资源简介

课时目标
1.会用平方法估算一个无理数的大致范围;会比较两个无理数的大小;会利用估算解决一些简单的实际问题.
2.掌握估算的方法,形成估算的意识,发展学生的数感.
3.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程,培养学生学习数学的主动性,体会数学知识的实用价值,激发学生的学习热情.
学习重点
掌握估算的方法,提高学生的估算能力.
学习难点
通过估算比较两个无理数的大小.
课时活动设计
回顾旧知
1.回顾平方根、立方根相关知识.
2.以提问的方式让学生快速回答下列问题:
(1)36的平方根是　±6　,的算术平方根是　2　.
(2)8的立方根是　2　,=　-3　.
(3)=　4　,=　-6　,()2=　196　.
设计意图:通过计算练习,使学生回顾平方根、立方根的有关知识,为本节课的学习作铺垫.
情境引入
教师提出问题,小组合作交流.
学校有一个正方形的花坛,面积为20平方米.
(1)花坛的边长为多少
(2)如果要求精确到1米,请估计其边长大约为多少米 .
解:(1)设花坛的边长为x米,根据题意,得x2=20,解得x=±.
因为花坛的边长为正数,所以x=.所以花坛的边长为米.
(2)因为=20,而42=16,52=25,16<20<25,
所以<<.
所以4<<5.
所以边长在4-5之间.
因为要求精确到1米,要看十分位的数字,所以继续利用平方法进行估算.
4.12=16.81,4.22=17.64,4.32=18.49,4.42=19.36,4.52=20.25,
所以4.4<<4.5.
所以根据四舍五入法得,≈4.
所以花坛的边长大约为4米.
教师引导学生利用平方法进行估算.如果继续利用平方法进行估算,我们可以算出更准确的数值.
设计意图:从现实情境引入,在教师引导中思考怎么估算值,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性,培养学生用数学的眼光观察世界的能力.
探究　估算无理数的大小
教师提出问题,先让学生思考,然后共同探究并总结.
1.(1)下列计算结果正确吗 你是怎样判断的 与同伴进行交流.
≈0.066;≈96;≈60.4.
(2)你能估算的大小吗 (结果精确到1)
解:(1)因为0.0662=0.004 356<0.43,所以≈0.066是错误的.
因为963=884 736>900,所以≈96是错误的.
因为60.42=3 648.16>2 536,所以≈60.4是错误的.
(2)因为93= 729, 103 = 1 000,所以9<<10.
因为结果精确到1,要看十分位的数字,所以继续利用立方法进行估算.
9.13 = 753.571, 9.23 = 778.688,9.33 = 804.357, 9.43 = 830.584,
9.53 = 857.375, 9.63 = 884.736,9.73 = 912.673,
所以9.6<<9.7.
所以根据四舍五入法,得≈10.
2.估算的值在哪两个整数之间 并写出的整数部分和小数部分.
解:因为9<10<16,所以<<.
所以3<<4,即的值在3和4之间.
所以的整数部分为3,小数部分为-3.
归纳　1.比较两个无理数大小关系的方法:
(1)通过“精确计算”可比较两个无理数的大小关系;
(2)通过“估算”也可比较两个无理数的大小关系.
2.估算无理数大小的方法:(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分;
(2)根据所要求的误差确定小数部分.
设计意图:通过探究问题,进一步让学生总结思路,理解估算无理数大小的方法,形成数学思维.
典例精讲
例　生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一个长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗
要特别注意条件“当梯子稳定摆放时”,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索.
解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,
此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的,
根据勾股定理,有x2+(×6)2=62,即x2=32, x=.
因为5.62= 31.36<32,所以>5.6.
因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能够达到5.6 m高的墙头.
设计意图:通过实际例子让学生进一步感受现实生活中的估算,感受估算的广泛性;让学生利用前面所学的知识综合解决问题,变式练习,发散思维.
探究　无理数的大小比较
教师提出问题,学生思考、交流,最后教师引导学生进行总结.
1.比较大小,用“>”或“<”符号连接:　< ,　< .
2.比较大小,用“>”或“<”符号连接:2　< ,-3　<　-.
3.通过估算,你能比较与的大小吗 你是怎样想的 与同伴交流.
分析:因为这两个数的分母相同,所以只需比较分子即可.
解:因为()2=5,22=4,5>4,
所以()2>22,即>2.
所以-1>2-1.
所以>,即>.
总结　1.两个带根号的无理数比较大小:
(1)a>b≥0 >;
(2)a>b >或a3>b3.
2.对于含根号的数比较大小,一般可采取下列方法:
(1)先估算含根号的数的近似值,再和另一个数进行比较;
(2)当符号相同时,把不含根号的数平方,和被开方数比较,本方法的实质是比较被开方数,被开方数越大,其算术平方根越大.
3.若同分母或同分子的无理数,可直接比较它们的分子或分母的大小.
设计意图:不同的学生有不同的思路,学生间互相交流,发展思维,获得基本活动经验,培养学生用数学语言表达现实世界的核心素养.
典例精讲
例1　估算下列数的大小:
(1)(结果精确到0.1);(2)(结果精确到1).
解:(1)因为()2=13.6,而32=9,42=16,
9<13.6<16,
所以3<<4.
因为3.42=11.56,3.52=12.25,3.62=12.96,3.72=13.69,
所以3.6<<3.7.
又因为结果精确到0.1,3.652=13.322 5<13.6.
所以3.65<.
所以≈3.7.
(2)因为()3=800,93=729,103=1 000,
所以9<<10.
又因为9.53=857,375>800,所以9<<9.5,结果要精确到1,所以≈9.
例2　比较下列各组数的大小:
(1),2.4;(2),1.6;(3),.
解:(1)因为()2=5,2.42=5.76,5.76>5,
所以2.4>.
(2)因为()3=5,1.6>4.096,5>4.096,
所以>1.6.
(3)因为<<,
所以3<<4,2<-1<3.
所以>1.
所以>.
设计意图:学生通过例题进一步熟悉估算和比较无理数的大小的思路,促进学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
巩固训练
1.与最接近的整数是(　C　)
A.2　　　　　　　B.3　　　　　　　C.4　　　　　　　D.5
2.估过估算,比较与2.5的大小.
解:因为2.52=6.25,()2=6,所以<2.5.
设计意图:当堂检测,及时反馈,查漏补缺.
课堂小结
1.怎么估计无理数的大小
2.比较无理数大小的方法是什么
设计意图:通过回顾本节课所学内容,让学生在总结归纳中获取知识,从而加深对本节课所学知识的理解.
相关练习.
1.教材第34页习题2.6第1,2,3,4题.
2.相关练习.
2.4　估算
　　　　　　1.估算无理数大小的方法:
(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分;
(2)根据所要求的误差确定小数部分.
2.无理数的大小比较
(1)两个带根号的无理数比较大小:
①a>b≥0 >;
②a>b >或a3>b3.
(2)对于含根号的数比较大小,一般可采取下列方法:
①先估算含根号的数的近似值,再和另一个数进行比较;
②当符号相同时,把不含根号的数平方,和被开方数比较,本方法的实质是比较被开方数,被开方数越大,其算术平方根越大.
(3)若同分母或同分子的无理数,可直接比较它们的分子或分母的大小.
教学反思

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