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第13讲 椭圆
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
3．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
4．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
5．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
6． 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“
先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长=，短轴长=
离心率
知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：椭圆的定义
例1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
例2．（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
例3．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，点满足，则（　　）
A．点在椭圆外
B．点在椭圆内
C．点在椭圆上
D．点与椭圆的位置关系不能确定
例5．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
例7．（2022·重庆·高二期末）是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例8．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（理））已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例9．（2022·广东·执信中学高二期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．12
例10．（2022·全国·高二）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
例11．（2022·贵州毕节·高二期末（理））设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：求椭圆的标准方程
例12．（2022·浙江金华·高二期末）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022·山东烟台·高二期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））方程化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·河北省博野中学高二期末）已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是:（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2022·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．
例17．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）方程化简的结果是___________．
例18．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
例19．（2022·全国·高二课时练习）如果点在运动过程中，总满足关系式
，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．
例20．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知的三边满足，且，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
例22．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－4，0)，C(4，0)，且周长为18.
(1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的标准方程．
例23．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
例24．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？
题型三：椭圆的综合问题
例25．（2022·江苏·高二）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（文））已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（ ）
A． B． C．8 D．16
例28．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
例29．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
例30．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支
例31．（2022·湖南省岳阳县第一中学高二阶段练习）设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022·北京·101中学高二期末）已知，是椭圆的两焦点，
是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
例33．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
例34．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
例36．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例37．（2022·北京顺义·高二期末）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线是一个椭圆；
③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
A．① B．①② C．③ D．①③
例38．（多选题）（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是 D．的周长一定是
题型四：轨迹方程
例39．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2022·广东揭阳·高二期末）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
例41．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
例42．（2022·全国·高二）已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B．（）
C． D．（）
例43．（2022·河南·高二阶段练习（理））圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例44．（2022·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆
例45．（2022·全国·高二课时练习）若△ABC的三边长a b c满足， ，则顶点B的轨迹方程是___________.
例46．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
例47．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
例48．（2022·全国·高二单元测试）设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
例49．（2022·江苏·高二）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
例50．（2022·江苏·高二）已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．
例51．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
题型五：椭圆的简单几何性质
例52．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
例53．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例54．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
例55．（2022·江苏·高二）已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
例56．（2022·全国·高二课时练习）连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为（ ）
A．2 B． C． D．4
例57．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
例58．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标是______．
例59．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与椭圆有两个不同的交点，则a的取值范围是___________.
例60．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．
例61．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________．
例62．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的最大值为8，且离心率为，则此椭圆的标准方程为______．
例63．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交于两点，且的周长为，那么的方程为________.
例64．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的方程为.
(1)求它的长轴长 短轴长 顶点坐标 焦点坐标；
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个？试写出其中的两个椭圆方程.
例65．（2022·全国·高二课时练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
例66．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
题型六：求椭圆的离心率
例67．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例68．（2022·江苏·高二）椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
例69．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例70．（2022·江苏·高二）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例71．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例73．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例75．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·四川·射洪中学高二期中）椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为
F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例78．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
例79．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过椭圆上任意一点（不同于，）作长轴的垂线，垂足为，则为常数，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例80．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知，是椭圆C:的左，右焦点，P是椭圆C上一点，若|依次成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．不能确定
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例81．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例82．（2022·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例83．（2022·浙江浙江·高二期中）设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例84．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
又|FA|= ，
，
，又，
∴.
故选：D.
例85．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知 ，是椭圆
的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例86．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例87．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
例88．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例89．（2022·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·全国·高二）已知椭圆，，分别为椭圆的左 右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例91．（2022·江苏徐州·高二期末）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例92．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知点F是椭圆的右焦点，过点且垂直于y轴的直线与椭圆交于B，C两点.当为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为___________.
例93．（2022·江苏·高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P．
(1)若为直角，求椭圆的离心率；
(2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例94．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
例95．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））已知椭圆的右焦点为
，满足：，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例96．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（ ）
A． B．
C． D．
例97．（2022·河南南阳·高二阶段练习（文））画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例98．（多选题）（2022·湖南·高二期中）已知椭圆的离心率，则k的值可能是（ ）
A．－7 B．7 C．— D．
例99．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
例100．（2022·河北邢台·高二阶段练习）最能引起美感的比被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．
例101．（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，则的值为________.
例102．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）设是椭圆的离心率，若，则的取值范围是_________.
例103．（2022·北京·北科大附中高二期末）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
例104．（2022·河北·顺平县中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为________．
例105．（2022·四川省资阳中学高二期中（理））已知椭圆离心率，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作x轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则____
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例106．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例107．（2022·全国·高二课时练习）设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（　　）
A．是定值 B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值
例108．（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例109．（2022·安徽·高二期中）椭圆的左右焦点分别为 ，直线与交于A 两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例110．（2022·辽宁·高二期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
例111．（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例112．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
例113．（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
例114．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例115．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例116．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例117．（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
例118．（2022·江苏南通·高二期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．
例119．（多选题）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为
C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为
例120．（2022·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__.
例121．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离分别为5，3，过且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，椭圆的标准方程为： ______，若，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值是______.
例122．（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
例123．（2022·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习）已知椭圆：的离心率为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆形成的弦长为，且椭圆上存在4个点M，N，P，Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为_________.
例124．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
例125．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.
例126．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
题型十：焦点三角形
例127．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
例128．（2022·河南平顶山·高二期末（理））设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为钝角三角形
C．为直角三角形 D．，，三点构不成三角形
例129．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
例130．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例131．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例132．（多选题）（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．面积的最大值为
C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个
例133．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为
B．面积最大值为
C．存在点P满足：
D．若面积为，则点P横坐标为
例134．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．
B．的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，的面积为
D．当时，为直角三角形．
例135．（2022·全国·高二期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
例136．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
例137．（2022·全国·高二单元测试）若中，，（，且m n为定值），则面积的最大值为___________.
例138．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
例139．（2022·全国·高二课时练习）已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
例140．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的两个焦点为 ，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
例141．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为和，点P在椭圆上．如果线段的中点在y轴上，那么是的______倍．
例142．（2022·广东茂名·高二期末）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任一点，、为两焦点，，求△的面积．第13讲 椭圆
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
3．这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
4．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
5．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
6． 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再
定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长=，短轴长=
离心率
知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：椭圆的定义
例1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义即可求解.
【详解】
解： ，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
例2．（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】
由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
例3．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论与的大小关系，结合椭圆定义可知.
【详解】
解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．
故选：C．
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，点满足，则（　　）
A．点在椭圆外
B．点在椭圆内
C．点在椭圆上
D．点与椭圆的位置关系不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
结合椭圆定义可确定点在椭圆外.
【详解】
若在椭圆上，则，
，点在椭圆外.
故选：A.
例5．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.
【详解】
由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.
因为，
所以.
故选：D
例6．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆定义进行求解.
【详解】
由，，得：，，∴.
故选：B.
例7．（2022·重庆·高二期末）是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义直接求解
【详解】
由题意得，得，
因为，，
所以，
故选：C
例8．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（理））已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.
【详解】
设椭圆的两个焦点分别为，故可得，
又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.
故选：.
例9．（2022·广东·执信中学高二期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于
【详解】
因为，，所以，故的周长为．
故选：B
例10．（2022·全国·高二）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
例11．（2022·贵州毕节·高二期末（理））设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.
【详解】
根据P为椭圆C：上一点，
则有，
又，所以，
故选：B.
题型二：求椭圆的标准方程
例12．（2022·浙江金华·高二期末）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】
因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A
例13．（2022·山东烟台·高二期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【详解】
因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.
故选：B
例14．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））方程化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.
【详解】
∵方程，
表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；
∴；
∴椭圆的方程是，即为化简的结果．
故选：D．
例15．（2022·河北省博野中学高二期末）已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是:（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由在线段的垂直平分线上得出，再由题意得出，进而由椭圆定义可求出点的轨迹方程.
【详解】
如图，因为在线段的垂直平分线上，所以，又点在圆上，所以，因此，点在以、为焦点的椭圆上. 其中，，则. 从而点的轨迹方程是.
故选：B.
例16．（2022·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，可求得c,a,求得 ，可得答案.
【详解】
由题意可设椭圆的标准方程为 或，
由题意可得 ， ，
故 ，
故椭圆的标准方程为：或，
故答案为：或
例17．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）方程化简的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
运用方程的几何意义得出结果.
【详解】
解：∵，
故令，，
∴，
∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，
即，，，
∴方程为.
故答案为：.
例18．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】
连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
例19．（2022·全国·高二课时练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，求得椭圆的方程；再结合椭圆方程，求得的关系，代入即可求得结果.
【详解】
因为，其表示到点的距离之和为10，
又，故点的轨迹满足椭圆的定义，设其标准方程为：，
显然，，又，解得，
则标准方程为：；
故可得代入，
则.
故答案为：；.
例20．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分，和三种情况进行讨论，结合椭圆的定义即可求解.
【详解】
解：由题意，，
当时，点P到点、的距离之和为8，所以动点P的轨迹为线段，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以由椭圆的定义知动点P的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以动点P的轨迹不表示任何曲线，无轨迹方程.
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知的三边满足，且，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
【答案】，点A的轨迹是以B、C为焦点，且长轴长为4的椭圆位于y轴右侧的部分.
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义和标准方程可得答案.
【详解】
解：由题意得，又因为，
所以，
所以点A的轨迹是以B、C为焦点，且长轴长为4的椭圆位于y轴右侧的部分，
设椭圆的方程为，所以，所以，所以，
所以点A的轨迹方程为.
例22．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－4，0)，C(4，0)，且周长为18.
(1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的标准方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由周长结合椭圆定义可得；
（2）根据椭圆定义和已知可得a、b，然后可解.
(1)
因为BC＝8，且AB＋BC＋AC＝18，可得AB＋AC＝10
又因为AB＋AC>BC，所以由椭圆定义知：点A在以B，C为焦点的椭圆上运动．
(2)
由(1)可知AB＋AC＝10＝2a，则a＝5.
由B(－4，0)，C(4，0)可知c＝4.
又b2＝a2－c2＝25－16＝9，
则所求椭圆的标准方程为．
例23．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由椭圆定义求得，结合求得后可得；
（2）由椭圆定义求得，结合求得后可得．
(1)
由题意，，又，所以，
椭圆标准方程为；
(2)
由题意椭圆另一焦点为．
，
，，所以，焦点在轴，
椭圆方程为．
例24．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为和，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为？
【答案】答案见详解．
【解析】
【分析】
答案不唯一，可添加椭圆过点，由椭圆定义可得值．
【详解】
添加的条件：椭圆过点
则
所以，得，
故椭圆的方程为．
题型三：椭圆的综合问题
例25．（2022·江苏·高二）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】
由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
例26．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合椭圆的知识确定正确选项.
【详解】
的周长为.
故选：A
例27．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（文））已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆定义求解
【详解】
由椭圆定义得△的周长是，
故选：D.
例28．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】
由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以，
而，，故.
故选：C
例29．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】
由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
例30．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支
【答案】A
【解析】
【分析】
依据定义法去求动圆的圆心的轨迹即可解决.
【详解】
设动圆的半径为r,
又圆半径为1，圆半径为8，
则，，
可得，又
则动圆的圆心的轨迹是以为焦点长轴长为9的椭圆.
故选：A
例31．（2022·湖南省岳阳县第一中学高二阶段练习）设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的面积可求得点的坐标，由此可求得的值.
【详解】
在椭圆中，，，则，所以，，
，所以，所以，
则，
故选：A.
例32．（2022·北京·101中学高二期末）已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
【答案】A
【解析】
【分析】
设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点
为的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，如图，
，
，
，
由题意知是△的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
故选：A
例33．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
因为，所以设，根据比关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.
【详解】
解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：
所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.
故选：C.
例34．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，.
故选：B.
例35．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】
【分析】
由的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，求得，有，继而有，则有，由此可得选项.
【详解】
解：因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即，
又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个，
故选：A.
例36．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合椭圆的定义可求得、，即可得出结论.
【详解】
在椭圆中，，，，则，
，可得，
所以，，解得，此时点位于椭圆短轴的顶点.
因此，满足条件的点的个数为.
故选：B.
例37．（2022·北京顺义·高二期末）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
①曲线关于坐标原点对称；
②曲线是一个椭圆；
③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.
A．① B．①② C．③ D．①③
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①在方程中换为，换为可判断；对于②分析曲线的图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线图形的位置关系可判断.
【详解】
在曲线的方程中，换为，换为，方程不变，故曲线关于坐标原点对称
所以①正确,
当时，曲线的方程化为，此时
当时，曲线的方程化为，此时
所以曲线的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.
当，时，设，
设，则，（当且仅当或时等号成立）
所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线的上方.
根据曲线和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线的外部（四个顶点在曲线上）
所以曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积，故③正确.
故选：D
例38．（多选题）（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是 D．的周长一定是
【答案】BD
【解析】
【分析】
求出焦点，的坐标，再由直角三角形的直角顶点情况逐项判断作答.
【详解】
椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，
以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，
显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，
以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；
以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；
由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；
由椭圆定义知，的周长为，D正确.
故选：BD
题型四：轨迹方程
例39．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】
由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
例40．（2022·广东揭阳·高二期末）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.
【详解】
因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.
例41．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】
设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.
由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
【点睛】
本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
例42．（2022·全国·高二）已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B．（）
C． D．（）
【答案】B
【解析】
【分析】
设动点,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得的方程,化简即可得动点C的轨迹方程,排除不符合要求的点即可.
【详解】
设
由两点间斜率公式可得
由斜率与倾斜角关系,结合可得
变形可得
当时,C与A或B重合,不合题意
所以点C的轨迹方程为（）
故选:B
【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法,两点间斜率公式,注意斜率与倾斜角关系,排除掉不符合要求的点,属于基础题.
例43．（2022·河南·高二阶段练习（理））圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
数形结合利用垂直平分线的定义得到动点到定点、的距离之和为定值4（大于两定点间的距离，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．
【详解】
解：如图，直线为线段的垂直平分线，
连接，由线段垂直平分线的性质得：，
而半径，且、两点为定点，
，
由椭圆定义得：点轨迹是以、两点为焦点的椭圆，且，，
，，，
椭圆方程为：，
故选．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．
例44．（2022·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意知,所以,故点P的轨迹是椭圆.
【详解】
由题意知，关于CD对称，所以，
故，
可知点P的轨迹是椭圆.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，属于中档题.
例45．（2022·全国·高二课时练习）若△ABC的三边长a b c满足， ，则顶点B
的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆定义即得轨迹方程，注意限定轨迹的取值范围.
【详解】
设点B的坐标为，
∵，即，又 ，
∴，
根据椭圆的定义可知，点B的轨迹是以 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
故顶点B的轨迹方程为，又B为三角形的顶点，
故所求的轨迹方程为.
故答案为：.
例46．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】
连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
例47．（2022·全国·高二课时练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分，和三种情况进行讨论，结合椭圆的定义即可求解.
【详解】
解：由题意，，
当时，点P到点、的距离之和为8，所以动点P的轨迹为线段，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以由椭圆的定义知动点P的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以动点P的轨迹不表示任何曲线，无轨迹方程.
例48．（2022·全国·高二单元测试）设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，，根据P在椭圆上，得到；再由MN即为椭圆在处的切线方程也为圆O：切点弦所在直线方程求解.
（2）过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，得到，，，再由，利用基本不等式求解.
(1)
解：设，.
∵P在椭圆上，∴①；
椭圆在处的切线方程为：②；
又QM、QN为过点Q所引的圆O：的两条切线，
所以切点弦MN所在直线方程为：③.
其中②③表示同一条直线方程，
则，得，代入①，
得，
故点Q的轨迹方程为.
(2)
过P作PA⊥x轴，过Q作QB⊥x轴，
则，，，
所以，
又，
∴，当且仅当时，等号成立.
∴的最大值为.
例49．（2022·江苏·高二）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹及其方程；
（2）对的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.
(1)
选择条件①：，因为，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，
则，，故其方程为：.
即选择条件①，点的轨迹是椭圆，其方程为；
选择条件②：，因为，
故点的轨迹是线段，其方程为.
(2)
因为，
当时，此时动点不存在，没有轨迹和方程；
当时，此时，
由（1）可知，此时动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，此时，
此时点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
综上所述：当时，动点没有轨迹和方程；
当时，动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
例50．（2022·江苏·高二）已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．
【答案】，椭圆.
【解析】
【分析】
设出点的坐标，根据题意列出满足的等量关系，整理化简即可求得轨迹方程，再根据方程即可判断轨迹对应的图形.
【详解】
设点的坐标为，根据题意，
即，整理得：，
即曲线的方程为：，其表示一个椭圆.
例51．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意.
【详解】
设且，则，
整理得：A的轨迹方程.
题型五：椭圆的简单几何性质
例52．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.
【详解】
椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为，
设所求椭圆的长半轴长为，则，
故所求椭圆的标准方程为.
故选：B.
例53．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
故选：B.
例54．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.
【详解】
由椭圆的对称性可知，,
所以，
又椭圆方程为，所以，解得，
所以，
故选：A
例55．（2022·江苏·高二）已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据离心率的定义列方程求，根据长轴长的定义求椭圆E的长轴长.
【详解】
因为椭圆的方程为，
所以，，，
又椭圆的离心率为
所以，解得，
所以,
所以椭圆E的长轴长为．
故选：C.
例56．（2022·全国·高二课时练习）连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，再根据之间的关系，将用表示，从而可得出答案.
【详解】
解：因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，
所以，
所以，所以，
故，
所以长轴长与短轴长之比为.
故选：C.
例57．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
将曲线C化为，再根据此方程表示椭圆得出的关系即可判断AB，求出椭圆的焦距即可判断D，根据椭圆的对称性即可判断C.
【详解】
解：将曲线化为，
对于A，当时，则，
所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
对于B，当时，曲线C为椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线C为椭圆，
椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，故C错误；
对于D，当时，则曲线C为椭圆，
则曲线C的焦距为，故D正确.
故选：ABD.
例58．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
分与两种情况进行求解.
【详解】
当时，焦点坐标在轴上，则，
所以，故焦点坐标为；
当时，焦点坐标在轴上，则，
所以，故焦点坐标为
故答案为：，
例59．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与椭圆有两个不同的交点，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出椭圆的上顶点与右顶点坐标，再将曲线变形，可知曲线表示以原点为圆心，为半径的轴及轴右侧的半圆，根据对称性可得，解得即可；
【详解】
解：椭圆中，、，所以，，则椭圆的上顶点为，右顶点为，
曲线，即，表示以原点为圆心，为半径的轴及轴右侧的半圆，
依题意可得，所以，即；
故答案为：
例60．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．
【答案】 10 ，
【解析】
【分析】
将椭圆方程化为标准方程即可得到，进而可求长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
【详解】
由题意知：椭圆标准方程为，
∴，
即长轴长为10，短轴长为，焦点坐标，顶点坐标，.
故答案为：10；；；，.
例61．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.
【详解】
由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.
故答案为：
例62．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的最大值为8，且离心率为，则此椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，可得，又离心率，可求得a，c的值，根据a，b，c的关系，可求得，即可得答案.
【详解】
由题意设方程为，
因为椭圆上的点到左焦点的最大值为8，
所以，又，
所以，
又，所以
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：
例63．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交于两点，且的周长为，那么的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合椭圆定义可知周长为，由此可得；利用离心率可得，进而得到，由此可得椭圆方程.
【详解】
由题意可设椭圆的方程为：，
直线过点，则由椭圆定义可知：周长为，解得：；
又离心率，，，
椭圆的方程为：.
故答案为：.
例64．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的方程为.
(1)求它的长轴长 短轴长 顶点坐标 焦点坐标；
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个？试写出其中的两个椭圆方程.
【答案】(1)该椭圆的长轴长为，短轴长为，顶点坐标分别为：
，焦点坐标为：；
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有无穷多个，其中的两个椭圆方程为和.
【解析】
【分析】
（1）把椭圆的方程化成标准方程形式，根据长轴长、短轴长、顶点坐标公式、坐标公式进行求解即可；
（2）根据椭圆中之间的关系进行判断取特即可.
(1)
由，
即，
所以该椭圆的长轴长为，短轴长为，
顶点坐标分别为：，焦点坐标为：.
(2)
由（1）可知：该椭圆的焦点在纵轴，且，
设与该椭圆有相同焦点的椭圆标准方程为：，
所以有，该方程有无穷多组实数解，
当时，，所以椭圆方程为：，
当时，，所以椭圆方程为：，所以与该椭圆有相同焦点的椭圆有无穷多个，其中的两个椭圆方程为和.
例65．（2022·全国·高二课时练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意直线过的定点在椭圆上或椭圆内，进而，解不等式即可得答案.
【详解】
解：由题知直线l：过定点，
因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内，
所以，由于，所以，
所以实数a的取值范围是
例66．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
【答案】(1)长轴长为6，短轴长为2，离心率为，焦点坐标为与，顶点坐标为，，，
(2)长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.
【解析】
【分析】
把椭圆方程化为标准方程，结合的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
(1)
整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，
(2)
，整理为：，焦点在y轴上，则
，，所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为
题型六：求椭圆的离心率
例67．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出点A，B的坐标，利用“点差法”求解作答.
【详解】
设点，依题意，，
相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A
例68．（2022·江苏·高二）椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形，可知有三种情况：,和，根据几何关系即可求解.
【详解】
当时，为等腰直角三角形，则点位于椭圆的上下顶点，则满足：,
当或者时，此时 ，为等腰直角三角形，则满足 ,
故 ，
故选：C
例69．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆中焦点三角形的周长， ，以及的关系即可解出，从而解出离心率．
【详解】
设椭圆的焦距为，因为的周长为54，所以，即.
因为椭圆的短轴长为18，所以，因为，所以，所以.故椭圆的离心率为
故选：B．
例70．（2022·江苏·高二）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
设，则，由椭圆定义知：；
，，即，，
，椭圆的离心率.
故选：C.
例71．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】
点椭圆上的点，
，且
在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
例72．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于，可得，所以椭圆的离心率为；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.
【详解】
法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，
联立消去可得：，
因为直线为椭圆的切线，所以，
化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.
故选：B.
法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.
设切点，，，，
切线：，切线：，
∴①，②，
又∵，即，即，即，
∴，同理，∴，∴，
将，代入椭圆中得：，经分析得：，
由①②可知，∴，∴，∴.
故选：B.
例73．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先表示出的重心，代入椭圆可得出，即可求出离心率.
【详解】
由题可得，则的重心为，
将代入椭圆可得，即，
即，则，
所以.
故选：A.
例74．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由椭圆的对称性，结合过原点的直线与垂直关系可判断四边形为矩形，则，根据椭圆的定义结合可得的值，设，根据可得的值，再结合勾股定理可得的值，即可求解.
【详解】
因为过坐标原点的直线交E于P，Q两点，根据椭圆的对称性，可知四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，则，
因为，所以，则，
设，则，
又，所以，即，解得，则，
因为，即，所以，
所以，
故选：B
例75．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.
【详解】
设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
例76．（2022·四川·射洪中学高二期中）椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.
【详解】
因为，所以.
因为的周长为，所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故选：B.
例77．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由椭圆定义利用余弦定理得出的等式，变形后可求得离心率．
【详解】
由题意，，，
在中，由余弦定理得
，
所以．
故选：B．
例78．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设椭圆右焦点，连接，，由椭圆对称性可知四边形为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.
【详解】
设椭圆右焦点，连接，，
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则．
因为，可得．
所以，则，．
由余弦定理可得，
即，即
故椭圆离心率，
故选：C．
例79．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过椭圆上任意一点（不同于，）作长轴的垂线，垂足为，则为常数，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆方程为（）并确定、坐标，可得,,，代入得到参数的关系，列方程求离心率即可
【详解】
设椭圆方程为（）
若,,，
则,,，
所以,
而, 即,
所以
故选：D
例80．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知，是椭圆C:的左，右焦点，P是椭圆C上一点，若|依次成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列及椭圆的性质可得，再由离心率公式即可得解．
【详解】
设，
因为成等差数列，
所以即，
所以椭圆C的离心率.
故选：A．
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例81．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．
【详解】
解：由题意，如图，
若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，
即，因为，
解得：．
，即，而，
，即．
故选：D．
例82．（2022·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出点坐标后将用坐标表示，结合在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程，二者联立后化简即可得出离心率的取值范围.
【详解】
设，
在椭圆上，，
，两边都乘以化简后得：，，
，又因为椭圆离心率，.
故选：A.
【点睛】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
例83．（2022·浙江浙江·高二期中）设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的几何性质求解
【详解】
由椭圆的几何性质知当点在短轴顶点时，最大，设短轴顶点为B，则，得，
故选：A
例84．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知是椭圆的右焦点，若直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得F点到P点与A点的距离相等，即|FA|= 又，故，求解即可.
【详解】
由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
又|FA|= ，
，
，又，
∴.
故选：D.
例85．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定点的轨迹是圆，联立圆的方程及椭圆方程，解出，得到不等式即可求解.
【详解】
若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，设， ，解得，即，，又，故.
故选：B.
例86．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.
【详解】
设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
例87．（2022·福建省福州第一中学高二期末）已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
【答案】B
【解析】
【分析】
如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】
由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，
因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，
整理，得，又，
所以.
故选：B
例88．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得出以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，从而可得到，然后结合及椭圆的离心率即可求出答案.
【详解】
因为存在过原点的直线与的交点，满足，
故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，所以，即，
又因为，所以，即，
所以，即.
故选：D.
例89．（2022·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据，得到，根据点到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.
【详解】
设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则
又
四边形为平行四边形
又，解得：
点到直线距离：，
解得：，即
.
故选：C.
【点睛】
求椭圆离心率的方法：
（1）利用定义寻找参数的关系；
（2）利用曲线与方程的关系构建等量关系；
（3）利用椭圆的有界性来建立起参数中的不等关系
例90．（2022·全国·高二）已知椭圆，，分别为椭圆的左 右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆，可得，，
设，代入椭圆的方程，可得，
则，
即，即.
又因为，所以.
故选：A.
例91．（2022·江苏徐州·高二期末）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图由题可得，进而可得，即求.
【详解】
如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，
∴，
可得，
，即，又
解得.
故选：C.
例92．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知点F是椭圆的右焦点，过点且垂直于y轴的直线与椭圆交于B，C两点.当为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
判断三角形是否为锐角三角形，使用向量的方法比较好，列出不等式后，利用离心率的定义即可.
【详解】
如图，易得.所以，，，
.根据椭圆对称性，有，因此，若为锐角三角形，
只需和均为锐角，即
所以由此可得，
故椭圆离心率的取值范围是，
故答案为：.
例93．（2022·江苏·高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P．
(1)若为直角，求椭圆的离心率；
(2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，从而可表示出，从而可求出离心率，
（2）利用余弦定理可得的关系，进而可求出离心率的范围
(1)
因为为直角，
所以为等到腰直角三角形，
所以，
所以，
所以离心率为
(2)
因为为钝角，
所以,
所以，
所以,
所以
得，，
所以，即，
因为
所以离心率的范围为
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例94．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.
【详解】
因为，则，所以.
故选：D
例95．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））已知椭圆的右焦点为，满足：，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得，即可求得，继而由， ，表示，由此可求得的取值范围得选项.
【详解】
解：因为，所以，即，所以，
由已知得的最大值为，最小值为，
则，
又由得，所以，所以，所以，
所以的取值范围为，
故选：A.
例96．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由离心率得，再由转化为．
【详解】
因为，所以8a2＝9b2，所以．
故选：D.
例97．（2022·河南南阳·高二阶段练习（文））画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.
【详解】
因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，
所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
例98．（多选题）（2022·湖南·高二期中）已知椭圆的离心率，则k的值可能是（ ）
A．－7 B．7 C．— D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论，进而由离心率的定义求得答案.
【详解】
①当焦点在x轴上，即当，即时，则，则，所以椭圆的离心率．
②当焦点在y轴上，即当，即时，由椭圆的标准方程得，则，所以椭圆的离心率.
故选：BD.
例99．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据离心率公式求得椭圆参数a、b的比值，即可确定长轴长与短轴长的比值.
【详解】
由题设，解得，
所以长轴长与短轴长的比值为.
故答案为：
例100．（2022·河北邢台·高二阶段练习）最能引起美感的比被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
分焦点在x轴上和焦点在y轴上，利用离心率公式求解.
【详解】
解：当焦点在x轴上时，，
则
所以，
解得；
当焦点在y轴上时，，
则，
所以，
解得；
故答案为：
例101．（2022·浙江·镇海中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，则的值为________.
【答案】1或16##16或1
【解析】
【详解】
∵椭圆方程为，
∴①当椭圆焦点在x轴上时，a2=4，b2=m，可得c= ，
离心率e= = ，解得1；
②当椭圆焦点在y轴上时，a2=m，b2=4，可得c=
离心率e= =，解得m=16．
综上所述m=16或m=1
故选D．
点睛：分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值．最后两种情况.
例102．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）设是椭圆的离心率，若，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
对分和两种情况讨论，解不等式得解.
【详解】
解：当时，，所以，
所以.
当时，，所以，
所以.
所以的取值范围是.
故答案为：
例103．（2022·北京·北科大附中高二期末）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
【答案】①②
【解析】
【分析】
设，推导出，可判断②的正误；利用点与椭圆的位置关系可判断①的正误；利用椭圆中长半轴长、短半轴长以及半焦距之间的关系可判断③④的正误.
【详解】
设，由已知可得，则，
所以，，则，②对；
在椭圆上任取一点，则，
所以，，即点在椭圆内，①对；
因为，则，即，③错；
因为，即，④错.
故答案为：①②.
例104．（2022·河北·顺平县中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
求得，设点，则，，利用二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得解.
【详解】
椭圆的离心率，可得，解得，
椭圆方程为，设点，则，，
所以，，
所以，当时，.
故答案为：.
例105．（2022·四川省资阳中学高二期中（理））已知椭圆离心率，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A作x轴垂线交椭圆于点C，过A作直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则____
【答案】##
【解析】
【分析】
首先求得，然后由求得点的纵坐标，从而求得.
【详解】
.
设，则，设
，两式相减并化简得，
即，，
由，可得，则，即，解得，.
故答案为：
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例106．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】
由，设，
设点到直线：的距离，
所以有，
其中，
所以当时，有最小值，
故选：C
例107．（2022·全国·高二课时练习）设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（　　）
A．是定值 B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值
【答案】A
【解析】
【分析】
连接并延长交轴于，，再由内角平分线定理可得；设，，，代入椭圆方程可求出，结合得，进一步求出，再表示出，化简即可得答案．
【详解】
连接并延长交轴于，
则由内角平分线定理可得：，，；
设，，，则，，
，则，又，则．
，则，，，
则，
直线和直线的斜率之积是定值．
故选：A．
例108．（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在椭圆中，，，，
由椭圆定义可得，，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
例109．（2022·安徽·高二期中）椭圆的左右焦点分别为 ，直线与交于A 两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.
【详解】
连接，由题知点A 关于原点对称，，，，则，，又，即，
，由得，所以，D正确.
故选：D
例110．（2022·辽宁·高二期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短.
【详解】
设动点 的坐标为 ，则
整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ，
，如下图所示，当经过点时，最短，此时
故选：B
例111．（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可得；
利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.
【详解】
根据椭圆的定义可知，，即，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故选：A
例112．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
联立方程组解得点坐标，可得，再设和平行的直线，当该直线和椭圆相切时，即的面积取得最大值，求出此时高，可得答案.
【详解】
由题意联立方程组 ，解得或，
因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，
则 ,
设过点C与AB平行的直线为 ，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，
当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大，
联立，得： ，
令判别式 ，解得 ，
此时与间的距离也即是的边AB上的高为 ，
所以的最大面积为 ，
故选：B.
例113．（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．
【详解】
解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
例114．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆右焦点为，容易判断点A在椭圆内部，进而根据椭圆定义得到，最后求出答案.
【详解】
因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以.
故选：D.
例115．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知，再解不等式即可.
【详解】
解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得：．
故选：D．
例116．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，解之即可得解.
【详解】
解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
例117．（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围
【详解】
由，得，则，
圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，
因为
，
因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，
所以，即，
所以，所以，
所以的取值范围为，
故选：C
例118．（2022·江苏南通·高二期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由方程表示椭圆，结合椭圆的性质有，即可求m范围.
【详解】
由题设，，可得.
故选：A
例119．（多选题）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为
C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.
【详解】
解：因为椭圆方程为：，
所以，故A错误，B正确；
由，得，
因为，
所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，
所以圆在椭圆内部，故C正确；
设，
则，
当时，取得最小值，则的最小值为，故D错误，
故选：BC
例120．（2022·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__.
【答案】
【解析】
【分析】
设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，由椭圆定义，结合当在直线与椭圆交点上时和当在直线与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.
【详解】
设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，
则由椭圆定义，
当在直线与椭圆交点上时，在轴的上方时，，取得最小值，最小值为：；
当在直线与椭圆交点，在轴的下方时，有最大值，
其最大值为.
故答案为：，.
例121．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离分别为5，3，过且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，椭圆的标准方程为： ______，若，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值是______.
【答案】 16
【解析】
【分析】
由定义得出，再由勾股定理得出椭圆的标准方程，由数量积运算结合二次函数的性质得出最值.
【详解】
设为椭圆的左右焦点，由题意可知，因为过且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，所以为直角三角形，即，，，则椭圆的标准方程为.
由题意可知，，设，则，因为，所以的最大值为.
故答案为：；16
例122．（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.
【详解】
不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
例123．（2022·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习）已知椭圆：的离心率为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆形成的弦长为，且椭圆上存在4个点M，N，P，Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据离心率及弦长求出椭圆方程，进而不妨设点M位于第一象限，坐标为，根据基本不等式求出矩形面积的最大值.
【详解】
由于，所以，，故椭圆方程为：，设过右焦点F的直线为，与椭圆方程联立得：，设直线与椭圆的两交点为，则由，，故，解得：，则，，所以椭圆方程为：，不妨设点M位于第一象限，坐标为，则，矩形MNPQ面积为，当且仅当，即时，等号成立，故矩形MNPQ面积最大值为4
故答案为：4
例124．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】
依题意，椭圆方程为，所以，
所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，
根据椭圆的定义可知，
，
所以的最大值为.
故答案为：
例125．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.
【答案】15
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解.
【详解】
如图所示：
在椭圆+=1中，a=5，b=4，c=3，
所以焦点坐标分别为F1(-3，0)，F2(3，0).
|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).
∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，
∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，
此时|PM|+|PF1|取最大值，最大值为10+5=15.
故答案为：15
例126．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
(1)
由椭圆可知，，，
则，，
则，当且仅当、、三点共线时成立，
所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
(2)
，，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
题型十：焦点三角形
例127．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】
由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】
结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
例128．（2022·河南平顶山·高二期末（理））设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为钝角三角形
C．为直角三角形 D．，，三点构不成三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.
【详解】
由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.
故选：D.
例129．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的值判断A选项；通过计算直线与直线斜率乘积判断B选项；结合椭圆的定义以及基本不等式判断C选项；结合椭圆的定义来判断D选项.
【详解】
对于A，依题意，
，A选项错误.
对于B，设，则，
，为定值，B选项正确.
对于C，，
，
当且仅当时等号成立.C选项正确.
对于D，Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示，
则，
，，
，即，
所以
所以.D选项正确.
故选：A
例130．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合椭圆的定义可求得、，即可得出结论.
【详解】
在椭圆中，，，，则，
，可得，
所以，，解得，此时点位于椭圆短轴的顶点.
因此，满足条件的点的个数为.
故选：B.
例131．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的标准方程.
【详解】
由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.
故选：C.
例132．（多选题）（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．面积的最大值为
C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.
【详解】
在椭圆中，，，，且，
对于A选项，当时，则，
由余弦定理可得，
因为，所以，，A对；
对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，
所以，面积的最大值为，B对；
对于C选项，因为，即，
所以，，C对；
对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，
当为直角顶点时，设点，则，
，，，
所以，，，此时，满足条件的点有个，
综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.
故选：ABC.
例133．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长为
B．面积最大值为
C．存在点P满足：
D．若面积为，则点P横坐标为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．
【详解】
由题意，，，短轴一个端点，
由题知，故周长为，故A错误；
利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；
因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误；
因为，，
则，，故D正确．
故选：BD．
例134．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．
B．的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，的面积为
D．当时，为直角三角形．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可求的值可判断A选项；结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，由此判断B选项；将与椭圆方程联立，求得点A、B的坐标，计算，利用面积公式可求的面积，由此判断C选项；将与椭圆方程联立，求得点A、B的坐标，得出，由此判断D选项.
【详解】
解：由椭圆得，
设椭圆的左焦点为，则，
∴为定值，故A正确；
的周长为，因为为定值6，
∴的范围是，
∴的周长的范围是，故B正确；
当时，将与椭圆方程联立，解得，，
则，所以的面积为，故C不正确；
当时，将与椭圆方程联立，解得，，
又因为，所以，所以为直角三角形，故D正确．
故选：ABD.
例135．（2022·全国·高二期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆定义即可求得；设出点的坐标，求得的坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合点横坐标的取值范围，即可求得结果.
【详解】
对椭圆，其，焦点坐标分别为，
由椭圆定义可得：；
设点的坐标为，则，且，
故，
又，故，即的取值范围为：.
故答案为：；.
例136．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P在椭圆上列方程可得、，即可求参数b.
【详解】
由题设，，且，可得，
又，则，
综上，，又，则.
故答案为：2
例137．（2022·全国·高二单元测试）若中，，（，且m n为定值），则面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题可判断点在以，为焦点的椭圆上，则当点在椭圆短轴端点时，面积最大，进而求解即可.
【详解】
由题，因为，所以点在以，为焦点的椭圆上，
所以，，则，
所以面积的最大值为，
故答案为：
例138．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆方程可得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由椭圆方程知：，，则；
由椭圆定义知：，
由余弦定理得：，
，解得：，
.
故答案为：.
例139．（2022·全国·高二课时练习）已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用勾股定理结合椭圆的定义可求得的值.
【详解】
在椭圆中，，，则，，
由椭圆的定义可得，
因为，则，
所以，.
故答案为：.
例140．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的两个焦点为 ，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可得，进而可得，即得.
【详解】
∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为.
故答案为：.
例141．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为和，点P在椭圆上．如果线段的中点在y轴上，那么是的______倍．
【答案】7
【解析】
【分析】
由题设易知△为直角三角形且，进而求得，由勾股定理求，即可得结果.
【详解】
由线段中点在y轴上，易知：x轴，即△为直角三角形且，
所以，，
故是的7倍.
故答案为：7
例142．（2022·广东茂名·高二期末）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°
角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据椭圆的光学性质和椭圆的定义即可求得答案.
【详解】
如图，
根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为，所以小球经过的路程为.
故答案为：8.
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任一点，、为两焦点，，求△的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
在焦点三角形中应用余弦定理可得，再由三角形面积公式，结合二倍角正余弦公式，即可得结果.
【详解】
由题设，，，又，
则
整理得，而，
所以.

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