资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“平行线的证明”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.本章内容主要是通过大量的素材,了解通过实验、观察、归纳得到的结论并不一定正确,知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道证明的过程可以有不同的表达形式,会综合法证明的格式;体会通过合情推理探索数学的结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的教学活动中,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义,会区分命题的条件与结论.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的.掌握基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性质.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行;探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补).通过平行线的判定定理和性质定理解决数学问题,提高学生解决问题的能力,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界精神.探索并证明三角形的内角和定理,掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
2.本单元教学内容分析
　 北师大版教材八年级上册第七章“平行线的证明”,本章包括五个小节:7.1为什么要证明;7.2定义与命题;7.3平行线的判定;7.4平行线的性质;7.5三角形内角和定理.
　《标准2022》在“图形的性质”的有关要求中,比较多地使用了“探索并证明……”的表述.也就是要在一定的情境中,引导学生借助已有的知识和经验,借助图形的直观,通过操作、实验,运用合情推理或图形运动等方法,探索发现图形可能具有的性质,这与单纯地给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的.两者相比,前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中,不断提高研究几何图形性质的能力,发展创新意识和创新能力.为了实现《标准2022》的这一意图,教科书选择了先分“两阶段”(探索阶段与证明阶段)后“合二为一”(边探索边证明)的处理方式:对与平行线、三角形有关的内容采取了分两个阶段学习的方式;对有关四边形、相似、圆等内容,采取了探索加证明的方式,也就是引导学生通过观察、测量、操作、实验等活动探究结论,同时对这些探究的结论进行严格的论证.这样处理,使得学生在探索阶段通过亲身探究活动,展开合情推理,不仅合情推理能力和探究发现能力得到了很好的发展,主体性也得到了充分的发挥;同时,由于探索阶段的重心放在结论的探究上,几何学习的语言的表述等难点得以分解,有利于降低几何入门教学的难度,激发学生的学习兴趣.作为正式学习证明的第一章,本章关注对证明意义的理解和对证明过程中格式规范的要求.这样做的目的是希望学生养成步步有据的习惯,形成严谨的科学态度.
三、单元学情分析
本章是证明的起始阶段,学生先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论,学生也尝试进行了一些验证和说理,基本认可这些结论,但毕竟不是证明.本章首先要让学生明确认识到,这些探究的结论需要加以证明,同时证明需要一个话语体系,为此就有了所谓的定义、命题等.其次,证明需要确定一些出发点,为此需要梳理有关结论,选择某些结论作为证明的出发点(实际上这就是构建局部的公理体系);有了这些证明的出发点,接着就依次证明一些先前探究得到的定理.在证明过程中,使学生初步掌握证明的要求和格式,认识到证明的严谨性,做到步步有据,发展合情推理能力.
四、单元学习目标
1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性,体会演绎推理的严谨性和结论的确定性,初步树立步步有据的推理意识,发展推理能力.
2.通过具体实例了解定义、命题、定理、推论的含义,会区分命题的条件和结论.
3.了解反例的作用,知道利用反例可以判定一个命题是错误的.
4.初步感受公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.
5.经历对顶角定理、两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论的证明过程,初步掌握综合法证明的格式;能利用这些定理解决简单的问题.培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
平行线的证明
课时划分 内容本质与研究方法
7.1　为什么要证明 借助大量的素材经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,感受证明的必要性,发展学生的推理意识
7.2　定义与命题 第1课时　定义与命题 通过自学互研,理解定义和命题的概念,分析区分命题的条件和结论,了解判断命题真假的方法
第2课时　公理、定理和证明 通过自主阅读了解公理、证明、定理等概念,探索命题证明的思路,感受证明的过程和格式
7.3　平行线的判定 通过学生自主证明有关定理,感受证明的过程和规范格式,发展初步的演绎推理能力
7.4　平行线的性质 通过学生自主证明有关定理,进一步理解证明的步骤、格式和方法,初步感受互逆的思维过程
7.5　三角形内角和定理 第1课时　三角形内角和定理 通过学生活动,训练理性思维,形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强几何直观能力
第2课时　三角形的外角定理 探究三角形外角的性质,发展学生几何直观能力、交流创新能力和团队合作能力
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性.
2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:实验验证、举反例验证、推理证明等,理解数学的严谨性.
3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,发展学生的推理意识.
学习重点
了解证明的意义,知道要判断一个数学结论是否正确,必须进行证明.
学习难点
会用实验验证、举出反例、推理证明等方法简单地验证一个数学结论是否正确.
课时活动设计
情境引入
通过多媒体播放视频和图片,引导学生观察,思考.通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗 我们再感受几个!
(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗 图2中的四边形是正方形吗 请你先观察,再设法检验你观察到的结论.
图1　　　　图2　　　　图3
(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝和地球赤道之间的间隙能有多大 能放进一个拳头吗 先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
学生尝试解答,教师使用多媒体展示答案.
解:画出示意图如图,
设铁丝圈的半径为R,地球的半径为r,赤道周长为C.
由题意,得R-r=-=≈0.16(m).
所以可以放一个拳头.
设计意图:由大量的现实图片引出,让学生产生视觉上的强烈冲击,激发强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性和必要性提供素材.
探究新知
教师引导学生思考下面问题.
1.代数式n2-n+11的值是质数吗 取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数 与同伴进行交流.
学生组内合作,互相讨论交流.教师通过多媒体展示成果.
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系 请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.
解:通过测量得出:
位置关系:DE∥BC;
数量关系:DE=BC.
你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗 与同伴进行交流.
教师总结:通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确.要判断一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊例子,也无法保证其正确性,要确定其正确性,必须要进行有根有据的证明.
设计意图:引导学生小组合作交流,通过第1题让学生明白,只举几个特殊例子就证明结论是正确的,这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.
在第2题中,学生通过测量得出猜想,并通过改变三角形的形状,在不同的三角形中再次得到验证,因而较为相信这个结论的正确性;但毕竟是测量结果,测量难免有误差,因此难以令人信服,还需要寻求更为可信的证明.
典例精讲
例　我们知道2×2=4,2+2=4,试问对于任意数a与b,是否一定有结论a×b=a+b
解:3×2=6,而3+2=5,6≠5,
所以不是对于任意数a与b都一定有结论a×b=a+b.
设计意图:让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识,体验了证明的必要性.通过特例我们并不能直接得到结论,可以通过举出反例的方式加以证明,培养学生的严谨意识.
巩固训练
1.当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗
解:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;
当n=2时,(n2-5n+5)2=1;
当n=3时,(n2-5n+5)2=1;
当n=4时,(n2-5n+5)2=1;
当n=5时,(n2-5n+5)2=25≠1.
∴当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值不一定都等于1.
2.当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗
解:当n=1时,n2+3n+1=5;当n=2时,n2+3n+1=11;当n=3时,n2+3n+1=19;
当n=4时,n2+3n+1=29;当n=5时,n2+3n+1=41;当n=6时,n2+3n+1=55.
因为当n=6时,n2+3n+1=55,是个合数,不是质数,所以当n为正整数时,n2+3n+1的值不一定是质数.
设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上,对现有结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性,从而对不完全归纳的合理性产生怀疑,进而认识到证明的必要性.在此过程中培养学生的运算能力、表达能力和总结能力,让学生学会用数学语言表达现实世界.
课堂小结
1.通过实验、观察、归纳得到的结论一定正确吗
2.你有哪些证明结论是否正确的方法
设计意图:通过小结让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.
相关练习.
1.教材第164页习题7.1第1,2,3题.
2.相关练习.
教学反思

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