资源简介

第1课时　代入消元法
课时目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想,初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
学习重点
理解和掌握用代入消元法解二元一次方程组.
学习难点
在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
课时活动设计
回顾引入
教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题,想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.
通过设他们中有x个成人,y个儿童,我们得到了方程组那么成人和儿童到底去了多少人呢
在上一节中,我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解,得知这个解既是方程x+y=8的解,也是方程5x+3y=34的解,根据二元一次方程组的解的概念,得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.
问题:每一个二元一次方程的解都有无数多个,而方程组的解是方程组中各个方程的公共解,前面的方法中我们找到了这个公共解,但如果数据不巧,这可没那么容易,那么,有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢
设计意图:培养学生养成时时回顾已学知识的习惯,并在回顾的过程中学会思考和质疑,通过质疑,自然地引出我们要研究和解决的问题.
知识回顾
用一元一次方程解决问题.
回顾七年级第一学期学习的一元一次方程,你是不是也曾碰到过类似的问题,能否利用一元一次方程求解该问题
学生独立思考解决,教师注意指导学生规范表达.
解:设去了x个成人,则去了(8-x)个儿童.
根据题意,得5x+3(8-x)=34,解得x=5.
将x=5代入8-x,解得8-5=3.
答:去了5个成人,3个儿童.
设计意图:复习应用一元一次方程解题,为本节课的学习做准备.
探究新知
探究1　比较二元一次方程组与一元一次方程
问题:列二元一次方程组和列一元一次方程在设未知数上有何不同 列出的一元一次方程和二次一次方程组又有何联系
先让学生独立思考,然后在充分思考的前提下,进行小组讨论,并在此基础上由学生代表回答,教师适时地引导与补充,让学生能通过观察、思考与讨论得出以下要点.
解:列二元一次方程组需要设两个未知数:x个成人和y个儿童.列一元一次方程只用设一个未知数:x个成人,儿童的个数则是用总人数减去成人的个数,得出(8-x)个.因此y应该等于8-x.而根据等式的性质,二元一次方程组中的一个方程x+y=8也可以推出y=8-x.
探究2　二元一次方程组与一元一次方程的转换
我们发现一元一次方程5x+3(8-x)=34与二元一次方程组中的第二个方程5x+3y=34类似,只需把5x+3y=34中的“y”用“8-x”代替,就转化成了一元一次方程.
引导学生发现新旧知识之间的联系,寻求解决新问题的方法,即将新知识(二元一次方程组)转化为旧知识(一元一次方程).
探究3　用二元一次方程组解决问题
上一节我们就已经知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量,所以将方程组中的①变形,得y=8-x③,我们把y=8-x代入方程②,即将②中的y用(8-x)代替,得5x+3(8-x)=34,从而达到化“二元”为“一元”的目的.
教师小结:同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想,可以通过它使问题得到完美解决.下面我们来完整地求解这个二元一次方程组.
教师把解答的详细过程板书在黑板上,并要求学生一起完成.
解:由①,得y=8-x.③
将③代入②,得5x+3(8-x)=34.
解得x=5.
把x=5代入③,得y=8-5=3.
所以原方程组的解为
再进行检验,即把求出的解代入原方程组时,代入的解必然使原方程组中的每个方程都同时成立,若不成立,则可知解有误.试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”问题.
注意:让学生自己完成,并请两个学生在黑板上规范地板书过程,教师巡视.若发现学生的闪光点,则给予表扬;若发现存在的问题,则适时辅导.
设计意图:通过对比、思考、发现,让学生惊喜地发现“温故而知新”,将新知融入旧知,使学生在解答的过程中领会“化归”的数学思想,培养学生独立获取知识的能力.
归纳总结
教师根据学生实际情况进行师与生、生与生之间的相互补充与评价,并提出以下问题:
(1)给这种解方程组的方法取个什么名字好
(2)上面解方程组的基本思路是什么
(3)主要步骤有哪些
(4)观察例题的解法会发现,在解方程组之前,首先要观察方程组中未知数的特点,尽可能地选择变形后较简单和代入后化简比较容易的方程变形,这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形比较好呢
学生分组讨论,教师深入参与到学生讨论中,发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法,请学生小组的代表回答或学生举手回答,其余学生可以补充,力求让学生能够回答出以下要点.
教师板书要点,在学生回答时注意进行积极评价.
(1)将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
(2)解二元一次方程组的基本思路是“消元”,把“二元”变为“一元”.
(3)解上述方程组的步骤:
第一步:在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程,将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步:把此代数式代入没有变形的另一个方程中,可得一个一元一次方程.
第三步:解这个一元一次方程,得到一个未知数的值.
第四步:把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)中,求得另一个未知数的值.
第五步:检验(在草稿纸上口算或笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
第六步:把方程组的解表示出来.
(4)用“代入消元法”解二元一次方程组时,尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形;若两个未知数的系数的绝对值都不是1,则选取系数的绝对值较小的方程进行变形.
设计意图:进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路,熟练掌握解二元一次方程组的基本步骤和过程,并能对二元一次方程组的解进行检验.
典例精讲
例　解下列方程组:
(1)(2)
解:(1)将②代入①,得3(y+3)+2y=14.
解得y=1.
把y=1代入②,得x=4.
经检验,x=4,y=1适合原方程组.
所以原方程组的解是
(2)由②,得x=13-4y.③
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16.
解得y=2.
将y=2代入③,得x=5.
经检验,x=5,y=2适合原方程组.
所以原方程组的解是
注意:第(2)题需先进行恒等变形,教师要鼓励学生通过自主探索与交流求解,在求解过程中,学生“消元”的具体方法可能不同,所以教学中不必强求解答过程的统一,但要提出将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算更简单的问题,让学生在解题中进行思考.
设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
1.用代入法解方程组下列四个选项中正确的是(　A　)
A.由①,得x=2+y,再代入② B.由①,得x=2-y,再代入②
C.由②,得5y=14-3x,再代入① D.由②,得x=14-5y,再代入①
2.用代入法解方程组:
(1)　　　　(2)
解:(1)由②,得y=2x+1.③
把③代入①,得2x+1+3x=6,解得x=1.
把x=1代入③,得y=3.
所以原方程组的解是
(2)由②,得y=5-x.③
把③代入①,得x+2=5-x+1,解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以原方程组的解是
设计意图:通过练习,巩固和熟练运用代入消元法解二元一次方程组.
课堂小结
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的
2.消元时应注意哪些问题
设计意图:梳理本节所学内容,把所学知识系统化,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
相关练习.
1.教材第110页习题5.2第1,2题.
2.相关练习.
第1课时　代入消元法
　　　　1.代入消元法的概念.
2.通过例题,总结用代入法解方程组的一般步骤.
3.理解化归的思想.
教学反思

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