资源简介

第2课时　角平分线的判定
课时目标
1.经历探索角平分线判定定理的过程,体会几何直观,发展学生的推理能力.
2.应用角的平分线的性质定理和判定定理解决数学问题,发展学生的模型观念.
学习重点
探究角平分线的判定定理.
学习难点
角平分线的性质定理和判定定理的准确应用.
课时活动设计
复习回顾
问题:说说角平分线的性质定理.
解:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
追问:交换角的平分线的性质定理中的(已知)和结论,你能得到什么结论 请根据内容,画出图形,猜想这个新结论是否正确.
设计意图:复分线的性质定理后顺势提出新的问题,引导学生交换命题的条件和结论,探索新命题是否正确,在此过程中,发展学生的逆向思维及推理能力.
探究新知
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.
分析:如果能证明△POE≌△POD,那么就能证明∠AOC=∠BOC,也就能证明点P在∠AOB的平分线上.由题可知,Rt△POE和Rt△POD具备“HL”的条件.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△POD和Rt△POE中,
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL).
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线上.
学生先独立思考,尝试给予证明,教师及时指导,共同完成证明过程.最后教师进行总结归纳,给出角的平分线的判定定理.
判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
符号语言:∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.
设计意图:引导学生探索角的平分线的判定定理,先直观猜想角的内部到角两边距离相等的点的位置,再引导学生经历推理验证猜想,让学生感悟更理性的数学,进而抽象得出角平分线的判定定理,培养学生的抽象概括能力.
典例精讲
例　如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等,并且离公路与铁路交叉处500 m,这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置,比例尺为
1：20 000)
解:如图所示.
设集贸市场距离交点Ox m,则=,
解得x=0.025,
∵0.025 m=2.5 cm.
∴OP=2.5 cm.
点P即为所求.
设计意图:学以致用,学生运用所学知识解决实际问题,培养应用意识.
拓展应用
问题:让学生分别画出三角形三个内角的平分线,并说说发现了什么
解:三角形的三个内角的平分线交于一点.
已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点O.求证:(1)点O到三边AB,BC,CA的距离相等;(2)三角形的三个内角的平分线交于一点.
证明:(1)如图,过点O作OD,OE,OF分别垂直于三边AB,BC,CA,垂足为D,E,F.
∵BM为△ABC的角平分线,点O在BM上,
∴OD=OE.(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)
同理可证OF=OE.
∴OD=OE=OF.
即点O到三边AB,BC,CA的距离相等.
(2)由于点O在∠A的内部,而且OD=OF,所以点O在∠A的平分线上.这说明三角形的三条角平分线交于一点.
设计意图:学生动手作图,发现三角形的三条角平分线相交于一点,并推理得出结论:这点到三边的距离相等.既培养了学生的几何直观,又发展了学生的推理能力,为后续理解三角形的内心奠定基础.
巩固训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
(2)若△ABC的周长为30,求△ABC的面积.
解:(1)如图,过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,垂足分别为E,F,
∵AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,OM⊥AC,OM=4,
∴OE=OF=OM=4.
∵OE+OF+OM=4+4+4=12.
∴点O到△ABC三边的距离和为12.
(2)如图,连接OC.
∵△ABC的周长为30,
∴AB+AC+BC=30.
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
=OE·AB+OM·AC+OF·BC
=×4AB+×4AC+×4BC
=2AB+2AC+2BC
=2(AB+AC+BC)
=2×30
=60.
2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,求∠BOC的度数.
解:∵O到三角形三边距离相等,
∴O是三条角平分线交点,AO,BO,CO都是角平分线,
∴∠CBO=∠ABO=∠ABC,∠BCO=∠ACO=∠ACB.
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°.
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-70°=110°.
∴∠BOC的度数为110°.
设计意图:通过设计有层次的问题,提高学生对定理的应用和理解,培养学生的应用意识.
课堂小结
通过这节课的学习,你有什么收获 与同伴交流一下.
设置意图:以提问的方式让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.
相关练习.
1.教材第51,52页习题12.3第3,7题.
2.相关练习.
第2课时　角的平分线的判定
　　　1.判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2.三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
教学反思

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