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第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离.
知识点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.
知识点二：圆的切线方程的求法
1．点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是.
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2.圆与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解.
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离.
(2)几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含.
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.
3.两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
【典型例题】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
1．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
2．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
3．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）4．（2022·江苏·高二）已知直线：与圆：，则（ ）
A．直线与圆相离 B．直线与圆相交
C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个
（多选题）5．（2022·江苏·高二）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为
B．存在，使得的倾斜角为
C．存在，使直线与圆相离
D．对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短
（多选题）6．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线与圆，则（ ）
A．直线与圆C相离
B．直线与圆C相交
C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个
7．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）
8．（2022·全国·高二课时练习）直线和的位置关系是______．
9．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）
10．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
11．（2022·全国·高二课时练习）判断下列直线l与圆C的位置关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
12．（2022·江苏·高二课时练习）对于圆，直线，分别根据下列条件，判断直线l与圆C的位置关系：
(1)点在圆C上；
(2)点在圆C外.
13．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，证明：无论k取何值，直线与圆都有两个交点.
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
1．（2022·江苏·高二）已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二）过点的直线与圆交于、两点，当时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2 B．2 C． D．
6．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.
7．（2022·安徽省舒城中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．
9．（2022·江苏·高二）若圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，求直线l的倾斜角的取值范围．
10．（2022·江苏·高二课时练习）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系.
题型三：切线与切线长问题
1．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知圆，过点P（5，5）作圆M的一条切线，切点为N，则切点N到直线PM的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））若直线与圆相切，则的值是（ ）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为___________.
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________．
6．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．
7．（2022·上海金山·高二期中）求过点 的圆 的切线方程__________.
8．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）若过点作圆的切线，则切线方程为___________.
9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.
10．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______
11．（2022·广东·高二阶段练习）过点P（3，4）作圆O：的两条切线，设切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积=______．
12．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点；
(2)过点．
14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
15．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）已知圆：，动直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
16．（2022·江苏·高二课时练习）光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点为圆心的圆C相切，求圆C的方程．
题型四：弦长问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2022·江苏·高二）直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二）若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（ ）．
A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4
4．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆相交所得的弦长是___________.
5．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆C过点两点，且圆心C在y轴上，经过点且倾斜角为锐角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．
6．（2022·全国·高二课时练习）设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______．
7．（2022·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
8．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
9．（2022·福建·高二学业考试）求直线被圆截得的弦长．
10．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）过点作圆的割线，割线被圆截得的弦长为，求该割线方程．
11．（2022·江苏·高二）已知圆M过点．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．
12．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
题型五：判断圆与圆的位置关系
1．（2022·江苏·高二）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．外切
2．（2022·湖南·炎陵县第一中学高二阶段练习）圆与圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，圆：和圆：的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
（多选题）4．（2022·江苏南通·高二期末）已知，圆，，则（ ）
A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离
C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长
5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系为___________.
6．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．
7．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______．
8．（2022·江苏·高二）（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标.
9．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.
10．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组中两个圆的位置关系：
(1)与；
(2)与；
(3)与．
11．（2022·全国·高二课时练习）判断圆与圆的位置关系，并画出两圆，的图形．
12．（2022·全国·高二课时练习）求证：圆与圆不可能相外切．
题型六：由圆的位置关系确定参数
1．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
3．（2022·江苏·高二）已知圆与圆内切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·高二）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
5．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2022·广东深圳·高二期末）若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·安徽·高二开学考试）若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是( )
A． B．
C． D．
9．（2022·江苏·高二）在平面直角坐标系中，， ，动点满足，的轨迹方程为____，的轨迹与圆有公共点，则实数的取值范围是____．
10．（2022·江苏·高二）设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.
11．（2022·江苏·高二）已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆外切，求实数m的值;
(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.
12．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．
题型七：公共弦与切点弦问题
1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（ ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长
3．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2022·江苏·高二）已知圆与圆相交于A，B两点，则______.
6．（2022·全国·高二期末）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
7．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆和.圆和公共弦方程为___________；圆和公共弦的长度为___________.
9．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
10．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值．
11．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
12．（2022·江苏·高二）圆的方程为，圆的圆心，若圆与圆交于A、B两点且，求圆的方程.
13．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.
(1)求圆C的方程；
(2)当时，求线段AB的长；
(3)当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.
题型八：公切线问题
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2022·江苏·高二）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019·河北·高二学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
（多选题）7．（2022·全国·高二课时练习）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ）
A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．与的公切线的方程为
C．所在圆与 所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．所在的圆截直线所得弦的长为
8．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））圆和圆的公切线的条数为______．
9．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
10．（2021·全国·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
题型九：圆中范围与最值问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2022·广西梧州·高二期中（理））已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1 B． C．+1 D．6
4．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
5．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）若是直线上的动点，PA、PB与圆相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
6．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二开学考试）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为2＋，最小值为—2－
B．最大值为2＋，最小值为2－
C．最大值为－2＋，最小值为－2－
D．最大值为—2＋，最小值为2－
8．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线与圆交于 两点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东德州·高二期末）已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·湖南郴州·高二期末）已知圆与圆相交于A B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·湖北襄阳·高二期末）已知x，y是实数，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·四川内江·高二期末（文））几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
14．（2022·江苏南通·高二开学考试）圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（理））已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
17．（2022·四川资阳·高二期末（理））已知过点的直线l与圆相交于A，B
两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离.
知识点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.
知识点二：圆的切线方程的求法
1．点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是.
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2.圆与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解.
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离.
(2)几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含.
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.
3.两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
【典型例题】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
1．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.
【详解】
直线可化为，所以恒过定点.
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
2．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定.
【详解】
因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
故选：B.
3．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直线 过定点 ，接下来只需要将点 分别代入各个选项的圆中，找出值小于25对应的圆即为答案
【详解】
， 直线恒过点
将点 代入 中可得；
将点 代入 中可得；
将点 代入 中可得；
将点 代入 中可得；
所以直线恒过的定点 在 内，
所以当 为任意实数时，直线都与圆相交，
故选：B
（多选题）4．（2022·江苏·高二）已知直线：与圆：，则（ ）
A．直线与圆相离 B．直线与圆相交
C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个
【答案】BD
【解析】
【分析】
计算圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】
由圆，可知其圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，即，
所以直线与圆相交，故A错误，B正确，
所以圆上到直线的距离为1的点共有3个，故C错误，D正确，
故选：BD
（多选题）5．（2022·江苏·高二）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为
B．存在，使得的倾斜角为
C．存在，使直线与圆相离
D．对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短
【答案】AD
【解析】
【分析】
由时，得到直线，可判定A正确；求得直线的斜率，结合得到方程，可判定B错误；化简直线，得到直线过点，结合点与圆的位置关系，可判定C错误；由时，得到，结合圆的弦的性质，可判定D正确.
【详解】
对于A中，当时，直线，此时直线的倾斜角为，所以A正确；
对于B中，当时，可得直线的斜率为，
若直线的倾斜角为，可得，即，此时方程无解，所以B错误；
对于C中，由直线，可化为，
令，解得，即直线恒经过点，
又由圆的圆心坐标为，半径为，
因为，则，所以点在圆内部，
所以无论为何值，直线与圆总相交，所以C错误；
对于D中，当时，直线，此时直线的斜率为，
又由，此时，即，
根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D正确.
故选：AD.
（多选题）6．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线与圆，则（ ）
A．直线与圆C相离
B．直线与圆C相交
C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系可判断.
【详解】
由圆，可知其圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.
故选：BD
7．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）
【答案】相交
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离与半径的关系判断即可.
【详解】
圆心到直线的距离为，则直线与圆的位置关系是相交.
故答案为：相交
8．（2022·全国·高二课时练习）直线和的位置关系是______．
【答案】相切
【解析】
【分析】
首先得到圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断；
【详解】
解：圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，则直线与圆相切；
故答案为：相切
9．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）
【答案】相交
【解析】
【分析】
首先求出直线过定点坐标，再判断点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；
【详解】
解：直线恒过定点，又，即点在圆内，所以直线与圆相交；
故答案为：相交
10．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
【答案】(1)；
(2)直线l与圆C相交，.
【解析】
【分析】
（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.
(1)
将化为标准方程得：
．
因为圆C的半径为1，所以，得．
(2)
由（1）知圆C的圆心为，半径为1．
设圆心C到直线l的距离为d，则，
所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即．
11．（2022·全国·高二课时练习）判断下列直线l与圆C的位置关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)相切；
(2)相离；
(3)相交.
【解析】
【分析】
求出圆C的圆心和半径，再利用点到直线的距离公式计算判断作答.
(1)
圆的圆心，半径，
则点到直线的距离，
所以直线l与圆C相切.
(2)
圆的圆心，半径，
则点到直线的距离，
所以直线l与圆C相离.
(3)
圆的圆心，半径，
则点到直线的距离，
所以直线l与圆C相交.
12．（2022·江苏·高二课时练习）对于圆，直线，分别根据下列条件，判断直线l与圆C的位置关系：
(1)点在圆C上；
(2)点在圆C外.
【答案】(1)直线与圆相切
(2)直线与圆相交
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆上、圆外求出，与的关系，进而求出 与的关系，判断出直线与圆的位置关系．
(1)
解：圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为点在圆上，所以可得，
所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
(2)
解：因为点在圆外，所以，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
13．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，证明：无论k取何值，直线与圆都有两个交点.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
求得直线恒过定点，判断与圆心的距离与半径的关系，即可得到证明．
【详解】
证明：直线即为，
由可得，
则直线恒过定点，
而圆，即圆心，半径，
所以，
可得在圆内，
即无论取何值，直线与圆都有两个交点．
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
1．（2022·江苏·高二）已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D
【点睛】
解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.
2．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离的最大值，可得出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】
直线过定点，因为，故点在圆外，
圆心，半径为，且，
所以，圆心到直线的距离的最大值为，
所以，圆上的到直线的距离的最大值为，
当直线有公共点时，圆上的到直线的距离的最小值为，
故圆上的点到直线的距离的取值范围是，
且、、，.
故选：D.
3．（2022·江苏·高二）过点的直线与圆交于、两点，当时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用几何关系计算出圆心的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，然后设出直线的方程，利用点到直线的距离公式可取得结果.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为，由已知可得，且，
故为等腰三角形，且，
所以，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与圆相切，不合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得.
故选：C.
4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可
【详解】
直线过定点 ，
曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示
当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 .
当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得
结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点
故选：B
5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离为得出.
【详解】
设圆的半径为，由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为
即，两边平方得，
故选：D
6．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.
【详解】
如下图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，，即.
故答案为：.
7．（2022·安徽省舒城中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解.
【详解】
设点，则，
即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
要在圆上至少存在两点到直线的距离等于，
则需圆心到直线的距离，
解得.
故答案为：
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
圆心到点的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到点坐标，利用直线方程两点式即可求解.
【详解】
因为的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，
即的外接圆方程为．
联立，解得，或，
所以或（与点重合），舍，
所以直线的方程为，即．
故答案为：.
9．（2022·江苏·高二）若圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，求直线l的倾斜角的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的一般方程求得圆心和半径，由圆心到直线的距离建立不等式，求解即可.
【详解】
解：圆的圆心为，半径为．
因为圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，
所以圆心到直线的距离不大于．
故，化简得，即，
即，，，
所以．
10．（2022·江苏·高二课时练习）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系.
【答案】，，相交
【解析】
【分析】
联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可得解；
【详解】
解：直线和圆的公共点的坐标就是方程组的解，消去得，解得或，
所以方程组的解为或.
所以公共点的坐标为，.
因为直线和圆有两个公共点，
所以直线和圆相交.
题型三：切线与切线长问题
1．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件求出参数，再根据切线的性质.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
2．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知圆，过点P（5，5）作圆M的一条切线，切点为N，则切点N到直线PM的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆的方程可得且半径，两点距离公式有，根据圆的切线性质，应用勾股定理有，再应用等面积法求切点N到直线PM的距离.
【详解】
由题设，且半径，故，
又N是切点，则，若切点N到直线PM的距离为，
所以，故.
故选：B
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））若直线与圆相切，则的值是（ ）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
【答案】C
【解析】
【分析】
解方程即得解.
【详解】
解：由题得圆的圆心坐标为半径为1，
所以或.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
记点，圆的圆心为与坐标原点，，
所以，所求切线的斜率为，
故所求切线的方程为，即.
故答案为：.
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，求得，得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】
由题意，圆，可得圆心坐标为，
因为，则，
则过点且与圆相切的直线的斜率为，
根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即，
即点且与圆相切的直线的一般式方程为.
故答案为：
6．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.
【详解】
当直线l的斜率不存在时，因为过点，
所以直线，
此时圆心到直线的距离为1=r，
此时直线与圆相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以，即，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或
故答案为：或
7．（2022·上海金山·高二期中）求过点 的圆 的切线方程__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
利用几何法求出切线的斜率，即可得到切线方程.
【详解】
过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；
当斜率存在，设其为k，则切线可设为.
所以，解得：或.
所以切线方程为：或.
故答案为：或.
8．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）若过点作圆的切线，则切线方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解.
【详解】
由题意可知，，故在圆外，
则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在，
设切线为，即，
则圆心到直线的距离，解得或，
故切线方程为或．
故答案为：或．
9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案.
【详解】
解：圆的圆心为，半径为，
由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，
所以，
由勾股定理得，
所以的最小值为，
故答案为：.
10．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；
【详解】
解：由圆，得到圆心，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
故答案为：
11．（2022·广东·高二阶段练习）过点P（3，4）作圆O：的两条切线，设切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积=______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出，，即得解.
【详解】
解：由题得，，
∴，
∴四边形PAOB的面积．
故答案为：.
12．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点；
(2)过点．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由题知点在圆，且切线斜率存在，进而根据切线与直线垂直求得切线斜率，最后根据点斜式求解即可；
（2）根据题意，分斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可.
(1)
解：因为圆的圆心为，半径为，点在圆上，
所以过点的切线斜率存在，且其与直线垂直，
因为，所以，所求切线的斜率为，
所以，所求切线方程为，即：.
(2)
解：因为圆的圆心为，半径为，
所以，当过点的切线斜率不存在时，其方程为，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即，
所以，圆心到切线的距离为，解得，
所以，切线方程为，即：.
综上，所求切线方程为或
14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
【答案】(1)．（或标准形式）
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
(1)
解：根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，
(2)
解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）
由圆心C到切线的距离，可得
将代入（*），得切线方程为
综上，所求切线方程为或
15．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）已知圆：，动直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
【答案】(1)或；
(2)且，.
【解析】
【分析】
（1）讨论直线斜率不存在易得直线为，再根据两条切线关于对称，结合倾斜角的关系、二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.
（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到的轨迹方程，注意x、y的范围.
(1)
当直线斜率不存在时，显然直线与圆相切且切点为；
所以，对于另一条切线，若切点为，则，又，
所以，由图知：直线的倾斜角的补角与互余，
所以直线的斜率为，故另一条切线方程为，即，此时切点
综上，直线的方程为或.
(2)
由（1）知：直线与圆相交于、两点，则斜率必存在，
设，则，
所以，整理得.
由（1）得：，且.
综上，故的轨迹方程为且，.
16．（2022·江苏·高二课时练习）光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点
为圆心的圆C相切，求圆C的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
求出入射直线与x轴交点，结合入射直线、反射直线斜率关系及点斜式写出反射直线方程，再由直线与圆相切，应用点线距离公式求半径，即可得圆的方程.
【详解】
令，则，可得，故入射直线与x轴交点为，
由反射直线斜率与入射直线斜率互为相反数，则反射直线的斜率为，
所以反射直线为，整理得，
因为反射光线与以点为圆心的圆C相切，
所以圆C的半径，故圆C的方程为.
题型四：弦长问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】
由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
2．（2022·江苏·高二）直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】
令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
3．（2022·江苏·高二）若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（ ）．
A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求解.
【详解】
解：圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
又直线被圆所截的弦长为，
故，即，解得或.
故选：D.
4．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆相交所得的弦长是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设直线与圆交于两点，求出圆心到直线的距离，再根据弦长公式求解即可.
【详解】
根据题意可知，圆的圆心坐标为，半径，
则圆心到直线的距离，
设直线与圆交于两点，
所以，
故答案为：.
5．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆C过点两点，且圆心C在y轴上，经过点且倾斜角为锐角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设圆心坐标，根据可求圆心，根据题意可得圆心C到直线l的距离，代入点到直线距离公式求解．
【详解】
设圆心，由题意可得，即，则
即圆心C的圆心，半径
设直线l：即
根据题意可得圆心C到直线l的距离，解得
故答案为：．
6．（2022·全国·高二课时练习）设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意设圆的圆心为，圆过原点和截y轴所得的弦长为4，由求解.
【详解】
解：如图所示：
由题意设圆的圆心为，
则，解得，
所以圆C的方程是或，
故答案为：或
7．（2022·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
分当直线l的斜率不存在和当直线l的斜率存在时分别讨论求出弦的长，得出面积的表达式，得出最大值，从而得出答案.
【详解】
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则由，得，所以
,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
原点到直线l的距离为：
当且仅当，即时取得等号.
由，解得
由
故直线l的方程为：，即
故答案为：
8．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
【答案】(1)
(2)直线与圆C相交，弦长为
【解析】
【分析】
（1）圆C的方程为:，再代入求解即可；
（2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可
(1)
设圆C的方程为:，
由题意得:，
消去F得: ，解得: ，
∴ F=-4，
∴圆C的方程为:.
(2)
由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径;
点到直线的距离，故直线与圆C相交，
故直线被圆C截得的弦长为
9．（2022·福建·高二学业考试）求直线被圆截得的弦长．
【答案】
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果.
【详解】
解：圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
因此，直线被圆截得的弦长为.
10．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）过点作圆的割线，割线被圆截得的弦长为，求该割线方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
由于点在圆的外部，设割线方程为．根据圆心到割线的距离为，解得的值，可得割线的方程.
【详解】
设割线方程为，即．
由于圆心到割线的距离为，解得，或，
故割线的方程为或．
11．（2022·江苏·高二）已知圆M过点．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．
【答案】(1)
(2)6或16
【解析】
【分析】
（1）设圆的一般方程，将点代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据直线与圆的弦长公式即可求解．
(1)
设圆M的方程为，
因为圆M过三点，
则
解得，
所以圆M的方程为，
即；
(2)
由题意，得圆心到直线l的距离，
故，即，
解得或16．
故所求b的值为6或16．
12．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)，或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；
（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；
（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.
(1)
圆心到直线的距离，
所以圆的半径为，
所以；
(2)
当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．
直线斜率存在，设直线，
由，得所以切线方程为，或．
(3)
当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
由，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或
题型五：判断圆与圆的位置关系
1．（2022·江苏·高二）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内含 D．外切
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆的方程得到两圆的圆心和半径，通过比较圆心距与半径关系即可判断.
【详解】
由题，圆的圆心为，半径为2；
圆，即，所以圆心为，半径为；
所以两圆圆心距离为，
所以两圆外切.
故选：D
2．（2022·湖南·炎陵县第一中学高二阶段练习）圆与圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】
【分析】
判断圆心距与两圆半径之和、之差的关系即可判断两圆位置关系.
【详解】
由得圆心坐标为，半径，
由得圆心坐标为，半径，
∴，，
∴，即两圆相交.
故选：B.
3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，圆：和圆：的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】B
【解析】
【分析】
求得两圆的圆心坐标与半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，圆：，可得圆心坐标，半径为，
圆：，则圆心坐标为，半径为，
可得两圆的圆心距，
则，即，
所以圆与圆相交.
故选：B.
（多选题）4．（2022·江苏南通·高二期末）已知，圆，，则（ ）
A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离
C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长
【答案】AB
【解析】
【分析】
首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
当时，，所以两圆相交，故A正确；
因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；
圆的一般方程为，
所以两圆的公共弦所在直线方程为，
若圆平分圆的周长，则直线过点，
所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；
故选：AB
5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系为___________.
【答案】相交
【解析】
【分析】
根据圆与圆的位置关系，求出圆心距和半径之间的关系即可得解.
【详解】
的圆心为，半径，
的圆心为，
所以圆心距，
可得，
所以和相交.
故答案为：相交
6．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．
【答案】相交
【解析】
【分析】
由两圆方程可确定圆心和半径；利用圆关于直线对称可知的圆心在直线上，由此可求得；由圆心距和两圆半径之间的关系可得两圆位置关系.
【详解】
由圆的方程知其圆心，半径；
由圆的方程知其圆心，半径；
圆关于直线对称，
直线过圆心，即，解得：，
圆心，；
两圆圆心距，则，
又，，，即，
圆与圆相交.
故答案为：相交.
7．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】
把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.
【详解】
化为，
化为，
则两圆圆心分别为：，，半径分别为：，
圆心距为，，
所以两圆相交.
故答案为：相交.
8．（2022·江苏·高二）（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标.
【答案】（1）圆内含于圆；（2）证明见解析，切点为
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和（差）比较，即可判断；
（2）首先将圆的方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和比较，即可证明，再两圆方程作差得到直线方程，联立直线与圆的方程，即可求出切点坐标；
【详解】
解：（1）圆，即圆，圆心，半径；
圆，即圆，圆心，半径，
所以，所以，所以两圆内含，即圆内含于圆；
（2）证明：圆①，即圆，圆心，半径；
圆②，即圆，圆心，半径，
所以，所以，所以两圆相外切；
①②得，即，
则，解得，即切点坐标为
9．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.
【答案】(1)外离；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)判断两圆圆心距和两圆半径之和及半径之差的关系即可判断两圆的位置关系；
(2)根据圆的性质可知，作关于(1，2)关于x轴的对称点，则，据此即可求得答案．
(1)
圆的圆心为(1，2)，半径为1，圆的圆心为(3，4)，半径为，
∵，∴两圆外离；
(2)
，
作(1，2)关于x轴的对称点，
则当、P、三点共线时，所求最小值为．
10．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组中两个圆的位置关系：
(1)与；
(2)与；
(3)与．
【答案】(1)内切；
(2)外切；
(3)相交.
【解析】
【分析】
求出每个问题中的两个圆的圆心坐标及对应的半径，再利用几何法判断作答.
(1)
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，
所以与内切.
(2)
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，
所以与外切.
(3)
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，有，
所以与相交.
11．（2022·全国·高二课时练习）判断圆与圆的位置关系，并画出两圆，的图形．
【答案】外切；图形见解析.
【解析】
【分析】
求出两个圆的圆心及半径，再求出圆心距即可判断，画出图形.
【详解】
依题意，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则有，
所以圆与外切，其图形如下：
12．（2022·全国·高二课时练习）求证：圆与圆不可能相外切．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和的关系，即可判断；
【详解】
解：圆，即，圆心，半径；
圆，即，圆心，半径，所以，，则，所以，即，所以圆与圆相离，即不可能相外切；
题型六：由圆的位置关系确定参数
1．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意圆、相离，则，分别求圆心和半径代入计算．
【详解】
圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径
根据题意可得，圆、相离，则，即
∴
故选：A．
2．（2022·全国·高二课时练习）古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
直接设点P，根据可以求得点P的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或．
【详解】
设点P
∵即
整理得：
∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，
∵圆的为圆心，半径的圆
由题意可得：或
∴或
故选：C．
3．（2022·江苏·高二）已知圆与圆内切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将圆化为标准形式确定圆心和半径，即知内切于则，结合基本不等式求的最小值.
【详解】
由题设，，，
又与内切，而，且，
所以内切于，则，故，当时等号成立.
所以的最小值为.
故选：B
4．（2022·江苏·高二）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得点轨迹，转化为有交点问题
【详解】
，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
5．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.
【详解】
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
因为两圆相外切，所以，解得，
故选：D
6．（2022·广东深圳·高二期末）若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】
将圆C的方程化为标准方程得，
所以．因为圆C上有到的距离为1的点，
所以圆C与圆：有公共点，所以．
因为，所以，
解得，
故选：C．
7．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
圆是以为圆心，1为半径的圆，直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点只需圆与直线有公共点即可，由此能求出的取值范围．
【详解】
解：圆的方程为，整理得：，
即圆是以为圆心，1为半径的圆；
又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
只需圆与直线有公共点即可．
设圆心到直线的距离为，
则，即，
．
故选：A．
8．（2022·安徽·高二开学考试）若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆关于y＝x对称后的圆的方程，问题等价于圆与圆有交点，则圆与圆的圆心距应该介于两圆半径之和与半径之差的绝对值之间，由此可求r的范围.
【详解】
点P(x，y)关于y＝x对称点为Q(y，x)，
∴圆的圆心为，半径为r，其关于的对称圆方程为：，根据题意，圆与圆有交点.
又圆与圆的圆心距，
要满足题意，只需，解得：.
故选：A.
9．（2022·江苏·高二）在平面直角坐标系中，， ，动点满足，的轨迹方程为____，的轨迹与圆有公共点，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
第一空：设出，由直接求解即可；
第二空：两圆相交或相切，根据圆心距和半径之间的关系列出不等式求解即可.
【详解】
设，由得，化简得；
的轨迹与圆有公共点，两圆心分别为，圆心之间的距离为4，
故，解得.
故答案为：；.
10．（2022·江苏·高二）设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出圆心距，根据圆的对称性得出.
【详解】
由可得
故答案为：
11．（2022·江苏·高二）已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆外切，求实数m的值;
(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.
【答案】(1)m=5
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；
（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.
(1)
圆：，则，半径r1=1，
由圆：，得，
则 ，半径.∵圆与圆外切，
∴，∴，解得m=5.
(2)
由(1)得m=5，圆的方程为，
则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离，
当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意;
当直线l斜率为k时，则直线方程为，
化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离，
解得k=0，得直线方程为y=1.
综上，直线l的方程为或.
12．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆心距等于半径和求解得圆C的半径，再求解方程即可.
【详解】
解：由题知的圆心为，，
因为以为圆心，且与圆相外切，设圆C的半径为，
所以 ，即，
所以，
所以圆C的方程为
题型七：公共弦与切点弦问题
1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将两圆方程作差可得出两圆相交弦所在直线的方程.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为，则，
所以，圆与圆相交，
将两圆方程作差得，即.
因此，两圆的相交弦所在直线的方程为.
故选：A.
2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（ ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得公共弦所在直线方程，利用直线截圆所得弦长的计算公式，即可求得结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径；对圆，其圆心为，半径，
圆心距，又，故两圆相交，设交于两点.
故所在直线方程为：，
整理得：，故到直线的距离，
故.
故选：B.
3．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出以为圆心，为半径为圆的方程，再求两个圆的公共弦方程即可.
【详解】
根据题意，设，圆的圆心为，半径，
有，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即，
公共弦所在的直线即直线，
则，变形可得；
即直线的方程是；
故选：B.
【点睛】
求两个圆的公共弦方程的方法就是两个圆的方程相减，消去x、y平方项，变成关于x、y的一次方程.
4．（2022·全国·高二课时练习）若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
圆心为在轴上，因此关于对称，即轴，在四边形中易求得的长．
【详解】
圆标准方程是，圆心为，半径为，
所以关于对称，即关于轴对称，而，，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】
结论点睛：过圆外一点作圆的切线，切点为，则的垂直平分线是，则由面积法得切点弦长．
5．（2022·江苏·高二）已知圆与圆相交于A，B两点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题知直线的方程为，进而根据几何法得弦，再在中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.
【详解】
解：因为圆与圆相交于A，B两点，
所以直线的方程为：，即，
所以圆心到弦的距离为，
所以弦，
所以在中，，由余弦定理得，
所以
故答案为：
6．（2022·全国·高二期末）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【解析】
【分析】
设Q的坐标为(m，n)，根据方程，写出切点弦AB所在直线方程，利用的关系，求得动直线恒过的定点坐标.
【详解】
由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1).
故答案为：(1，－1).
7．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.
【答案】
【解析】
已知圆的圆心，点在以为直径的圆上，两圆相减就是直线的方程.
【详解】
，圆心，
点在以为直径的圆上，，所以圆心是 ，
以为直径的圆的圆的方程是，
直线是两圆相交的公共弦所在直线，所以两圆相减就是直线的方程，
，
所以直线的一般式方程为.
故答案为：
【点睛】
结论点睛：过圆外一点引圆的切线，那么以圆心和圆外一点连线段为直径的圆与已知圆相减，就是切点所在直线方程，或是两圆相交，两圆相减，就是公共弦所在直线方程.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆和.圆和公共弦方程为___________；圆和公共弦的长度为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
联立两圆方程得出圆和公共弦方程，联立得出两圆交点坐标，进而得出圆和公共弦的长度.
【详解】
和两式相减得出，即圆和公共弦方程为
设圆和相交于两点，由可得
则圆和公共弦的长度为
故答案为：；
9．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
(1)
将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)
设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)
由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
10．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值．
【答案】8
【解析】
【分析】
两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得a＋b＝2，根据和基本不等式即可求的最小值．
【详解】
圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为，
∵点(，)在两圆的公共弦上，∴，
∴，当且仅当，即、时等号成立，
∴的最小值为8．
11．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最
小的圆的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆，联立两圆，求得公共弦方程，再求得两圆圆心连线的方程，即可求得圆心坐标，根据弦长公式，求得弦AB的长，可得圆的半径，即可得答案.
【详解】
设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．
联立，可得直线AB的方程为．
又圆M的圆心，圆N的圆心
所以两圆圆心连线的方程为．
解方程组，可得圆心坐标为．
圆心到直线AB的距离为，圆M的半径为，
弦AB的长为，则所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为．
12．（2022·江苏·高二）圆的方程为，圆的圆心，若圆与圆交于A、B两点且，求圆的方程.
【答案】圆或．
【解析】
【分析】
可设圆，则公共弦的方程为，利用的长度为可得到的距离从而得到大小．
【详解】
解：设圆，
因为圆，
此两圆的方程相减即得两圆公共弦，
则圆心O1到直线的距离，
故或者，
故圆或．
13．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.
(1)求圆C的方程；
(2)当时，求线段AB的长；
(3)当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)4.
【解析】
【分析】
(1)根据圆的圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a；
(2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长；
(3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短.
(1)
由题，设圆C的标准方程为，
则，解得.
故圆C方程为；
(2)
根据题意可知，直线的方程为，即，
圆心C到直线的距离为，
故弦长；
(3)
设，则，又直线方程为：，
故直线过定点Q，
设圆心C到直线的距离为，则，
故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，
∴线段长度的最小值4.
题型八：公切线问题
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】
【分析】
得出两圆的位置关系后判断
【详解】
两圆的圆心分别为和，半径分别为2和3，圆心距，则两圆外切，公切线有3条．
故选：C
2．（2022·江苏·高二）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知条件判断圆与圆的关系，进而可以求解.
【详解】
由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线.
故选：B.
3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】
【分析】
求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆外离，
所以两圆共有4条切线.
故选：D.
4．（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.
【详解】
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.
圆心距为，由于，即，
所以，两圆相交，公切线的条数为.
故选：B.
5．（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
当最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC：与联立联立求得，和PC的中点坐标及，可得以PC为直径的圆的方程与圆C的方程相减可得答案．
【详解】
由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，
所以 ，
当最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC：，即，
联立得所以，
PC的中点为，，
以PC为直径的圆的方程为，
即，
与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程．
故选：B．
6．（2019·河北·高二学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得.
【详解】
如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质.
（多选题）7．（2022·全国·高二课时练习）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ）
A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．与的公切线的方程为
C．所在圆与 所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．所在的圆截直线所得弦的长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题已知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，故此可写出各段圆弧所在的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项.
【详解】
解：由题意得：
A选项：、、所在的圆的方程分别为，，.曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；
B选项：设与的公切线方程为，则，所以
，，所以与的公切线方程为，即，故B正确；
C选项：由和两式相减得，即为公共弦所在的直线方程，故C正确；
D选项：所在的圆的方程为，圆心，圆心到直线的距离，则所求的弦长为，故D正确.
故选：BCD
8．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））圆和圆的公切线的条数为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.内含关系0条公切线，内切关系1条公切线，相交关系2条公切线，外切关系3条公切线，外离关系4条公切线。
【详解】
由题知圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
所以，，所以两圆外切，
所以两圆共有3条公切线.
故答案为：3
9．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
10．（2021·全国·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程
及内公切线的长．
【答案】或，8
【解析】
【分析】
利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程.
【详解】
，，，．
设内公切线与连心线交于点，则在轴上且．
设，可得，．
设内公切线所在直线方程为，即．
由，得．
所以内公切线所在直线方程为或．
内公切线的长为．
【点睛】
当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率.
题型九：圆中范围与最值问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】
由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
2．（2022·广西梧州·高二期中（理））已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.
【详解】
依题意，半径为2的圆经过点，
所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
所以圆心到原点的距离的最小值为.
故选：B.
3．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．-1 B． C．+1 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.
【详解】
变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.
故选：A
4．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得直线恒过定点，由时， 取得最小值求解.
【详解】
直线可化为，
由，解得，
所以直线恒过定点，
当时， 取得最小值，此时，
所以,
故选：D
5．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）若是直线上的动点，PA、PB与圆相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性及三角形的面积公式将问题转化为求最小，再由勾股定理及点到直线的距离公式可求解.
【详解】
由圆，得到圆心，半径，
由题意可得：，，，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线：上的动点，
当时，有最小值，，
所求四边形的面积的最小值为8.
故选：D.
6．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二开学考试）若直线始终平分圆
的周长，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出圆心坐标，再借助“1”的妙用计算作答.
【详解】
圆，即的圆心为，依题意，点在直线上，
则有，整理得，而，
于是得，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为4.
故选：D
7．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为2＋，最小值为—2－
B．最大值为2＋，最小值为2－
C．最大值为－2＋，最小值为－2－
D．最大值为—2＋，最小值为2－
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何意义，把可看作圆上任意一点与定点连线的斜率，利用几何法求最值.
【详解】
可化为.
可看作圆上任意一点与定点连线的斜率.
记，则，记为直线l.
当直线与圆相切时，k可以取得最值.
此时圆心到直线的距离，解得：.
所以.
故选：B.
8．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线与圆交于 两点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直线过圆内的定点，点在圆上，则即为圆的内接三角形，根据圆内接三角形面积最大时为正三角形，即可求解.
【详解】
直线即，
所以直线过定点 ，因为，故该点在圆内，
又点在圆上， 故为圆的内接三角形，
当圆的内接三角形面积最大时，其为正三角形，
可知，圆的内接正三角形边长为 ，
故面积的最大值为 ，
故选：A
9．（2022·山东德州·高二期末）已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】
解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
10．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线方程可知恒过定点，结合条件可得圆心C到直线的距离的最大值为，由几何知识可知CA垂直直线时，圆心C到直线的距离的最大，利用两点间距离公式即求.
【详解】
∵直线，
∴，令，得，
∴直线恒过定点，
∵圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，
∴圆心C到直线的距离的最大值为，
又圆心C在直线上，
∴可设，当直线CA垂直直线时，圆心C到直线
的距离的最大，
∴，解得，
故圆心，
∴圆C的标准方程为.
故选：A.
11．（2022·湖南郴州·高二期末）已知圆与圆相交于A B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.
【详解】
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，，即圆与相交，直线AB方程为：，
圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，
所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.
故选：A
12．（2022·湖北襄阳·高二期末）已知x，y是实数，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将方程化为圆的标准方程，则的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，进而根据直线与圆相切求得答案.
【详解】
方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率，设，即，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB时斜率最大.

此时，，，所以的最大值为.
故选：D．
13．（2022·四川内江·高二期末（文））几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.
【详解】
解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，
将点、的坐标代入圆的方程得，
解得或（舍去），因此，点的横坐标为，
故选：A.
14．（2022·江苏南通·高二开学考试）圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
得直线的定点坐标以及圆心的坐标与圆的半径，由题意，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到直线所过定点的距离最大，求解圆心到定点距离，再利用圆上任意点到定点距离最大值的求解方法计算.
【详解】
直线所过的定点坐标为，圆C：的圆心坐标为，半径为，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到定点的距离最大，已知圆心到定点的距离为，所以距离的最大值为.
故选：B
15．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆的割线定理，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】
圆的圆心坐标为：，半径，
由圆的割线定理可知：，显然有，或，
因为，所以，
于是有，
因为，
所以，而，或，
所以，
故选：D
16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（理））已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答.
【详解】
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，
因圆、没有公共点，则有或，
即或，又，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
17．（2022·四川资阳·高二期末（理））已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径
【详解】
将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是
故选：D
18．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】
由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C

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