资源简介

第1课时　角的平分线的性质
课时目标
1.经历探索角平分线性质定理的过程,体会几何直观,发展推理能力.
2.从生活经验抽象出尺规作角平分线的过程,学会用数学的眼光观察现实世界.
学习重点
探究角平分线的性质定理.
学习难点
探究并掌握角平分线的性质定理.
课时活动设计
导入新课
引导学生用量角器作出∠AOB的平分线OC.
设计意图:让学生动手操作,用量角器作角的平分线,既体会角的对称性,又为后续用尺规作角平分线作铺垫.
情境引入
问题:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.请学生讨论,并说明它的道理.
分析:如果能证明△ACD≌△ACB,那么就能证明∠DAC=∠BAC,也就能证明AE是角平分线.由题可知,△ACD和△ACB具备“边边边”的条件.
解:∵在△ACB和△ACD中,
∴△ACB≌△ACD(SSS).
∴∠BAC=∠DAC.
∴AE是角平分线.
追问:请利用角平分仪原理,用尺规作出角平分线.
已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.
先由学生尝试用尺规作出角平分线,再由教师多媒体展示:
作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N;
(2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(3)画射线OC,射线OC即为所求.
设计意图:从生活情境入手,用学过的数学知识解释生活原理,既复习了全等的知识,又引发新的思考.在教师的追问中,学生探索角平分线的尺规作图过程,培养学生的推理能力.
探究新知
问题:如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB.PD和PE有怎样的数量关系 提出你的猜想.
解:猜想:PD=PE.
学生尝试给出猜想,教师引导学生应用前面所学的全等三角形的知识对猜想进行证明.
追问:请证明你的猜想.
分析:如果能证明△POE≌△POD,那么就能证明PD=PE.由题可知,△POE和△POD具备“AAS”的条件.
证明:∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠POD=∠POE.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△PDO和△PEO中,
∴△POE≌△POD(AAS).
∴PD=PE.
教师引导:学生先独立思考,再分组合作,互相讨论交流,最后教师进行归纳总结.
归纳总结
性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言:∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
设计意图:引导学生探索角的平分线的性质,先直观猜想角平分线上的点到角两边距离的数量关系,再引导学生经历推理验证猜想,让学生感悟更理性的数学,进而抽象得出角平分线的性质定理,培养学生的抽象概括能力.
典例精讲
例1　如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等.(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)
解:如图,点P即为所求.
例2　已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证:EB=FC.
证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴EB=FC.
例3　如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC,求证:BD=DF.
证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DC=DE,∠BED=∠C=90°.
在△DCF和△DEB中,
∴△DCF≌△DEB(SAS).
∴BD=DF.
设计意图:通过设计有层次的问题,提高学生对定理的应用和理解,培养学生的应用意识.例1是熟练尺规作角平分线,例2和例3是角平分线的性质定理和全等三角形的综合应用.
巩固训练
如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)作∠B的角平分线交AC于点D;
(2)若CD=3,AB=10,求△ABD的面积.
解:(1)如图所示.
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵∠C=∠BED=90°,BD平分∠ABC,
∴DE=DC=3.
∴S△ABD=AB·DE=×10×3=15.
∴△ABD的面积为15.
设计意图:进一步巩固所学知识,提高综合运用能力.
课堂小结
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加强学生对角的平分线的性质的理解和掌握.
相关练习.
1.教材第50页练习第2题,第51页习题12.3第4,5题.
2.相关练习.
第1课时　角平分线的性质
　　　角的平分线的性质
教学反思

展开更多......

收起↑