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第14讲 双曲线
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
知识点诠释：
1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2． 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3． 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
6．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
7．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆 双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0）
， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
知识点诠释：
8．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
9．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
10．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
11．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.
对称性
对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴 实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点五：双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.
知识点六：双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：双曲线的定义、条件
例1．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
例2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））平面上有两个定点A，B及动点P，命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例3．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
例5．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
例6．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
例7．（2022·全国·高二课时练习）方程，若两实数异号，则它的图像是（ ）．
A．圆，且圆心在轴上 B．椭圆，且焦点在轴上
C．双曲线，且焦点在轴上 D．双曲线，且焦点在轴上
例8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二学业考试）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2021·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，双曲线的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：求双曲线的标准方程
例12．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例14．（2022·广东汕尾·高二期末）中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·全国·高二期末）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
例16．（2022·上海市宝山中学高二期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______.
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为______．
例18．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点 ，双曲线上的一点P到 的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
例19．（2022·江苏·高二）经过两点，的双曲线的标准方程为______．
例20．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为___________.
例21．（2022·全国·高二课时练习）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
例22．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为 ，经过点.
例23．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
例24．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为6，顶点为，；
(2)顶点为，，虚轴长为2；
(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．
例25．（2022·全国·高二课时练习）求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.
题型三：双曲线的综合问题
例26．（2022·安徽·高二阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
例28．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
例29．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例31．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例32．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
题型四：轨迹方程
例33．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例34．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1
例35．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（） B．（）
C． D．
例36．（2022·河北邢台·高二期末）设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______．
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
例38．（2022·全国·高二课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
例39．（2022·全国·高二单元测试）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
例40．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
例41．（2022·辽宁辽阳·高二期末）设，则动点P的轨迹方程为________．
例42．（2022·四川乐山·高二期末（理））从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
例43．（2022·江苏·高二）已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.
例44．（2022·全国·高二课时练习）已知，两点，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为1，求动点P的轨迹方程，并指出其轨迹的图形.
例45．（2022·江苏·高二课时练习）已知点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离和它到定直线l：x＝的距离之比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹方程．
例46．（2022·江苏·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切．
例47．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程．
例48．（2022·江苏·高二课时练习）已知定圆和的半径分别为1和2，，动圆M与圆内切，且与圆外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
例49．（2022·全国·高二课时练习）如果过点的直线与过点的直线相交于点M，而且两直线斜率的乘积为a，其中．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)讨论M的轨迹是何种曲线．
例50．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）双曲线， 为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
题型五：双曲线的简单几何性质
例51．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例52．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线与双曲线具有共同的（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线方程下列说法中正确的有（ ）
A．焦点坐标
B．该双曲线的图象过点
C．焦距为10
D．双曲线上存在点P，使得且
例54．（2022·江苏·高二）设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
例55．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．
例56．（2022·江苏·高二）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例57．（多选题）（2022·福建厦门·高二期末）曲线，则（ ）
A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称
C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点
例58．（多选题）（2022·广东茂名·高二期中）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则
例59．（2022·北京市第五中学高二期中）双曲线的一条渐近线方程为，则______________，双曲线的焦距为_____________．
例60．（2022·江苏·高二）双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
例61．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的焦距是______．
例62．（2022·全国·高二课时练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
例63．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为_________.
例64．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
例65．（2022·江苏·高二）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
例66．（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
例67．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为
______．
例68．（2022·全国·高二课时练习）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：
(1)；
(2)．
题型六：求双曲线的离心率
例69．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例70．（2022·江苏·高二）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
例71．（2022·江苏·高二）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·江苏·高二）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
例73．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知双曲线()的左 右焦点分别为
为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
例75．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．3 C．5 D．
例76．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·江苏·高二）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，线段与双曲线的左支相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例78．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））椭圆:=1（）的中心在坐标原点，为左焦点，为右顶点，为短轴的端点，当丄时，椭圆的离心率为，我们称此类椭圆为“
黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
例79．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦点为，，双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例80．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆与双曲线焦点重合，该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例81．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知，是双曲线的左 右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例82．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
例83．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例84．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例85．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型七：求双曲线离心率的取值范围
例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例87．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例88．（2022·江西赣州·高二阶段练习（文））圆上有四个点到双曲线
的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
例89．（2022·河北·临城中学高二开学考试）已知双曲线的焦距大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，两点，若双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例91．（2022·湖南邵阳·高二期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例92．（2022·广东广州·高二期末）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例93．（多选题）（2022·江苏·高二）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
例94．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
例95．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
例96．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共的焦点 ，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
例97．（2022·河南郑州·高二期末（文））若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．
例98．（2022·广西·宾阳中学高二期末（文））已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若
，则的取值范围是______．
例99．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
例100．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））若双曲线的左、右焦点为、，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为______．
例101．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________．
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
例102．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例103．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为 ，则双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． B． C． D．
例104．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））若双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例105．（2022·河南三门峡·高二期末（文））若双曲线的离心率为3，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例107．（2021·江苏·高二单元测试）已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
例108．（2021·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中（理））双曲线的离心率为2，则k的值为（ ）
A．-35 B．19 C．-5 D．12
例109．（多选题）（2022·浙江衢州·高二阶段练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
例110．（多选题）（2022·云南·江川一中高二阶段练习）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例111．（多选题）（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
例112．（2022·陕西西安·高二期末（理））焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
例113．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
例114．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
题型九：双曲线中的范围与最值问题
例115．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆
，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
例116．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例117．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
【详解】
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s－t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a－m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2，
∴，
可得，
即有，
即，
可得
则3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，
当且仅当，即，取得最小值3．
故选：B．
例118．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例119．（2022·陕西·西安中学高二期末（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
例120．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
例121．（2022·全国·高二期末）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例122．（2022·甘肃·兰州一中高二期末（文））椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例123．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知双曲线的上 下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．的最小值为8
C．周长的最小值为
D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
例124．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
例125．（2022·广东珠海·高二期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.
例126．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，，
分别是圆和上的点，则的最大值为________.
例127．（2022·全国·西北工业大学附属中学高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率e的最大值为________．
例128．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围是______．
例129．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
例130．（2022·江苏·高二）已知双曲线，P是双曲线上一点.
(1)求证：点到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.
(2)已知点，求的最小值.
例131．（2022·江苏·高二课时练习）已知点A(3, 2), F(2, 0)，点P在双曲线x2－＝1上．
(1)当|PA|＋|PF|最小时，求点P的坐标；
(2)求|PA|＋|PF|的最小值．
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2 ≥ |AF′|－2＝.
所求|PA|＋|PF|的最小值为.
题型十：焦点三角形
例132．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
例133．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左 右焦点分别是 ，过的弦AB与其右支交于A B两点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例134．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例135．（2022·重庆·高二期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例136．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例137．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例138．（2022·江西赣州·高二期末（理））设双曲线与椭圆：有公共焦点，.
若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例139．（2022·天津和平·高二期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例140．（2022·全国·高二）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
例141．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例142．（2022·天津南开·高二期末）过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（ ）
A．28 B． C． D．
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．第14讲 双曲线
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
知识点诠释：
1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2． 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3． 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
6．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
7．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆 双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0）
， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
知识点诠释：
8．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
9．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
10．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
11．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.
对称性
对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴 实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点五：双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.
知识点六：双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：双曲线的定义、条件
例1．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表示的几何意义，结合双曲线定义，可判断答案.
【详解】
点的坐标满足,
即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，
即 ,且 ，
故动点P的轨迹是双曲线的一支，
故选：B
例2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））平面上有两个定点A，B及动点P，命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若，则点P的轨迹是一条射线，故甲推不出乙；
若点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，则或，
其中，为双曲线的实半轴长，
故不是定值，故乙推不出甲，
故选：D.
例3．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的定义即可求解.
【详解】
解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
例4．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得到A，B两个哨所的距离差为定值，小于A，B两个哨所之间的距离，满足双曲线的定义，可解.
【详解】
设炮弹爆炸点为P，则，故炮弹爆炸点的轨迹是双曲线.
故选：D.
例5．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离只差可知.
【详解】
由题意及图可知，，
因为O、M分别为的中点，所以，所以
故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线.
故选：A
例6．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
【答案】D
【解析】
【分析】
化简方程，然后判断表示的曲线即可．
【详解】
当ab＜0时，方程化简得，
∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；
故选：D．
例7．（2022·全国·高二课时练习）方程，若两实数异号，则它的图像是（ ）．
A．圆，且圆心在轴上 B．椭圆，且焦点在轴上
C．双曲线，且焦点在轴上 D．双曲线，且焦点在轴上
【答案】D
【解析】
【分析】
把变形为即可得到答案.
【详解】
解：因为异号，所以，.
方程变形为：，
进而变形为：.此方程是焦点在轴上的双曲线的标准方程.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的辨析，属于基础题.
例8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二学业考试）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由方程确定，求出后得离心率，列不等式可得范围．
【详解】
由题意双曲线的离心率为，，．
故选：C．
例9．（2021·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】B
【解析】
【分析】
就不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，当m＞n＞0时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别讨论，、，、，三种情况时和所表示的曲线，结合排除法即可得正确选项.
【详解】
因为，
当，时，不表示任何曲线，
当，时，表示焦点在轴上的双曲线，直线表示过第一、三、四的直线，故选项D正确；
当，时，表示焦点在轴上的双曲线，直线表示过第一、二、四的直线，故选项B不正确；
当，时，表示椭圆，直线表示过第一、二、三的直线，故选项A、C不正确；
故选：D.
例11．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，双曲线的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线特征，直接判断选项.
【详解】
A是椭圆的图象，B是圆的图象，C是直线的图象，D是双曲线的图象.
故选：D
题型二：求双曲线的标准方程
例12．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求出a,b即可求得答案.
【详解】
由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
例13．（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.
【详解】
椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
例14．（2022·广东汕尾·高二期末）中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．
【详解】
解：设双曲线的方程为．
由已知得：，，
再由，，
双曲线的方程为：．
故选：D．
例15．（2022·全国·高二期末）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线的性质列出方程组得出标准方程.
【详解】
因为渐近线为，所以，解得
即双曲线的标准方程为
故答案为：
例16．（2022·上海市宝山中学高二期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
求得，由此求得双曲线的标准方程.
【详解】
由于双曲线的一个焦点坐标为，
所以双曲线的焦点在轴上，，
实轴长，，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线中心在原点，且以椭圆
的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
化椭圆方程为标准方程，求出焦点坐标，从而可得，再根据双曲线的焦距可得，再求出，即可得解.
【详解】
解：椭圆化为标准方程，
则椭圆的交点坐标为，
设双曲线标准方程为，
则，
由题意双曲线的焦距，则，
所以，
所以双曲线标准方程为.
故答案为：.
例18．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点 ，双曲线上的一点P到 的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.
【详解】
因为双曲线的焦点为 ，故可设其方程为，且，
根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，
则所求所曲线方程为：.
故答案为：.
例19．（2022·江苏·高二）经过两点，的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
【详解】
设双曲线方程为，依题意有，解得，
所以所求双曲线的标准方程为：.
故答案为：
例20．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上并求出焦点，由此可设双曲线的标准方程为，将点代入，即可求出结果.
【详解】
∵椭圆的焦点为，
∴所求双曲线的焦点为，
设双曲线方程为，把代入，得，解得或（舍），
∴双曲线的标准方程为．
故答案为：.
例21．（2022·全国·高二课时练习）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
【答案】
【解析】
【详解】
椭圆
∴ a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9
且 椭圆焦点在y轴上
∴ 双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8
即 a＝3，b＝4，c＝5
∵ 焦点在y轴上
∴ 双曲线方程为：
例22．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为 ，经过点.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）待定系数法去求满足条件的双曲线的标准方程；
（2）待定系数法去求满足条件的双曲线的标准方程.
(1)
由题设知，，，由，得.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为；
(2)
由已知得，且焦点在y轴上.因为点在双曲线上，
所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，
即，
则，.
因此，所求双曲线的标准方程是.
例23．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）设出双曲线方程，根据，结合双曲线定义，即可求得结果；
（2）设出双曲线方程，根据，即可求得结果；
（3）设出双曲线方程，待定系数，即可求得双曲线方程.
(1)
因为双曲线的焦点在轴上，故可设方程为：，
又焦点为，，故可得，
又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即，则，
又.
故双曲线方程为：.
(2)
因为双曲线焦点在轴上，故可设双曲线方程为，
又其焦距为10，故可得；
又该双曲线过点，则，故，
故双曲线方程为：.
(3)
不妨设双曲线方程为：，
因其过点，，故可得，
联立方程组可得：，
故所求双曲线方程为：.
例24．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为6，顶点为，；
(2)顶点为，，虚轴长为2；
(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）设双曲线方程，由题意可求得 ，继而求得 ，可得答案；
（2）设双曲线方程，由题意可求得 ，可得答案；
（3）设双曲线方程，由题意可求得 ，将点的坐标代入方程中，求得 ，可得答案；
(1)
设双曲线的标准方程为 ，
则 ，故 ，
所以双曲线的标准方程为；
(2)
设双曲线的标准方程为 ，
则 ，故 ，
所以双曲线的标准方程为；
(3)
若设双曲线的标准方程为 ，
其中 ，即，
将代入双曲线方程，得：，故 ，
所以双曲线的标准方程为；
若设双曲线的标准方程为 ，
其中 ，即，
将代入双曲线方程，得：，解得 ，不合题意，
所以双曲线的标准方程为；
例25．（2022·全国·高二课时练习）求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设出所求双曲线的方程，待定系数即可求得结果.
【详解】
设所求双曲线方程为：，
因为其过点，故可得：，
整理得，即，
解得（舍）或，
故所求双曲线方程为：.
题型三：双曲线的综合问题
例26．（2022·安徽·高二阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件画出曲线，利用数形结合即可求解.
【详解】
曲线由三段曲线组成，分别是：双曲线 圆 双曲线，
其中是那两段双曲线的渐近线，曲线如下图所示，
，其中代表曲线C上任一点到直线的距离，距离的最大值即为圆的半径，双曲线无限趋近于渐近线，
由此可知距离，故的取值范围为，
故选：.
例27．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.
【详解】
双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，
因，由双曲线定义得，解得，，
显然有，即是直角三角形，
所以的面积.
故选：A
例28．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离结合条件求出，然后由双曲线的定义结合余弦定理可得出，由条件求出,，结合三角形的面积公式可得出答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程为：，
因为点到该双曲线渐近线的距离为1，所以．
由题意，则 （1）
由余弦定理可得 （2）
将（1）代入（2）可得．
因为，所以，，
所以，
故的面积为．
故：D
例29．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
不妨取双曲线的一条渐近线为，利用点到直线的距离公式求出，再求出的方程，联立求出的坐标，即可得到，再根据，即可求出渐近线方程；
【详解】
解：依题意不妨取双曲线的一条渐近线为，，，
所以到直线的距离，
又的斜率为，所以的方程为，
由，解得，即，
所以，
因为，所以，即，
即，又，所以，
所以渐近线方程为；
故选：B
例30．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用“点差法”求出l的斜率，再验证作答.
【详解】
设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，
所以l的斜率为2.
故选：C
例31．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果
【详解】
由，得，渐近线方程为，
由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为
，
故选：C
例32．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
故选：A
题型四：轨迹方程
例33．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】
解：如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．
例34．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线定义求解
【详解】
,则
根据双曲线定义知的轨迹为的左半支
故选：A
例35．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（） B．（）
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合圆相切时满足的条件以及双曲线的定义即可求出结果.
【详解】
设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，
所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．
故选：D.
例36．（2022·河北邢台·高二期末）设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______．
【答案】 l
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；
【详解】
解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为．
故P到坐标原点的距离的最小值为．
故答案为：；；
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.
【详解】
由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
例38．（2022·全国·高二课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
【答案】(或).
【解析】
【分析】
设直线为联立双曲线，根据交点情况有求m范围，再应用韦达定理求出弦的中点坐标，进而确定其轨迹方程，注意范围.
【详解】
设直线为，与双曲线交点为，
联立双曲线可得：，则，即或，
所以，故，则弦中点为，
所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
例39．（2022·全国·高二单元测试）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出两个圆的圆心和半径，设动圆圆心为的半径为，，结合双曲线的定义即可求解.
【详解】
设圆为可得圆心，半径，
设圆为可得圆心，半径，且，
设动圆圆心为，半径为，因为动圆同时与圆外切和圆外切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
例40．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.
【详解】
由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,
当动圆与圆，圆外切时,,,
所以,
因为圆心,，即，又
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，
所以,则动圆圆心的轨迹方程是；
故答案为：
例41．（2022·辽宁辽阳·高二期末）设，则动点P的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义可得答案.
【详解】
因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为．
故答案为：.
例42．（2022·四川乐山·高二期末（理））从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意，设，进而根据中点坐标公式及点P在已知双曲线上求得答案.
【详解】
由题意，设，则，则，即，
因为，则，即的轨迹方程为.
例43．（2022·江苏·高二）已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.
【答案】当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；
当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；
当时，轨迹是射线，轨迹方程为；
当时，点不存在.
【解析】
【分析】
分，，和，由分别求轨迹方程即可.
【详解】
当时，易知，即点在的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：；
当时，由，知P点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，
又知，故轨迹方程为；
当时，由知P点的轨迹是射线，轨迹方程为；
当时，显然满足的点不存在.
综上：当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；
当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；
当时，轨迹是射线，轨迹方程为；
当时，点不存在.
例44．（2022·全国·高二课时练习）已知，两点，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为1，求动点P的轨迹方程，并指出其轨迹的图形.
【答案】轨迹方程为，轨迹图形为双曲线（除去两个顶点）
【解析】
【分析】
设，根据斜率的乘积可得轨迹方程及图形.
【详解】
设，则，其中.
故即，轨迹图形为双曲线（除去两个顶点）.
例45．（2022·江苏·高二课时练习）已知点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离和它到定直线l：x＝
的距离之比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹方程．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可.
【详解】
根据题意知点M到定点和定直线的距离之比是常数，
所以，
即(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令c2－a2＝b2，
得．
因此，点M的轨迹方程为．
例46．（2022·江苏·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，求出、的值，可得出圆心的轨迹方程；
（2）分析可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，求出、的值，可得出圆心的轨迹方程.
(1)
解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，，
所以，圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此，圆心的轨迹方程为.
(2)
解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，，
所以，圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此，圆心的轨迹方程为.
例47．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程．
【答案】．
【解析】
【分析】
设出点坐标，利用直线的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程.
【详解】
设A(x，y)，则，
根据题意有，
化简得
∴顶点A的轨迹方程为．
例48．（2022·江苏·高二课时练习）已知定圆和的半径分别为1和2，，动圆M与圆内切，且与圆外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
【答案】，点轨迹为以为焦点的双曲线的左支.
【解析】
【分析】
以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系，根据题意得到（常数），结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，定圆和的半径分别为1和2，且，
以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
设动圆的圆心为，半径为，
因为动圆M与圆内切，且与圆外切，则满足，
所以（常数）且，
根据双曲线的定义，可得点轨迹为以为焦点的双曲线的一支，
且，可得，所以，
所以所求轨迹方程为，
即点轨迹为以为焦点的双曲线的左支.
例49．（2022·全国·高二课时练习）如果过点的直线与过点的直线相交于点M，而且两直线斜率的乘积为a，其中．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)讨论M的轨迹是何种曲线．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）设，根据题意，列出方程，化简即可得答案.
（2）分别分析、、和时方程的性质，分析即可得答案.
(1)
由题意得两直线斜率存在，且都不为0，
设点，则，
整理得：点M的轨迹方程为
(2)
由（1）可得点M的轨迹方程为，
当时，点M的轨迹方程为焦点在x轴，实轴为12，虚轴为的双曲线，且；
当时，点M的轨迹方程为焦点在x轴，长轴为12，短轴为的椭圆，且；
当时，点M的轨迹方程为焦点在y轴，长轴为12，短轴为的椭圆，且；
当时，点M的轨迹方程为以原点为圆心，半径为6的圆，且.
例50．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）双曲线， 为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.
（2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.
(1)
由已知得，，故，所以 ，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
(2)
设动点，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得.
题型五：双曲线的简单几何性质
例51．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果
【详解】
由，得，渐近线方程为，
由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为
，
故选：C
例52．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线与双曲线具有共同的（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线
【答案】D
【解析】
【分析】
求出两双曲线的实轴、虚轴的位置，以及焦点坐标、渐近线方程，可得出合适的选项.
【详解】
双曲线的实轴在轴上，虚轴在轴上，焦点坐标为，渐近线方程为，
双曲线的实轴在轴上，虚轴在轴上，焦点坐标为，渐近线方程为，
因此，双曲线与双曲线具有共同的渐近线.
故选：D.
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线方程下列说法中正确的有（ ）
A．焦点坐标
B．该双曲线的图象过点
C．焦距为10
D．双曲线上存在点P，使得且
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的标准方程及性质依次判断4个选项即可.
【详解】
易知焦点坐标在轴上，由，焦点坐标为，A错误；
，B错误；
由上知，焦距为，C正确；
若，则重合，显然不在双曲线上，D错误.
故选：C.
例54．（2022·江苏·高二）设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先整理双曲线方程，得到，，从而求出双曲线的虚轴长.
【详解】
整理为：，
由题意得：，故焦点在轴上，，
所以，该双曲线的虚轴长为
故选：C
例55．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的性质求解
【详解】
双曲线的渐近线为，
而双曲线的离心率为，所以，即，得，
故选：D
例56．（2022·江苏·高二）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出，，由此可求其渐近线方程.
【详解】
由双曲线得，所以渐近线方程为，
故选：B
例57．（多选题）（2022·福建厦门·高二期末）曲线，则（ ）
A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称
C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.
【详解】
表示椭圆在x轴上方的部分，
表示双曲线在x轴下方的部分，
作出图象：
双曲线的一条渐近线为，
故选项ACD正确，选项B错误.
故选：ACD.
例58．（多选题）（2022·广东茂名·高二期中）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据双曲线方程求出，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，则，
对于A，双曲线的实轴长为，所以A错误，
对于B，由，得，所以渐近线方程为，所以B正确，
对于C，双曲线的离心率为，所以C错误，
对于D，双曲线的右焦点为，则直线的方程为，设，将代入得，，
所以，
所以
，
所以D正确，
故选：BD
例59．（2022·北京市第五中学高二期中）双曲线的一条渐近线方程为，则______________，双曲线的焦距为_____________．
【答案】 4
【解析】
【分析】
先由渐近线方程求出，即可求出焦距.
【详解】
双曲线的渐近线方程为.
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以.
所以焦距.
故答案为：；4
例60．（2022·江苏·高二）双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式直接求解即可.
【详解】
由题意可知：，
所以右焦点F的坐标为，
该双曲线的一条渐近线的方程为：，
所以F到一条渐近线的距离为：，
故答案为：.
例61．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的焦距是______．
【答案】
【解析】
【分析】
将双曲线方程化为标准方程求解.
【详解】
解：双曲线的标准方程是，
则，
所以，则，
所以焦距是，
故答案为：
例62．（2022·全国·高二课时练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意和双曲线的对称性，得到点和在双曲线上，代入即可求解.
【详解】
由题意，三个点，，中恰有两个点在双曲线上，
因为双曲线的图象关于原点对称，所以点和在双曲线上，
可得，解得.
故答案为：.
例63．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，四边形为矩形，然后由双曲线的定义可得，由勾股定理可得，再由三角形ABF的面积为，可得，三式相结合可求得，从而可得，进而可求得渐近线方程
【详解】
因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，
所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，
因为与相等且平分，
所以四边形为矩形，所以，
设，则，
所以，
因为
所以，
因为三角形ABF的面积为，
所以，得
所以，得，
所以，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
例64．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设P（，）、M（x，y），根据直线的点斜式方程表示出直线PA、QB的方程，整理两直线方程可得，结合点P（，）在双曲线上可得
，进而得出曲线的方程，即可求出离心率.
【详解】
设P（，），则Q（，-），
设点M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），
所以直线PA的方程为①，
直线QB的方程为②．
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
∵P（，）在双曲线上，
∴，可得，∴
∴，化简可得，
即曲线的方程为，其离心率为，
故答案为：.
例65．（2022·江苏·高二）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】
解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
例66．（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】
依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
例67．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题设得渐近线为，设所求双曲线为，，将已知点代入求参数，即可得双曲线方程.
【详解】
由题设，渐近线方程为，令所求双曲线方程为，，
又在双曲线上，则.
所求双曲线方程为
故答案为：
例68．（2022·全国·高二课时练习）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)双曲线实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为
(2)实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为
【解析】
【分析】
根据双曲线的方程写出，根据实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程的定义和公式，求解即可
(1)
由题意，双曲线方程为，故
故双曲线的实轴长为：
虚轴长为：
顶点坐标为：
离心率为：
渐近线方程：
故双曲线实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为
(2)
由题意，双曲线方程为，故
故双曲线的实轴长为：
虚轴长为：
顶点坐标为：
离心率为：
渐近线方程：
故双曲线实轴长为，虚轴长为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为
题型六：求双曲线的离心率
例69．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果.
【详解】
设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，
则，可得，
所以，椭圆的焦点在轴上，则.
故选：C.
例70．（2022·江苏·高二）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的离心率，可得，的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】
因为椭圆的离心率为，
所以，即，解得，
则双曲线的离心率为.
故选：C．
例71．（2022·江苏·高二）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，结合离心率与的关系求解即可
【详解】
由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.
故选：B.
例72．（2022·江苏·高二）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率
【详解】
由是一个等边三角形，可得
即，则有，即
则双曲线C的离心率
故选：A
例73．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知双曲线()的左 右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是△的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】
如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.
例74．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出圆心到渐近线的距离为，再解方程即得解.
【详解】
解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为
,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，
即
双曲线的离心率为.
故选：D
例75．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，利用直角三角形，渐近线的斜率，三角形的面积关系可得关于的方程，化简即可得出双曲线的离心率.
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
由题意知，又，，所以，
若，则，即，
在中，由勾股定理可得，
又，可得，
所以，化简可得，即，
所以，
故选：A
例76．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设的内切圆圆心为，结合双曲线定义可求得为双曲线的右顶点，设，则，利用二倍角正切公式可构造关于的齐次方程，解方程即可求得离心率.
【详解】
设的内切圆圆心为，且与三边相切于点，
，，，
由双曲线定义知：，
，又，
，，为双曲线的右顶点，即的横坐标为，
又的内切圆半径为，，
设，则，
，，
，整理可得：，
，解得：或，又，.
故选：C.
例77．（2022·江苏·高二）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，线段与双曲线的左支相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；
【详解】
解：设，，双曲线的焦距为，由双曲线的定义可知，，
在中有，可得，解得，所以，，
在中，可得，解得，所以离心率；
故选：C
例78．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））椭圆:=1（）的中心在坐标原点，为左焦点，为右顶点，为短轴的端点，当丄时，椭圆的离心率为，我们称此类椭圆为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由可得，得，化简可得，可以变形为，结合可求得答案
【详解】
因为丄，
所以在中，，
因为，
所以，
所以，所以，
解得，
因为，
所以，
故选：B
例79．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦点为，，双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆和双曲线的性质得到，，根据正方形得到等量关系，求出，从而求出离心率.
【详解】
，，
因为四边形是正方形，所以，
解得：，
所以该椭圆的离心率.
故选：C
例80．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆与双曲线焦点重合，该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出焦点坐标，再由双曲线关系列式求解，从而得离心率.
【详解】
椭圆的焦点坐标为，焦半距为，
在双曲线中，，所以，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
例81．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知，是双曲线的左 右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由推出 为 的中点，从而可得， 轴，求出，结合可得到关于a,b,c的齐次式，进而求得离心率.
【详解】
由可得，，即，
则 为 的中点，
由于O为 的中点，故 ，
故 轴，将代入中得： ，
故 ，
因为直线的斜率为 ，故 ,
所以 ，即 ，
故 （负值舍去），故，
故选：D
例82．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用点差法即可．
【详解】
由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
例83．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设双曲线的右焦点为，连接，易证为直角三角形，解出与
代离心率的计算公式即可求解
【详解】
如图所示，设双曲线的右焦点为，连接
因为外接圆的半径为，则
又四边形为菱形，所以
则为正三角形，所以，
因为，所以，又
所以为正三角形，所以，所以
在中，，，
所以
所以
故选：B
例84．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果．
【详解】
因为 ，
所以，即
所以，
由双曲线的定义，知，
设，则，易得，
如图，作，为垂足，
则，所以，即，即双曲线的离心率为.
故选：B．
例85．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由渐近线方程得，再化为即得．
【详解】
一条渐近线方程为，则，
所以．
故选：B．
题型七：求双曲线离心率的取值范围
例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围
【详解】
双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，
故有，即，，
所以，所以.
所以的范围为
故选：A
例87．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，，转化为，即，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.
【详解】
由已知可得，若，
即，右支上的点均满足，
只需的最小值满足即可，
当点在上时，最小，此时，
故，即,
,或，
即或，可得或，
解得或
双曲线的离心率的取值范围为 .
故选：D
例88．（2022·江西赣州·高二阶段练习（文））圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
易得双曲线的一条渐近线为和圆的圆心，半径为5，根据圆C上有四个点到的距离为2，由圆心到的距离求解.
【详解】
双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径为5，
因为圆C上有四个点到的距离为2，
所以圆心到的距离，即，
而，所以，即．
故选：C
例89．（2022·河北·临城中学高二开学考试）已知双曲线的焦距大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的范围，结合离心率公式可求得结果.
【详解】
由题意知，即．
又，且，所以，则．
故选：B.
例90．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，两点，若双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入双曲线方程，求得，根据双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，可得，得出的齐次式，从而可得出答案.
【详解】
将代入双曲线方程得，
所以，
因为双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，
所以，即，即，
所以，从而，解得，
又因为双曲线离心率，所以，
所以双曲线离心率的取值范围为.
故选：B.
例91．（2022·湖南邵阳·高二期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的标准方程为
，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】
设椭圆的标准方程为， ，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
例92．（2022·广东广州·高二期末）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，从而由可知轴，所以在直角三角形中，，由，可得的范围，进而转化为，的不等式，结合可得离心率的取值范围．
【详解】
解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，
由轴，可知轴，
所以，
在直角三角形中，，
因为，
所以，，
即，
所以，
即，
即，
故，
所以.
故选：B．
例93．（多选题）（2022·江苏·高二）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.
【详解】
解：对A：因为，所以，，
所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项A正确；
对B：由A知，所以，所以，
所以双曲线的焦距等于，故选项B错误；
对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即，
所以焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确；
对D：双曲线的离心率，
因为，所以，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
例94．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.
【详解】
联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，
则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.
故答案为：.
例95．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线：
的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
表达出，两点坐标，进而利用向量数量积列出不等式，求出离心率的取值范围.
【详解】
当时，，解得：，
不妨设，
则，
即，
不等式两边同除以得：，
解得：
故答案为：
例96．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共的焦点 ，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】
设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，
由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，
联立可得，，
由余弦定理可得：
即，解得，
因为，所以，，可得，
故，
故答案为：
例97．（2022·河南郑州·高二期末（文））若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.
【详解】
由题意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，
所以，则，又，
综上，双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.
例98．（2022·广西·宾阳中学高二期末（文））已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则的取值范围是______．
【答案】．
【解析】
【分析】
设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由
可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，
由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，
由椭圆及双曲线定义得：，解得，，
因，即，而O是线段的中点，因此有，
则有，即，整理得：，
从而有，即有，又，则有，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
例99．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线方程与双曲线方程，利用根的判别式得到的取值范围，进而求出离心率的取值范围.
【详解】
由，消去，得到，
由题意知，，解得：.
所以，所以.
故答案为： .
例100．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））若双曲线的左、右焦点为、，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设点在第一象限，则，设线段交双曲线的右支于点，利用双曲线的定义结合三角形三边关系推导出，结合双曲线的离心率公式可求得结果.
【详解】
不妨设点在第一象限，则，设线段交双曲线的右支于点，
则，即，
故.
故答案为：.
例101．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，因为点是线段的中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点
在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.
【详解】
解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：
因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，
因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.
故答案为：.
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
例102．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意有，，则，解得：．
故选：C.
例103．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为 ，则双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆与双曲线的方程，求出离心率，，即可得，即可求得的值，即可求得渐近线方程，结合直线的斜率与倾斜角关系，即可求解．
【详解】
解：设椭圆的离心率为，则，
双曲线的离心率为，则，
椭圆和双曲线的离心率之积为1，
，解得，
双曲线的两条渐近线分别为或，
双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为或．
故选：D．
例104．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））若双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意，，，利用，即可求得答案．
【详解】
解：双曲线的方程为：，
，
，
，
，
，
．即
故选：．
例105．（2022·河南三门峡·高二期末（文））若双曲线的离心率为3，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线的离心率为3，即，即，
又由，可得，
所以，
当且仅当，即时，“”成立.
故选：D.
【点睛】
使用基本不等式解答问题的策略：
1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；
2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；
3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.
例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果.
【详解】
设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，
则，可得，
所以，椭圆的焦点在轴上，则.
故选：C.
例107．（2021·江苏·高二单元测试）已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用双曲线的离心率得到，写出直线的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.
【详解】
由于双曲线的离心率为，故，
所以直线的方程为，
设，，又焦点坐标为，
则，，
∴
，
由于，
故当时取得最小值，此时，
当时取得最大值，此时，
则.
故选：A.
例108．（2021·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中（理））双曲线的离心率为2，则k的值为（ ）
A．-35 B．19 C．-5 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
将双曲线转化为标准方程，结合离心率定义可求参数.
【详解】
将双曲线转化为标准方程得，则，，解得.
故选：A
例109．（多选题）（2022·浙江衢州·高二阶段练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据双曲线，椭圆的特征一一计算可得；
【详解】
解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
例110．（多选题）（2022·云南·江川一中高二阶段练习）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
假设点P在第一象限，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为，半焦距为c，根据定义可知，进而解出，再由勾股定理得到间的关系，进而求得答案.
【详解】
根据椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，设椭圆与双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为，根据题意，，联立方程组解得：,而，则，于是，由基本不等式，易知，所以.
故选：AC.
例111．（多选题）（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，
的离心率分别为和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得，而，即可判定；D记，应用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判断.
【详解】
设，的焦距为，由，共焦点知：，故A正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B错；
由且，易得，故C正确；
在△中，记，根据定义．
由余弦定理有．
整理得，两边同时除以，可得，故．
将代入，得．故D正确
故选：ACD．
例112．（2022·陕西西安·高二期末（理））焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将双曲线的方程化为标准式，可得出、，由此可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，
所以，，解得.
故答案为：.
例113．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件求解双曲线的离心率，列出不等式，求解，然后求解虚轴长的范围即可．
【详解】
因为，所以，
所以，所以，解得，
则，故虚轴长.
故答案为：.
例114．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
题型九：双曲线中的范围与最值问题
例115．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
故选：A
例116．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.
【详解】
由题，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为,
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则.
故选：B
例117．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、
e2，则3e12+e22的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
【详解】
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s－t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a－m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2，
∴，
可得，
即有，
即，
可得
则3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，
当且仅当，即，取得最小值3．
故选：B．
例118．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；
【详解】
解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．
故选：C
例119．（2022·陕西·西安中学高二期末（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】
由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
例120．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的的定义可得，于是将问题转化为求的最小值，由得出答案.
【详解】
设双曲线的由焦点为，且点A在双曲线的两支之间.
由双曲线的定义可得,即
所以
当且仅当三点共线时，取得等号.
故选：B
例121．（2022·全国·高二期末）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【详解】
在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
例122．（2022·甘肃·兰州一中高二期末（文））椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆方程为，根据条件列方程求出，即可求出椭圆方程，当点为椭圆短轴端点时角最大，利用余弦定理可求得该角.
【详解】
设椭圆方程为，
则，解得，
则椭圆方程为，
当点为椭圆短轴端点时角最大，
此时，
因为，
故选：D.
例123．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知双曲线的上 下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．的最小值为8
C．周长的最小值为
D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由双曲线的标准方程得出，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的定义判断C,D.
【详解】
对于A：，∴A错误；
对于B：的最小值为，B正确；
对于C：如图，
的周长（当且仅当Q，P，三点共线时取等号），C正确；
对于D：如图，
设的内切圆分别与，，切于点A，B，D，则，，，∴.又，∴，∴，∴M点的纵坐标为3，D正确.
故选：BCD.
例124．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值．
【详解】
解：由双曲线C：，可得，，
所以，所以，，由双曲线的定义可得，
所以，所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以，记，
设，则，
所以，即在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．
故答案为：8．
例125．（2022·广东珠海·高二期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
∴
∴.
故答案为：
例126．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
【答案】9
【解析】
【分析】
先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求的最大值.
【详解】
，，，则
故双曲线的两个焦点为，，
，也分别是两个圆的圆心，半径分别为，
所以，
则
，
故答案为：9
例127．（2022·全国·西北工业大学附属中学高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合已知条件与双曲线的定义可得，再利用余弦定理得到，求出的范围，即可求出结果.
【详解】
设，由，得，由余弦定理得，因为，所以，即，又，所以，所以离心率e的最大值为.
故答案为：.
例128．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
由方程表示双曲线有，求参数a的解集即可.
【详解】
由题设，，可得或.
故答案为：或
例129．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】
因为方程表示双曲线，
所以，即或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
例130．（2022·江苏·高二）已知双曲线，P是双曲线上一点.
(1)求证：点到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.
(2)已知点，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意求得到两条渐近线的距离分别为和，得到，结合双曲线的定义，即可求解.
（2）设的坐标为，求得，结合，即可求解.
(1)
证明：设是双曲线上的任意一点，则，
该双曲线的两条渐近线方程分别为和，
点到两条渐近线的距离分别为和，
则，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
(2)
解：设的坐标为，
则，
因为，所以当时，的最小值为，
即的最小值为.
例131．（2022·江苏·高二课时练习）已知点A(3, 2), F(2, 0)，点P在双曲线x2－＝1上．
(1)当|PA|＋|PF|最小时，求点P的坐标；
(2)求|PA|＋|PF|的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）若表示P到的距离，应用点线距离、两点距离公式及点在双曲线上可得，进而可得|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，即可确定目标式最小时P的位置，再求P的坐标.
（2）根据双曲线定义有|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2，只需求出|PA|＋|PF′|最小值即可得结果.
(1)
若在第一象限即、，则P到的距离为，又P到的距离为，
由P在双曲线x2－＝1上，则，
所以，故
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋·2d＝|PA|＋d，从而|PA|＋|PF|的最小值为点A到直线的距离．
将y＝2代入双曲线的方程中得，即|PA|＋d ≥ 3－＝，此时.
(2)
设双曲线的左焦点为.
由双曲线的定义知|PF|＝|PF′|－2a＝|PF′|－2, 又F′(－2, 0)，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2 ≥ |AF′|－2＝.
所求|PA|＋|PF|的最小值为.
题型十：焦点三角形
例132．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.
【详解】
双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，
因，由双曲线定义得，解得，，
显然有，即是直角三角形，
所以的面积.
故选：A
例133．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左 右焦点分别是 ，过的弦AB与其右支交于A B两点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义和三角形的周长即得．
【详解】
由题可得，
则的周长为.
故选：C．
例134．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.
【详解】
记，，，
∵，∴，
在中，由余弦定理得，
配方得，即，
∴，
由任意三角形的面积公式得，
∴，而，，，
故选：A.
例135．（2022·重庆·高二期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程．
【详解】
由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，
设，，因为，所以，
因为，所以，则，
因为点是的右支上一点，所以，
所以，则，
因为，所以，，
由勾股定理可得：，即，
解得，则，
所以双曲线的方程为：
故选：B
例136．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解
【详解】
双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，
所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以
故选：D
例137．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的定义即可求出的周长.
【详解】
设，，由题意可得，
由双曲线的定义可得，，
则的周长是.
故选：B.
例138．（2022·江西赣州·高二期末（理））设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值
【详解】
由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，解得：，，所以根据余弦定理，
故选：A
例139．（2022·天津和平·高二期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.
【详解】
，所以，，，
在双曲线上，设，，
①，
由，在中由余弦定理可得：
，
故②，
由①②可得，
直角的面积.
故选：C.
例140．（2022·全国·高二）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
例141．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案
【详解】
设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
例142．（2022·天津南开·高二期末）过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（ ）
A．28 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程得，，由双曲线的定义，证出，结合
即可算出△的周长．
【详解】
双曲线方程为，
，
根据双曲线的定义，得
，，
，，
相加可得，
，，
因此△的周长，
故选：C
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】
由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.

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