资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.
《标准2022》对一次函数的学习要求是:结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系,进一步发展建模意识;能用一次函数解决简单实际问题,发展应用意识.
函数的教学,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律;注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用.运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学生学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.
2.本单元教学内容分析
　 北师大版教材八年级上册第四章“一次函数”,本章包括四个小节:4.1函数;4.2一次函数与正比例函数;4.3一次函数的图象;4.4一次函数的应用.
函数学习在中学数学中占据重要地位,既是教学的重点,也是教学的难点.本章是学生第一次接触函数,是后续学习反比例函数、二次函数的基础.函数的概念和函数的图象贯穿整个函数的教学,是学习函数的重点,同时函数概念中体现出的变化与对应的思想、数形结合思想是决定函数学习是否顺利的关键.一次函数是学生接触的第一类函数,在教学中, 一般利用函数图象归纳函数性质,利用函数性质和图象来解决问题,这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法.
函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识,真正体会到函数是反映现实世界的有效数学模型.
一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,逐步掌握解决一次函数问题的技能.由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
三、单元学情分析
本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第四章一次函数,本单元是在学习了实数、平面直角坐标系的基础上学习的,学生对数形结合思想有了一定的认识,它为本章的学习作了铺垫,一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫,因此本章内容起着承上启下的作用.
本单元让学生进一步认识用图象法表示函数关系,并开始学习一类最基本的函数——一次函数.学习一次函数,意味着从常量数学进入变量数学的学习.学生的思维要随之改变,这是对学生思维能力的考验,也是对数学认识的一次飞跃.学生在学习一次函数的过程中,对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度.但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数表达式的直接应用多些,对表达式与图象间的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、多总结经验.学生在学习过程中遇到困难主要有:复杂问题情景化转移到一次函数图象;结合题意理解一次函数所表达的信息;结合题意将图象信息转换为数量关系.因此,本单元教学应注意数形结合,需要多练、多问、多总结.
四、单元学习目标
1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识.
2.经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.
3.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义.
4.能画一次函数的图象,经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识,体会数形结合的思想.
五、单元学习内容及学习方法概览
一次函数
课时划分 内容本质与研究方法
4.1　函数 通过具体的例子,归纳出函数的概念,总结出函数的三种表示方法:列表法、关系式法和图象法
4.2　一次函数与正比例函数 在理解函数概念的基础上,通过具体的例子,给出一次函数和正比例函数的概念,从代数表达式的角度认识一次函数
4.3　一次函数的图象 第1课时　正比例函数的图象与性质 通过正比例函数图象的画图过程,初步了解画函数图象的一般步骤,并借助图象概括出正比例函数的性质
第2课时　一次函数的图象与性质 通过一次函数图象的画图过程,概括出一次函数的性质
4.4　一次函数的应用 第1课时　确定一次函数的表达式 通过实例所给条件确定一次函数表达式,进而借助表达式解决一些简单问题
第2课时　借助单个一次函数图象解决有关问题 通过观察、分析一次函数图象获取有用的信息,并据此逐步解决有关问题
第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 通过观察、分析所给的两个一次函数图象,了解两个一次函数图象交点的实际意义,不同的k与b的意义及其比较,进而解决相关问题
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历从具体实例中抽象出函数概念的过程,进一步感悟抽象的数学思想,积累抽象概括的活动经验.
2.初步理解函数的概念,能判断两个变量间的关系是不是函数关系,初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识.
3.了解函数的三种表示方法.
学习重点
掌握函数概念;会判断两个变量之间的关系是否可以看作函数.
学习难点
能把实际问题抽象概括成函数问题.
课时活动设计
情境引入
2020年6月23日我国北斗三号卫星最后一颗卫星发射成功,下面我们来回顾一下这个激动人心的时刻.
播放北斗三号发射视频.
师:在北斗三号飞行的过程中,我们将时刻关注北斗三号离地面的距离随时间的变化是如何变化的
数学上可以用函数来描述这种运动变化中的数量关系.
设计意图:通过引入生活实例,激发学生的研究热情.
探究新知
问题1:游乐园中的摩天轮
如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的
右上图反映了旋转时间t(min)与摩天轮上一点的高度h(m)之间的关系.
教师引导学生观察日常生活中的其他运动变化过程,以体会变量之间的相互关系.
(1)根据右上图进行填表:
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m 　3　 14　 36　 47　 36　 14　 …
(2)对于给定的时间t,相应的高度h能确定吗
解:(2)对于给定的时间t,相应的高度h也随之确定.
问题2:圆柱形物体的堆放层数与物体总数的关系
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放,随着层数的增加,物体的总数是如何变化的
填写下表:
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y 　1 　3 　6 10 15 …
问题3:一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273, T≥0.
(1)当t分别为-43℃, -27℃, 0℃, 18℃时,相应的热力学温度T是多少
(2)给定一个大于-273℃的t值,你都能求出相应的T值吗
教师提示此题自变量的取值不仅可以是正数,也可以是零或负数,从而使学生对变量的取值范围有更全面的认识,引导学生举出更多的实例,来加深对函数的认识.
解:(1)当t分别为-43℃, -27℃, 0℃, 18℃时,相应的热力学温度T是230K,246K,273K,291K;
(2)能.
议一议:
在上面我们研究了三个问题.下面大家探讨一下,在这三个问题中的共同点是什么 不同点又是什么
相同点:这三个问题中都研究了两个变量.
不同点:在第一个问题中,是以图象的形式表示两个变量之间的关系;在第二个问题中,是以表格的形式表示两个变量间的关系;在第三个问题中,是以关系式来表示两个变量间的关系的.
通过对这三个问题的研究,明确“给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性.
函数的概念:
在上面各例中,都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定另一个变量的值.
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
归纳出函数概念后,留几分钟时间给学生消化理解概念,并让学生提出自己的不理解的地方,教师再提出:
(1)你能找到上面问题中的自变量和因变量吗
(2)你能举出生活中是函数的例子吗
(3)你是怎样理解“确定”这两个字的含义的
学生分组讨论,交流以后,教师点评.
理解函数概念应把握三点:
(1)一个变化过程;(2)两个变量;(3)对于一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一的值与它对应,即这是一种对应关系.
判断两个变量是否具有函数关系就以这三点为依据.
想一想:
上述问题中,自变量能取哪些值
问题1中t≥0;问题2中自变量n>0的整数;问题3中自变量t为任意实数.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
设计意图:通过上面问题的展示,小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点,归纳总结重点.从具体实例中得出函数的概念,进一步感悟抽象的数学思维.
典例精讲
例　下列各题中分别有几个变量 你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗 若能,请指出自变量的取值范围.
(1)
(2)在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍滑行了s m,一般地,有经验公式s=,其中v表示刹车前汽车的速度(单位:km/h).
(3)在国内投寄到外埠质量为100 g以内的普通信函应付邮资如下表:
信件质量m/g 0邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00
解:(1)可将温度看成时间(可用字母t表示)的函数,时间t的取值范围:0≤t≤24.
(2)可将s看成v的函数,v的取值范围:v≥0.
(3)可将y看成m的函数,m的取值范围:0设计意图:通过实例巩固函数的概念.
巩固训练
1.下列两个变量之间不存在函数关系的是(　C　)
A.圆的面积S与半径r之间的关系
B.某地一天的温度T与时间t之间的关系
C.某班学生的身高y与这个班学生的学号x之间的关系
D.一个正数b的平方根a与这个正数b之间的关系
2.海拔高度h(km)与此高度处气温t(℃)之间的关系如下表所示:
海拔高度h/km 0 1 2 3 4 5 …
气温t/℃ 20 14 8 2 -4 -10 …
下列说法错误的是(　C　)
A.其中h是自变量,t是因变量
B.海拔越高,气温越低
C.气温t与海拔高度h的关系式为t=20-5h
D.当海拔高度为8 km时,其气温是-28 ℃
设计意图:通过巩固训练,进一步加深学生对函数概念及自变量取值范围的理解.
课堂小结
1.初步掌握函数的概念,能判断两个变量间的关系是否看作函数.
2.在一个函数关系式中,给定自变量的值,能相应地求出函数的值.
3.函数的三种表示方法:(1)图象法;(2)列表法;(3)关系式法.
设计意图:课堂小结不仅仅是总结知识,更是数学方法的小结,是高层次的自我认识过程,帮助学生自行建构知识体系,形成学习能力.
相关练习.
1.教材第77,78页习题4.1第1,2,4题.
2.相关练习.
4.1　函数
　　1.函数的概念:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们就称y是x的函数.其中x是自变量.
2.表示函数的方法:列表法、关系式法和图象法.
教学反思

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