资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“二元一次方程组”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,它们是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.
方程与不等式的教学应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念.要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑的表达与交流的能力.让学生感受数学在实际生活中的应用,体会数学的价值,欣赏并尝试创造数学美,养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯.
二元一次方程组是方程组中最基础、最简单的类型,起到了承上启下的作用.它为现实生活中涉及多个未知数的问题建立了数学模型,是一元一次方程的再发展,是线性方程组的基础,它对于解含有多个未知数的问题很有效.通过对二元一次方程组的学习,学生不但可以了解一元问题,而且可以提高对多元问题的认识.特别强调“方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”,既是学习的出发点,又是学习的落脚点,既是重点也是难点,引导学生从身边的问题进行研究,了解方程组的作用,更加系统和全面地反映出方程组来自实际又服务于实际.
2.本单元教学内容分析
　 北师大版教材八年级上册第五章“二元一次方程组”,本章包括八个小节:5.1认识二元一次方程组;5.2求解二元一次方程组;5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼;5.4应用二元一次方程组——增收节支;5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数;5.6二元一次方程与一次函数;5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式;*5.8 三元一次方程组.
《标准2022》在“方程与不等式”中要求能根据具体问题中的数量关系列出方程;理解方程的意义;认识方程的解的意义;经历估计方程的解的过程;掌握等式的基本性质,能运用等式的基本性质进行等式的变形;能根据等式的基本性质解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程;能根据二元一次方程组的特征选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;能解简单的三元一次方程组.
本章与一元一次方程类似,强调模型思想,关注知识的形成与应用过程.为此,教材在设计上继续遵循“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式,首先通过具体问题情境建立有关方程,并归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念,然后探索其各种解法,并在实际情境中加以应用,切实提高学生的应用意识和能力.此外,教材应注意加强知识间的联系,特别是与一次函数的联系.事实上,一次函数与二元一次方程密切相关,只不过各自侧重点不同而已.因此,可以从函数图像上理解二元一次方程,解二元一次方程组的解,同时,一次函数表达式的确定是基于两个条件,具体求解时又要利用二元一次方程组.学生通过思考与操作,揭示二元一次方程与一次函数之间的联系,建立起二元一次方程与一次函数的图像之间的对应关系,发展学生的几何直观.
三、单元学情分析
本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第五章二元一次方程组,学生在前面已经学习了代数式、方程、一元一次方程,初步感受了方程的模型作用,并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.在此基础上,本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等,它是一元一次方程的继续和发展,同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础.代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法,其本质是“消元”,“消元”体现了数学学习和研究中化未知为已知的化归思想,在未来学习多元方程组、多元函数的条件最值等知识时具有广泛的应用.在解方程与应用中,也应更多的关注学生的建模过程,关注学生能否顺利的列出正确的二元一次方程组,引导学生思考列方程组时如何寻求等量关系,丰富学生解决实际问题的一般性策略.本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想,感受代数方法的优越性,同时也有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识.
四、单元学习目标
1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,提高灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识.
2.了解二元一次方程(组)的有关概念,会解简单的二元一次方程组;能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程(组),解决简单的实际问题,并能检验解的合理性.
3.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系,会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
4.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元”思想,从而初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.
五、单元学习内容及学习方法概览
二元一次方程组
课时划分 内容本质与研究方法
5.1　认识二元一次方程组 通过丰富实例,建立二元一次方程和二元一次方程组,观察,归纳出有关概念,体会方程的模型思想
5.2　求解二元一次方程组 第1课时　代入消元法 通过具体情境,感受代入消元法,利用例题巩固代入消元法,初步体会化归思想
第2课时　加减消元法 通过方程本身特点感受加减消元法,利用例题巩固加减消元法,进一步体会化归思想
5.3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼 通过鸡兔同笼问题培养学生列方程(组)解决实际问题的意识和能力,体会方程(组)模型,发展模型思想和应用意识
5.4　应用二元一次方程组——增收节支 通过列方程组解决实际问题的过程,让学生进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效数学模型,发展模型思想和应用意识
5.5　应用二元一次方程组—— 里程碑上的数 通过列方程组解决实际问题,让学生进一步体会模型思想,发展应用意识
5.6　二元一次方程与一次函数 通过对二元一次方程和一次函数的关系的揭示,建立方程和函数的联系,体会数形结合思想,发展几何直观
5.7　用二元一次方程组确定一次 函数表达式 通过待定系数法,利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
*5.8　三元一次方程组 通过对三元一次方程组解法的探索,进一步体会化归思想,通过解三元一次方程组,进一步体会“消元”的思想
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.理解并掌握二元一次方程,二元一次方程组及其解等概念,并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
2.通过对实际问题的分析,进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型.
3.通过大量的情境问题,加深对二元一次方程(组)的理解,增强学生的数学应用意识.
4.认识到数学与实际生活息息相关,激发学生学习数学的兴趣.
学习重点
理解并掌握二元一次方程(组)及其解的有关概念.
学习难点
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解,培养学生良好的数学应用意识.
课时活动设计
情境引入
通过情境设置,让学生对学习内容更加感兴趣.
情境一:出示情境图.
提出问题:它们各自驮了多少个包裹
情境二:出示情境图.
提出问题:他们到底去了几个成人、几个儿童呢
设计意图:通过两个情境问题,激发学生兴趣,引发学生思考,从而引出本节课将要学习的内容.
探究新知
前面的两个问题能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢
问题1　分析:老牛驮的包裹-小马驮的包裹=2,老牛驮的包裹+1=(小马驮的包裹-1)×2.
解:设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.
依据题意,得x-y=2,x+1=2(y-1).
问题2　分析:成人人数+儿童人数=8,成人的门票钱+儿童的门票钱=34.
解:设他们中有x个成人,y个儿童.
依据题意,得x+y=8,5x+3y=34.
想一想:上面我们列出的方程有什么特点呢
教师活动:通过对具体方程的特点进行分析,归纳二元一次方程的概念.
总结:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
设计意图:1.通过教学活动1的两个情境问题,列出对应的二元一次方程,为接下来总结归纳得出二元一次方程的概念打下基础.2.对比所列出的方程的共同特征,总结归纳得出二元一次方程的概念,培养学生发现问题和解决问题的能力.
典例精讲
例　判断下列方程是不是二元一次方程
(1)x+y=11;(2)m+1=2;(3)x2+y=5;(4)3x-π=11;
(5)-5x=4y+2;(6)7+a=2b+11c;(7)x-=2;(8)4xy+5=0.
解:(1)(5)是二元一次方程,(2)(3)(4)(6)(7)(8)不是二元一次方程.
设计意图:通过例题的讲解,让学生知道判断二元一次方程的条件,巩固对二元一次方程的概念的理解.
探究新知
教师提出问题,学生思考交流并总结.
探究1　方程x+y=8和5x+3y=34中,x所代表的对象相同吗 y呢
分析:两个方程中的x所代表的都是成人人数,y所代表的都是儿童人数,因而x,y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34,把它们联立起来,得
总结　二元一次方程组的概念:像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
探究2　(1)x=6,y=2适合方程x+y=8吗 x=5,y=3呢 x=4,y=4呢 你还能找到其他x,y的值适合方程x+y=8吗
解:这三组x,y的值均适合x+y=8,且还能找到无数多组x,y的值适合x+y=8.
(2)x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗 x=2,y=8呢
解:这两组x,y的值均适合5x+3y=34,且还能找到无数多组x,y的值的适合5x+3y=34.
总结　二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
注意:一般情况下二元一次方程的解的个数有无数多个.
(3)你能找到一组x,y的值同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗
解:x=5,y=3既适合方程x+y=8,又适合方程5x+3y=34,也就是说x=5,y=3既是方程x+y=8的一个解,也是方程5x+3y=34的一个解.
总结　二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
设计意图:让学生经历合作探究的过程,通过观察、思考、归纳得出二元一次方程组、二元一次方程(组)的解的概念,培养学生发现问题,解决问题和归纳概括的能力.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考、解答,然后再小组交流探讨,如遇到有困难的学生教师可进行适当点拨,最终在黑板上展示答题过程.
例1　二元一次方程x-3y=1的整数解可能是　　　　.
解:(答案不唯一,合理即可)
例2　判断下列方程组是不是二元一次方程组,并说明理由.
(1)　(2)　(3)　(4)
(5)
解:(1)不是.理由:第一个方程含未知数的项xy的次数不是1;(2)不是.理由:第二个方程不是整式方程;(3)不是.理由:方程组中共有3个未知数;(4)是.理由:方程组中共有2个未知数,且两个方程都是一次方程;(5)是.理由:方程组中共有2个未知数,且两个方程都是一次方程.
设计意图:1.通过判断二元一次方程组的解,梳理确定二元一次方程组的解的方法,旨在提高学生的计算能力.2.通过判断五个方程组的情况,加深学生对二元一次方程组的概念的理解.
归纳总结
1.含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
2.判断一个方程是否是二元一次方程必须满足以下条件:
(1)有且只有两个未知数;
(2)含有未知数的项的次数都是1;
(3)方程的左右两边都必须是等式.
3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
4.共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
5.判断一个方程组是否为二元一次方程组必须满足以下条件:
(1)方程组中有且只有两个未知数;
(2)方程组中含有未知数的项的次数为1;
(3)方程组中每个方程均为整式方程.
6.二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
设计意图:通过归纳总结,有效帮助学生梳理思路,促进对新知识的理解和吸收.
巩固训练
1.下列方程是二元一次方程的是(　C　)
A.3x+5=8　　　　B.π+3x=10　　　　C.3x+7y=20　　　　D.5xy=2
2.判断下列方程组是不是二元一次方程组
(1)　　　(2)　　　(3)　　(4)
解:(1)(3)是二元一次方程组,(2)(4)不是二元一次方程组.
设计意图:巩固本节课所学知识,发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂小结
1.二元一次方程、二元一次方程组的概念.
2.二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
相关练习.
1.教材第106页习题5.1第1,2,3,4题.
2.相关练习.
教学反思

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