资源简介

第1课时　二次根式及其性质
课时目标
1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.
2.通过对二次根式的性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力.
3.经历在具体情境中发现二次根式的过程,体会引入二次根式的必要性.
4.经历观察、交流、总结等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,让学生体现发现的快乐,并提高应用的意识.
学习重点
了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化简为最简二次根式.
学习难点
对二次根式的性质的探究.
课时活动设计
问题引入
思考:用带根号的式子填空,观察这些结果有什么特点
(1)图1的画框为正方形,若面积为8 dm2,则边长为 　 dm;若面积为S dm2,则边长为 　 dm.
(2)图2是一块长方形的土地,若宽是长的,土地的面积为13 m2,则它的长为 　 m.
图1　　　图2
设计意图:通过实际问题,让学生用带根号的式子填空,为下面探究二次根式的特征作准备.
知识回顾
1.什么叫做平方根
2.什么叫做算术平方根
3.什么数有算术平方根
设计意图:回顾平方根和算术平方根的定义,为本节课要学习的内容作准备.
探究新知
探究1　二次根式的概念
教师提出问题,学生思考并解答,最后教师总结.
问题1:问题引入中的问题,我们得到的结果分别是,,,这些式子分别表示什么意义
解:这些式子分别表示8,S,的算术平方根.
问题2:非负数b,m+n,t2-2的算术平方根怎么表示
解:算术平方根分别是,,.
问题3:什么样的数才有算术平方根
解:只有非负数才有算术平方根.
问题4:这些式子有什么共同特征
解:①含有“”;②被开方数为非负数.
总结二次根式的概念:一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(注意:a可以是数,也可以是式子.)
二次根式的两个必备特征:①外貌特征,含有“”;②内在特征,被开方数a≥0.
探究2　二次根式中字母的取值范围
学生思考,小组交流,回答下列问题.
问题1:使二次根式在实数范围内有意义的m的取值范围是　　　　.
分析:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.
解:由m-2≥0,得m≥2.∴当m≥2时,在实数范围内有意义.
问题2:使式子在实数范围内有意义的a的取值范围是　　　　.
分析:若二次根式为分母时,应同时考虑分母不为零.
解:由a-1≥0,得a≥1.
又∵为分母,∴≠0.
∴a-1≠0,即a≠1.
∴当a>1时,在实数范围内有意义.
总结　二次根式中字母的取值范围的依据:
(1)形如的二次根式有意义的条件:m≥0.
(2)二次根式作为分式的分母时,如有意义的条件:m>0.
探究3　二次根式的性质
观察下列式子,你发现了什么 学生思考,小组交流讨论.
=6;×=6;=;=;=;=.
问题1:你有什么猜想
解:=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0).
问题2:根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证一下吧.(结果精确到0.000 1)
(1)=　　　　,×=　　　　;(2)=　　　　,=　　　　.
解:(1)6.480 7　6.480 7　(2)0.925 8　0.925 8
验证猜想:=×,=.
总结　二次根式的性质:
(1)积的算术平方根等于算术平方根的积;(2)商的算术平方根等于算术平方根的商.
=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0).
探究4　最简二次根式
问题:化简下列二次根式.
(1);　(2);　(3).
解:(1)=×=9×8=72.
(2)=×=5.
(3)==.
交流:观察化简结果5,,这些数有什么特点呢
解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.
小结　最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
设计意图:引领学生自主探索二次根式的性质,从特殊数入手,希望学生获得一定的感性经验,再进一步强化这样的经验和猜测,最后经由学生交流,总结、归纳出二次根式的性质.
典例精讲
例1　化简:
(1);　(2);　(3).
解:(1)=×=9×8=72.
(2)=×=5.
(3)==.
例2　化简:
(1);　(2);　(3).
解:(1)==×=5.
(2)===.
(3)==.
设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的概念、性质和熟练掌握将二次根式化为最简二次根式.
巩固训练
1.下列各式是最简二次根式的是(　C　)
A.　　　　　　　B.　　　　　　　C.　　　　　　　D.
2.下列各式正确的是(　B　)
A.=· B.=×
C.=× D.=
3.填空.
(1)使式子有意义的a的取值范围为　1(2)已知+=0,则xy的值为　-6　.
(3)当x=　-　时,+6有最小值,最小值为　6　.
4.化简:(1);　(2);　(3).
解:(1)==.
(2)====.
(3)=×=2×6=12.
设计意图:让学生在练习中联系相关知识分析、说明解决问题的想法,获得成功的体验;考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.
课堂小结
1.二次根式的概念是什么 怎样判断一个式子是否是二次根式
2.二次根式具有怎样的性质
3.怎样把一个二次根式化简成最简二次根式
设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.
相关练习.
1.教材第43页习题2.9第1,2,3题.
2.相关练习.
第1课时　二次根式及其性质
　　　　　　1.二次根式定义.
2.二次根式性质.
3.最简二次根式.
4.练习.
教学反思
第2课时　二次根式的运算
课时目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些运算法则、运算律在实数范围内正确计算,培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识,培养学生合作交流、合情推理和表达的能力.
学习重点
掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
学习难点
会用二次根式的四则运算法则解决简单的数学问题.
课时活动设计
回顾复习
1.二次根式有什么特征
2.求使在实数范围内有意义的x的取值范围.
3.二次根式的性质是什么
4.什么叫最简二次根式
设计意图:通过回答二次根式的特征、求二次根式中字母的取值范围以及最简二次根式的定义等问题,学生对所学知识进行回顾与复习,重点让学生复习回顾二次根式的性质,为本节课的学习打下基础.
问题导入
思考:长方形的面积是,它的长是,宽是多少
教师追问:该怎么计算呢
提示:根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题.
设计意图:通过思考问题,引出二次根式的除法,从而切入正课:如何进行二次根式的运算.
探究新知
探究1　同类二次根式
教师提出问题,学生思考,小组交流,最后总结.
化简下列二次根式,观察他们的特点,并进行分类:
; ; ; ; ; .
解:分别化简为2; 3; 4; ; ; 2.
分成两组:一组是2,3,,;另一组是4,2.
问题:这样分类的依据是什么呢
解:将二次根式中带有相同根式的分为一组,如第一组中都含有,第二组中都含有.
小结:化简后,被开方数相同的二次根式被称为同类二次根式.
探究2　二次根式的乘除运算
根据二次根式的性质,等号的左边与右边对换,就能得到二次根式的乘法法则和除法法则.
二次根式的性质1:=·(a≥0,b≥0);
二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0).
二次根式的性质2:=(a≥0,b>0);
二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0).
追问:问题导入中的长方形的宽该如何计算呢
解:宽===2.
问题:从上面的运算中,你发现了什么
总结:二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0);二次根式的除法法则:
=(a≥0,b>0).
提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式.
探究3　二次根式的分母有理化
问题:是最简二次根式吗 如果不是,如何化简呢
解:不是.==.
总结:形如的式子,分子、分母同乘以,可以使分母不含根号.
思考:如何化简呢
解:==.
总结:形如的式子,分子、分母同乘以m n,构成平方差公式,可以使分母不含根号.
探究4　二次根式的加减运算
问题1:你能直接写出下列式子的结果吗
(1)3x2+4x2;(2)x2+3x2+y.
解:(1)7x2.(2)4x2+y.
问题2:类比合并同类项的方法,想想如何计算-
解:-=4-3=.
问题3:+能不能再进行计算 为什么
解:不能,因为它们都是最简二次根式,被开方数不相同,所以不能合并.
二次根式的加法、减法法则:(1)先化为最简二次根式;(2)再合并同类二次根式.
提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式.
探究5　二次根式的四则混合运算
计算下列式子,观察运算过程,你从中发现了什么
(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4);
(5)(-)×;(6).
解:(1)3×2=3×2×=6.
(2)×-5=-5=-5=6-5=1.
(3)(+1)2=()2+2+12=5+2+1=6+2.
(4)=-32=13-9=4.
(5)(-)×=×-×=-=6-1=5.
(6)=+=+=+=2+3=5.
总结:实数的运算律同样适用于二次根式,我们在进行二次根式的混合运算时,可以用到乘法交换律、结合律和分配律,也可以用到完全平方公式和平方差公式.
探究6　二次根式化简求值
化简(-)·,其中a=3,b=2.你是怎么做的
解:方法一(先代入,后化简):把a=3,b=2代入代数式中,
原式=(-)·=-=-2.
方法二(先化简,后代入):原式=·-·=-b,
把a=3,b=2代入代数式中,原式=-2.
追问:哪种方法更简便
归纳　二次根式化简求值的方法:解决二次根式的化简求值问题时,直接代入求值比较麻烦,可先化简已知条件,再用乘法公式变形,最后代入求值即可.
设计意图:给出问题,激发学生思考,小组讨论,教师引导学生从数学现象发现数学规律.通过探究中具体例题的学习,获得二次根式加减乘除运算的有关技能.
典例精讲
例1　计算:
(1)+;(2)-;(3)(+)×.
解:(1)+=+=×+=4+=5.
(2)-=-=-=.
(3)(+)×=+=+=2+3=5.
例2　已知a=,b=,求.
分析:先化简已知条件,再利用乘法公式变形,即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
解:∵a===+2,
b===-2,
∴a+b=2,ab=1,
∴====2.
设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的运算法则.
巩固训练
1.下列各式正确的是(　B　)
A.=-2 B.=2
C.3-=3 D.+=
2.填空.
(1)计算×= 　;=　18　.
(2)长方形的宽为,面积为2,则长方形的长为　2　.
(3)计算(-3)÷=　-5　.
(4)若两个最简二次根式和能够合并,则m=　5　.
3.计算:
(1)(-)×;(2)(2+)(2-);(3)×=;
(4)+-.
解:(1)(-)×=×-×=-=2-=.
(2)(2+)(2-)=22-=4-2=2.
(3)×-=3×-10=3×3-10=-1.
(4)+-=+4-=4.
设计意图:通过实时练习,学生在系统归纳整理了二次根式四则运算的相关知识的基础上,进一步加深了对二次根式四则运算法则的理解,提高学生解决问题的能力,并培养学生的应用意识.
课堂小结
1.二次根式的四则运算法则是什么
2.二次根式化简求值的方法有哪些
设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.
相关练习.
1.教材第45页习题2.10第1,2题,第48页习题2.11第1,2,3题.
2.相关练习.
第2课时　二次根式的运算
　　　　　　1.二次根式乘除法法则.
2.同类二次根式.
3.例题:
4.练习:
教学反思

展开更多......

收起↑