资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“实数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.《标准2022》指出:了解无理数和实数,知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点一一对应;能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小;能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数和绝对值;了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根;了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根,会用计算器计算平方根和立方根;能用有理数估计一个无理数的大致范围;了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算;了解二次根式、最简二次根式的概念;了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算.本章涉及到的思想方法有:数形结合思想.本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点——数轴,有了数轴这个基础,就把数与形有机地联系起来了,这样就可以用数形结合思想解决问题了,如解释了“实数与数轴上的点的一一对应关系”及“实数的大小比较”;分类讨论的思想.本章中关于实数的分类,就利用了这一思想;对立统一思想.由于本章引入了无理数、实数的概念,把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来,所以,在这一章中,有利于对学生进行“对立统一”思想方法的教育;转化的思想.本章中,通过“开方”的概念及计算器的应用,把有理数的运算转化为实数的运算.这是非常重要的思想方法,对它的学习不仅解决了实数的运算,而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法.通过解决生活中的实际问题体会数学与现实生活的紧密联系,在学习过程中体验学习的乐趣;培养学生的探究能力和归纳能力,发展学生的数学素养.
2.本单元教学内容分析
　　　北师大版教材八年级上册第二章“实数”,本章包括七个小节:2.1认识无理数;2.2平方根;2.3立方根;2.4估算;2.5用计算器开方;2.6实数;2.7二次根式.
本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根、无理数和实数及其运算.从有理数到实数是数的第二次扩展,经过本章的学习,第三学段所应学的数系扩展已完成,从本章开始,今后所遇到的问题(除特别说明)都将在实数范围内讨论,这给教学带来了许多方便.平方根、立方根的概念对实数概念的建立起了十分重要的作用,而且应用非常普遍.实数与数轴上的点的对应关系直观地反映了数的扩展状况,这种数与点的对应关系,使数轴成为了解释和解决许多数学问题的有效工具,也是数形结合研究方法的重要依据.要重视从有理数到实数的发展过程的教学,要充分运用实际例子克服数的扩展过程中的抽象性,使学生体验到平方根、无理数、实数等概念是由于人们生活和生产实践的需要而产生的,在我们的周围普遍存在着.通过实际例子帮助学生了解这些抽象概念的实际意义,并学会在实际情境中使用它们.平方根、立方根的概念,实数与数轴上点的一一对应关系是本章教学中的重点.平方根的概念是通过逆运算来建立的,而且有多种不同情况,这是学生从未经历过的.无理数的概念比较抽象,它是一个确定的数,却不能把它完全直观地表示出来.平方根的概念、无理数的概念是本章教学中的主要难点.数系从有理数扩展到实数后,数的运算法则和运算律都没有发生变化,在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上,建立了完整的实数体系.本章内容在初中数学中占有重要的地位,是进行其他内容学习的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等),同时,在理论的运算中也常用开方运算,故学生务必学好本章内容.
三、单元学情分析
八年级的学生已经积累了一定的数学活动经验,也经历了一些数的扩展,但无理数不像有理数直观易懂,总有一种虚幻的感觉,学起来比较困难,也有个别学生由于对有理数的概念理解不透,对无理数的学习信心不足,产生畏难和厌学情绪,所以在教学过程中尽量利用具体情境,通过操作、猜想、抽象、验证、类比、推理等学习方法促进学生对本章知识的理解和掌握.对于无理数、实数的认识,强调让学生经历一个实际的情境,使学生在实际情境中体验、感受和理解无理数的意义,明确实数的有关概念本身具有抽象性,但所反映的内容又十分现实,与人们的生活、生产有十分密切的联系,使学生在学习过程中有了现实背景感受,体验有关知识所形成的数感、符号感,认识数学与生活的密切关系.
四、单元学习目标
1.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.
3.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.
4.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.
五、单元学习内容及学习方法概览
实数
课时划分 内容本质与研究方法
2.1　认识无理数 运用数形结合的思想,通过拼图活动进行操作、验证,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性,发展学生的抽象能力;运用从具体到抽象,从特殊到一般的数学思想,引出无理数的概念,发展抽象能力
2.2　平方根 第1课时　算术平方根 运用从具体到抽象的数学思想,引出算术平方根的概念,发展互逆思维
第2课时　平方根 运用从具体到抽象的数学思想,引出平方根的概念,发展应用意识,体会平方和开方的互逆关系
2.3　立方根 运用类比思想,引出立方根的概念,进一步体会立方和开立方的互逆关系
2.4　估算 运用夹逼法,估计无理数的大致范围,掌握估算方法,形成估算的意识,发展数感
2.5　用计算器开方 运用计算器探求数学规律,发展合情推理能力
2.6　实数 运用类比和分类讨论的数学思想,引出实数的概念及性质,还运用数形结合的思想,使学生体会实数和数轴的一一对应关系
2.7　二次 根式　　 第1课时　二次根式及其性质 运用归纳的思想引出二次根式和最简二次根式的概念,并进行应用,发展应用意识
第2课时　二次根式的运算 运用归纳和对立统一的思想,总结二次根式的运算法则及有理数运算律的适用性,进一步发展学生类比的学习能力
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.探索无理数的定义,并从中体会无限逼近的思想.
3.在探索无理数是无限不循环小数的过程中,培养学生的估算能力,发展学生的抽象概括能力.
4.能辨别出一个数是无理数还是有理数,锻炼学生的思维判断能力.
学习重点
比较无理数与有理数的区别,能辨别出一个数是无理数还是有理数.
学习难点
探索无理数是无限不循环小数的过程.
课时活动设计
新课引入
如下图是两个边长为1的小正方形,你能通过剪一剪、拼一拼,设法得到一个大正方形吗 你能求出大正方形的边长吗
拼法一:
拼法二:
拼法三:
设计意图:以小组探究的形式,通过拼图活动,引出本节课的内容,让学生感受客观世界中无理数的存在.
探究新知
教师提出问题,学生思考并总结.
问题1:设大正方形的边长为a,a满足什么条件
解:一个小正方形的面积为S小正方形=1×1=1.S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2,所以S大正方形=2.根据正方形面积公式S大正方形=a2,所以a2=2.
问题2:a可能是整数吗 说说你的理由.
解:a不可能是整数.
理由:
(1)从“数”的角度:
因为a2=2,而12=1,22=4,32=9,…
所以12所以a不是整数.
(2)从“形”的角度:
在△ABC中,AC=1,BC=1,AB=a.
根据三角形的三边关系,斜边AB满足:
AC-BC即0问题3:a可能是分数吗 说说你的理由,并与同伴进行交流.
解:a不可能是分数.理由:
()2 = ,()2 = ,()2=.
从上面的式子中发现:两个相同的最简分数的乘积仍然是分数,而a2=2是整数,所以a不是分数.
归纳:在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数.
设计意图:引导学生进行一些理性的思考,让学生自然感受到除了有理数外还有其他数的存在.并从数与形的角度归纳数a的特点,培养归纳概括能力.
探究新知
教师提出问题,引导学生自行探索并总结.
问题1:面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢
(1)如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系 说说你的理由.
(2)边长a的取值范围大致是多少 如何估算的 是否存在一个小数的平方等于2,说说你的理由.
(3)边长a的整数部分是几 十分位是几 百分位呢 千分位呢 ……,借助计算器进行探索.
边长a 面积S
11.41.411.4141.414 2小结:a是介于1和2之间的一个数,事实上,a=1.414 213 56…,它既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数,它是无限不循环小数.
问题2:用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.
小结:b是介于2和3之间的一个数,事实上,b=2.236 067 978…,它既不是整数,也不是分数,则b一定不是有理数,它是无限不循环小数.
同样,对于体积为2的正方体,借助计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数.
设计意图:由教学活动2的定性描述转向定量研究,进一步引发学生的思考,激发学生的探索欲;鼓励学生借助计算器进行充分探索,体会无限逼近的思想,并引导学生整理出探索的过程;通过更多的例子,让学生熟悉求无理数近似值的估算方法,进一步体会无理数的“无限”与“不循环”的特点.
归纳总结
1.把下列各数表示成小数,你发现了什么
3,,,,-.
上面这些数都是有理数.事实上,有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
2.无理数定义:无限不循环小数称为无理数.
判断一个数是不是无理数,关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
无理数常见的形式主要有三种:
①一般的无限不循环小数,如1.414 213 56…是无理数;
看似循环而实质不循环的小数,如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.
②圆周率π以及含π的数,如π,2π,π+5都是无理数.
③开方开不尽的数(下一节学到)是无理数.
3.有理数与无理数的主要区别:
①无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数;
②任何一个有理数都可以化为分数的形式,而无理数不能.
设计意图:回顾有理数的情况,明确有理数都可用有限小数或无限循环小数表示,为后面引出无理数的概念作准备,进一步理解无理数的概念,归纳出无理数的三种常见形式.
典例精讲
下列各数中,哪些是有理数 哪些是无理数
0.,0.1234,,π,18.
解:0.,0.1234,,18是有理数;π是无理数.
设计意图:通过例题,进一步巩固所学知识.
巩固训练
1.以下各正方形的边长不是有理数的是(　C　)
A.面积为25的正方形
B.面积为的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
2.一个面积为6的长方形,长是宽的3倍,则宽为(　D　)
A.整数　　　　　B.分数　　　　　C.有理数　　　　D.无理数
3.设面积为3的正方形的边长为x,那么关于x的说法正确的是(　D　)
A.x是有理数 B.x取0和1之间的数
C.x不存在 D.x取1和2之间的数
4.判断正误.
(1)有限小数是有理数; (√)
(2)无限小数都是无理数; (×)
(3)无理数都是无限小数; (√)
(4)有理数是有限小数. (×)
5.把下列各数填入相应集合.
0.351,-4.,3.141 59,-5.232 332…(相邻两个2之间3的个数逐次加1),,1.234 567 891 011…(由相继的正整数组成).
有理数集合{0.351,-4.,3.141 59};
无理数集合{-5.232 332…(相邻两个2之间3的个数逐次加1),,
1.234 567 891 011…(由相继的正整数组成)}.
设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.
课堂小结
1.无理数的概念是什么 怎么判断一个数是不是无理数
2.无理数的常见形式.
3.有理数和无理数的区别.
设计意图:通过回顾本节课所学内容,加深学生对知识的理解,培养学生梳理知识的学习习惯.
相关练习.
1.教材第22页习题2.1第1,2题,第25页习题2.2第1,2,3题.
2.相关练习.
教学反思

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