资源简介

第2课时　公理、定理和证明
课时目标
1.了解真命题的证明,通过实例感受证明的过程与格式.
2.初步感受公理化思想,并了解本套教科书所采用的基本事实.
3.阅读有关《原本》和公理化的资料,感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.
学习重点
了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的基本事实.
学习难点
体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性.
课时活动设计
复习回顾
1.回忆我们上次学习到了哪些知识
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
判断一件事情的句子,叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.
2.举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢
设计意图:开门见山,引导学生回忆命题引出下面活动.
情境引入
公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得(公元前300年前后)编写了一本书,书名叫做《原本》.为了说明每一结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.除了公理外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
已学的八条基本事实有:
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行).
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
此外,数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据,称为“等量代换”.又如,如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
设计意图:经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的基本事实,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念.培养学生的语言表达能力.
探究新知
定理证明
学生组内合作,互相交流完成下面问题,教师及时指导,规范学生证明过程的书写.
1.定理:同角的补角相等.
已知:∠B和∠C是∠A的补角,
求证:∠B=∠C.
证明:∵∠B和∠C是∠A的补角,
∴∠B=180°-∠A,∠C=180°-∠A.
∴∠B=∠C(等量代换).
∴同角的补角相等.
2.定理:同角的余角相等.
已知:∠B和∠C是∠A的余角,
求证:∠B=∠C.
证明:∵∠B和∠C是∠A的余角,
∴∠B=90°-∠A,∠C=90°-∠A.
∴∠B=∠C(等量代换).
∴同角的余角相等.
设计意图:通过学生合作交流,培养了学生互助交流的意识;让学生初步感受证明推理的过程,体会证明的思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.
典例精讲
例　已知:如图,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证:∠AOC=∠BOD.
证明:∵直线AB与直线CD相交于点O,
∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC=∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
由例题得到定理:对顶角相等.
设计意图:让学生进一步体会证明的思路与书写的过程.
巩固训练
已知:如图,△ABC.
求证:AB+BC>AC,BC+CA>AB,CA+AB>BC.
证明:∵AC是以点A,点C为端点的线段,
∴AB+BC>AC(两点之间线段最短).
同理BC+CA>AB,CA+AB>BC.
设计意图:让学生进一步感受证明推理的过程,体会证明思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.
课堂小结
1.公理:公认的真命题.
2.定理:经过证明的真命题.
3.证明:演绎推理的过程.
设计意图:通过回顾本节课所学的内容,加深学生对本节所学内容的理解,掌握证明推理的过程,体验数学的严谨性,培养学生反思的习惯.
相关练习.
1.教材第171页习题7.3第3,4题.
2.相关练习.
第2课时　公理、定理和证明
　　　　1.公理:公认的真命题.
2.定理:经过证明的真命题.
3.证明:演绎推理的过程.
教学反思

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