资源简介

第2课时　三角形的外角定理
课时目标
1.掌握三角形内角和定理的两个推论,并能运用这些定理解决简单的问题.
2.经历探索与证明的过程,进一步发展推理能力.
3.在一题多解、一题多变中,积累解决几何问题的经验,提升解决问题的能力.
学习重点
了解三角形外角的定义,掌握三角形外角的两个定理.
学习难点
能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.
课时活动设计
回顾复习
教师引导学生回忆前面学习过的内容,提问学生回答下面问题.
问题:三角形的内角和是多少度 三角形的内角和定理及其变式是什么
解:定理:三角形的内角和等于180°,即在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
变式:∠A=180°–(∠B+∠C),∠B+∠C=180°-∠A.
∠B=180°–(∠A+∠C),∠A+∠C=180°-∠B.
∠C=180°–(∠A+∠B),∠A+∠B=180°-∠C.
设计意图:引导学生回顾上节课学习的知识点,巩固三角形内角和定理,为本节课学习做准备.
探究新知
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的外角.
如图,∠1是△ABC的∠ABC的外角.
教师引导:想一想,一个三角形的外角应具备哪些条件呢
学生组内合作,互相交流讨论,回答教师提问.
生:角的顶点是三角形的顶点;角的一边是三角形的一边;另一边是三角形中另一边的延长线.
教师活动:结合学生回答总结归纳,三角形外角的应具备的条件:
(1)角的顶点是三角形的顶点;
(2)角的一边是三角形的一边;
(3)另一边是三角形中另一边的延长线.
设计意图:外角概念探究意义不大,所以直接明晰这一概念,通过师生互动,学生思考交流,加强学生对外角概念的理解,培养学生合作交流的意识.
探究新知
问题1:如图,延长AC到E,延长BC到D,∠BCE是不是△ABC的一个外角 ∠DCE是不是△ABC的一个外角
解:∠BCE是△ABC的一个外角,∠DCE不是△ABC的外角.
问题2:如图,∠ACD与∠BCE有什么关系 在三角形的每个顶点处有多少个外角
解:∠ACD与∠BCE为对顶角,∠ACD=∠BCE;在三角形的每个顶点处都有两个外角.
问题3:你能画出△ABC的所有外角吗
解:如图,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6都是△ABC的外角.
教师活动:结合学生标注的外角,总结:
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.
设计意图:通过其他外角进一步深化学生对外角概念的理解,为之后的有关外角的两个推论作铺垫.
探究新知
如图,∠1与其他角有什么关系 能证明你的结论吗
解:∠1+∠4=180°;∠1>∠2,∠1>∠3;∠1=∠2+∠3.
证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∠1+∠4=180°(平角的定义),
∴∠1=∠2+∠3(等量代换).
∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
教师活动:引导学生通过这一个外角的探索,总结出三角形外角的两个定理.
教师总结:三角形内角和定理的推论:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
教师活动:说明什么是定理的推论.由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
设计意图:经历探索与证明的过程,深化对三角形外角的两个定理的理解,进一步发展推理能力.
典例精讲
例1　已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),
∴∠C=∠EAC(等式的性质).
∵AD平分外角∠EAC(已知),
∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
例2　已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.
求证:∠BPC>∠A.
证明:如图,延长BP,交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义),
∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义),
∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BPC>∠A.
设计意图:通过例题讲解巩固三角形外角的两个定理,提升学生解决问题的能力.
巩固训练
1.如图,在△ABC中,∠A=45°,外角∠DCA=100°,求∠B和∠ACB的度数.
解:∵∠DCA=∠A+∠B,
∠DCA=100°,∠A=45°,
∴∠B=100°-45°=55°.
又∵∠DCA+∠ACB=180°.
∴∠ACB=180°-100°=80°.
2.如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,那么∠1,∠2,∠3的和是多少度
解:∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠ABC+∠BAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°.
设计意图:通过课堂练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.
课堂小结
设计意图:将本节课所学内容以思维导图的方式进行归纳总结,从而有助于学生理解与记忆.
相关练习.
1.教材第183页习题7.7第1,2,3,4题.
2.相关练习.
第2课时　三角形的外角定理
　　　　1.三角形外角的定义:△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的外角.
2.三角形外角应具备的条件:
(1)角的顶点是三角形的顶点;
(2)角的一边是三角形的一边;
(3)另一边是三角形中另一边的延长线.
3.三角形的外角定理:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
教学反思

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