资源简介

第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题
课时目标
1.进一步培养学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题.
2.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维.
3.在解决实际问题的过程中,进一步发展学生分析问题、解决问题的能力和数学应用意识.
4.在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣.
学习重点
培养学生的识图能力,能通过函数图象获取信息.
学习难点
通过函数图象发展学生的分析问题、解决问题的能力.
课时活动设计
回顾引入
1.如何分析函数的图象信息
(1)理解横、纵坐标分别表示的的实际意义;
(2)分析已知,通过作x轴或y轴的垂线,在图象上找到对应的点,由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值;
(3)利用数形结合的思想:
某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x(时)的变化情况如图所示:
(1)服药后　2　时,血液中含药量最高,达到每毫升　6　毫克,接着逐步衰弱.
(2)服药后5时,血液中含药量为每毫升　3　毫克.
(3)当x≤2时,y与x之间的函数表达式是　y=3x　.
(4)如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时,治疗疾病最有效,那么吃药后　1　小时能发挥最佳药效.
设计意图:通过与上一课时相似的问题,回顾旧知,导入新知学习,让学生在问题中巩固知识,体会数学的实际应用性.
探究新知
如图,直线l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,直线l2反映了该公司产品销售成本与销售量的关系,根据图象完成填空.
(1)当销售量为2t时,销售收入=　2 000　元,销售成本=　3 000　元.
(2)当销售量为6t时,销售收入=　6 000　元,销售成本=　5 000　元.
(3)当销售量为　4t　时,销售收入等于销售成本.
(4)当销售量　大于4t　时,该公司赢利(收入大于成本);当销售量　小于4t　时,该公司亏损(收入小于成本).
(5)l1对应的函数表达式是什么 l2对应的函数表达式是什么 .
分析:l1的图象过原点,表达式设为y=k1x,解这个方程只需再找一个点的坐标即可.l2表达式设为y=k2x+b2,解这个方程需要两个点的坐标,从图上可知所需坐标点.
解:设l1的表达式为y=k1x,由图可知,图象过点(4,4 000),代入,得4 000=4k1,解得k1=1 000,所以表达式为y=1 000x.
设l2的表达式为y=k2x+b2,由图可知,图象过点(0,2 000),(4,4 000),代入,
得2 000=b2,4 000=4k2+b2,解得k2=500,所以表达式为y=500x+2 000.
想一想:
上题中,l1对应的一次函数y=k1x+b1中,k1和b1的实际意义各是什么 l2对应的一次函数y=k2x+b2中,k2和b2的实际意义各是什么
解:l1中,k1=1 000,b1=0,k1表示的是每销售1吨,销售收入是1 000元,b1表示未销售时,销售收入为0;
l2中,k2=500,b2=2 000,k2表示的是销售量每增加1吨,销售成本增加500元,b2表示未销售时,为销售所花的成本是2 000元.
设计意图:此探究活动培养了学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透了数形结合的思想,同时发展学生的数学应用能力.使学生进一步认识到,k与b在实际问题中有特定的含义,这有助于帮助学生从图象上看出k,b的值,也为学生结合k,b的实际意义确定函数表达式奠定基础.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考,然后再小组交流探讨.
教师板书一道例题书写过程,其余题目可由学生代表板书完成,最终教师展示答题过程.
例　我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追赶(如图2).图1中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系.
图1　　　　图2
根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系
(2)A,B哪个速度快
(3)15 min内B能否追上A
(4)如果一直追下去,那么B能否追上A
(5)当A逃到离海岸12 n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截
(6)l1与l2对应的两个一次函数s=k1t+b1与s=k2t+b2中,k1,k2的实际意义各是什么 可疑船只A与快艇B的速度各是多少
解:(1)当t=0时,B距海岸0 n mile,即s=0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.
(2)t从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min内,A行驶了2 n mile,B行驶了5 n mile,所以B的速度快.
(3)如图3,延长l1,l2,可以看出,当t=15时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,15 min时B尚未追上A.
图3
(4)如图4,延长l1,l2相交于点P.
因此,如果一直追下去,那么B一定能追上A.
图4
(5)从图5中可以看出,l1与l2交点P的纵坐标小于12,这说明在A逃入公海前,B能够追上A.
图5
(6)k1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2 n mile/min,快艇B的速度是0.5 n mile/min.
想一想:你能用其他方法解决例题吗
设计意图:进一步培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识,通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力,加强学生运用一次函数的图象分析、解决问题,鼓励学生运用多种方法解决问题,提高学生的做题能力.
巩固训练
1.小敏从A地出发向B地行走,同时小聪从B地出发向A地行走,如图所示,相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系,则小敏、小聪行走的速度分别是(　D　)
A.3 km/h和4 km/h　　　　　　B.3 km/h和3 km/h
C.4 km/h和4 km/h D.4 km/h和3 km/h
2.两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由甲地到乙地,他们的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示.已知甲、乙两地的距离是120 km,请根据图象回答下列问题.
(1)谁先出发的 早多少时间
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少
(3)骑自行车者出发后经过几个小时后,两人相遇
(4)在什么时间范围内,骑自行车者在骑摩托车者前面 在什么时间范围内,骑摩托车者在自行车者前面
解:(1)观察图象可以看出骑自行车者出发早,早3小时.
(2)由图象知,自行车行驶120 km耗时8小时,所以速度是120÷8=15(km/h).
摩托车行驶120 km耗时(5-3)=2小时.所以速度是120÷2=60(km/h).
(3)因为两图象交点的横坐标为4,所以4小时后两人相遇.
(4)由图象知,当时间在0~4小时内,骑自行车者在骑摩托车者前面;当时间在4~8小时内,骑摩托车者在骑自行车者前面.
设计意图:通过练习,学生可以更好地运用一次函数图象来解决问题,进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力.
课堂小结
今天我们学习的内容是什么
设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
相关练习.
1.教材第95,96页习题4.7第1,2,3题.
2.相关练习.
教学反思

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