾股定理
课时划分 内容本质与研究方法
1.1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 运用数形结合的思想,尝试通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理
第2课时　勾股定理的验证及其应用 运用从特殊到一般的数学思想,进一步一般化,通过拼图验证勾股定理
1.2　一定是直角三角形吗 通过逆思考,培养学生的逆向思维,发展学生的主动应用意识
1.3　勾股定理的应用 运用化归思想,学生学会把实际问题抽象成数学问题,进一步发展应用意识
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》要求设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　探索勾股定理
课时目标
1.用数格子(割、补、拼等)和测量的方法体验勾股定理的探索过程.
2.理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.
3.会初步运用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题,提高猜想、归纳的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
学习重点
勾股定理的探究.
学习难点
运用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题.
课时活动设计
情境引入
同学们,听说过勾股定理吗 大家对这个神秘而又常用的定理感兴趣吗 感兴趣的话就让我们一起去探索真理吧.首先让我们追随毕达哥拉斯的脚步,走进他朋友的屋子,去看看屋中地板的图形里蕴含什么奥秘吧.
1.相传2 500年前,古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边之间的关系.
思考:A,B,C的面积之间有什么关系呢
学生回答,教师总结:SA+SB=SC,a2+b2=c2.
得出结论:两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.是不是所有的直角三角形的三边都具备这种特殊的关系呢 我们一起来探究一下吧.
设计意图:用毕达哥拉斯发现勾股定理的小故事,进一步激发学生探索勾股定理的兴趣.
探究新知
探究1　通过测量探究勾股定理
(1)请同学们在白纸上作出一个直角三角形,使它的两条直角边长分别是3 cm和4 cm,测量它斜边的长度,看看三边的平方之间有怎样的关系.
(2)我们在方格纸上再分别作出几个直角三角形,计算它们三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗
探究2　通过数格子探究勾股定理
观察图1,图2,直角三角形三边的平方分别是多少 它们满足上面所猜想的数量关系吗
图1　　　　图2
如图1,正方形A中有　9　个小方格,即A的面积为　9　个单位面积.正方形B中有　9　个小方格,即B的面积为　9　个单位面积.正方形C中有　18　个小方格,即C的面积为　18　个单位面积.
如图2,正方形A中有　16　个小方格,即A的面积为　16　个单位面积.正方形B中有　9　个小方格,即B的面积为　9　个单位面积.正方形C中有　25　个小方格,即C的面积为　25　个单位面积.
探究3　对于任意直角三角形,三边的平方是否满足上面发现的数量关系呢 借助几何画板来观察.
通过上述探究,教师总结勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
设计意图:学生经历了测量、计算,由特殊到一般的过程后,归纳总结,明晰勾股定理的内容.
典例精讲
例　如图,求出直角三角形中未知边的长度.
解:由勾股定理,可知x2+402=412,解得x=9或x=-9.
因为x为三角形的一条边,所以x=9.所以直角三角形中未知边的长度是9.
设计意图:通过例题的讲解,规范学生解题步骤,加深学生对新知识的理解与掌握.
巩固训练
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=6,c=10,则b=　8　;
(2)已知a=5,b=12,则c=　13　;
(3)已知c=25,b=15,则a=　20　.
2.已知在Rt△ABC中,AB=4,AC=3则BC的平方是　7或25　.
3.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形E的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是　49 cm2　.
设计意图:通过巩固训练,加深对所学知识的理解,学会用勾股定理解决一些简单的问题.
课堂小结
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
设计意图:通过回顾本节课所学内容.加强学生对本节知识的理解,培养学生反思总结的习惯.
相关练习.
1.教材第3页随堂练习第1题,第4页习题1.1第1,2题.
2.相关练习.
第1课时　探索勾股定理
　　　　　1.勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的应用:在直角三角形中,已知任意两个边的长度,可以求出第三边的长度.
注意:①勾股定理应用的前提是直角三角形;
②要分清直角边和斜边;
③公式也可以变形为a2=c2-b2或b2=c2-a2.
教学反思

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