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第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），
若点M（x，y）在椭圆上，则有；
若点M（x，y）在椭圆内，则有；
若点M（x，y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
知识点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
知识点四、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
【题型归纳目录】
题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦
题型三：椭圆的综合问题
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦
题型六：双曲线的综合问题
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦
题型九：抛物线的综合问题
【典型例题】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例2．（2022·全国·高二单元测试）已知点 .下列曲线方程中，在该曲线上不存在点P，满足的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．
例5．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.
例6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.
例7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的两个焦点分别是 ，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当m取何值时，直线与椭圆C：
①有两个公共点；
②只有一个公共点；
③没有公共点？
例8．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为
，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
例9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，求实数m的值．
例10．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于不同的两点，求k的取值范围．
题型二：椭圆的弦
例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．
例14．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于A，B两点，求线段的长．
例15．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.
例16．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.
例17．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.
例18．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
例19．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，为右焦点，为的上顶点，且.为坐标原点.
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线与相交于两点，求的面积.
例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.
例21．（2022·河南·温县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．
题型三：椭圆的综合问题
例22．（2022·江苏·高二）（1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；
（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；
例23．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)斜率为k的直线与椭圆M交于A B两点，若线段AB的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率kOP存在，试判断k与kOP的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.
例24．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.
例25．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.
例26．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
例27．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知点 分别是椭圆C：）的左 右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A B两点，求面积的最大值.
例28．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
例29．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．
例30．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．
题型四：直线与双曲线的位置关系
例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例33．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
例34．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
例35．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为
C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点
例36．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
例37．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.
例38．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数m的取值范围是___________.
例39．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________
例40．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知双曲线的方程为，直线.
(1)求双曲线的渐近线方程、离心率；
(2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值.
例41．（2022·江苏·高二课时练习）判断直线与双曲线的公共点的个数．
题型五：双曲线的弦
例42．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
例43．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
例44．（2022·江苏·高二课时练习）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.
例45．（2022·江苏·高二）求直线被双曲线截得的弦长.
例46．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
例47．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
例48．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
例49．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
例50．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
例51．（2022·全国·高二期末）已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.
题型六：双曲线的综合问题
例52．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
例53．（2022·全国·高二）已知双曲线，是上的任意点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.
例54．（2022·上海·格致中学高二期中）已知点 依次为双曲线（，）的左 右焦点，且，.
(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；
(2)设双曲线经过第一 三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.
例55．（2022·江苏·高二）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
①在抛物线C上，且；②过焦点F作x轴的平行线，与抛物线C交于G，H两点，；③抛物线C的准线过双曲线的下焦点．
问题：已知抛物线的焦点为F，点，______，若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，求线段PQ的长度．
例56．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，
①求k的取值范围；
②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.
例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．
例58．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，在以点O为圆心，为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，若的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．
例59．（2022·全国·高二课时练习）双曲线上的一点P与左右焦点、构成．
(1)求的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标；
(2)已知，求的大小．
例60．（2022·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
例61．（2022·全国·高二课时练面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．
题型七：直线与抛物线的位置关系
例62．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
例63．（多选题）（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
例64．（2022·北京二中高二学业考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________.
例65．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．
例66．（2022·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）抛物线的准线与轴相交于点，过点作斜率的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率___________.
例67．（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.
例68．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为______．
例69．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
例70．（2022·全国·高二课时练习）①直线l过点，②直线l与抛物线只有一个公共点，③直线l过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线l的方程.
例71．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．
例72．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．
题型八：抛物线的弦
例73．（2022·江苏·高二）己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．16
例74．（2022·江苏·高二）抛物线的弦AB过其焦点，且垂直于它的对称轴，O为原点，若△AOB的面积为3，则抛物线方程为______．
例75．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．
例76．（2022·江苏·高二）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______．
例77．（2022·全国·高二单元测试）过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.
例78．（2022·江苏·高二）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则___________.
例79．（2022·全国·高二课时练习）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.
例80．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求的面积.
例81．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
例82．（2022·江苏·高二）已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点，若
，求弦长．
例83．（2022·江苏·高二）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．
例84．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.
题型九：抛物线的综合问题
例85．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
例86．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
例87．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
例88．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；
(2)证明：直线AB过定点.
例89．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知抛物线，直线交C于A，B两点．
(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；
(2)设，，若，求证：直线过定点．
例90．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.
例91．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
例92．（2022·江苏·高二）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的准线方程是．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，求证：．
例93．（2022·全国·高二期中）设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明：
(1)；
(2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），
若点M（x，y）在椭圆上，则有；
若点M（x，y）在椭圆内，则有；
若点M（x，y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
知识点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
知识点四、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
【题型归纳目录】
题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦
题型三：椭圆的综合问题
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦
题型六：双曲线的综合问题
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦
题型九：抛物线的综合问题
【典型例题】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程求得其右顶点为，上顶点为，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
例2．（2022·全国·高二单元测试）已知点 .下列曲线方程中，在该曲线上不存在点P，满足的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得线段的垂直平分线，然后对选项进行分析，通过直线和圆锥曲线是否有交点来确定正确选项.
【详解】
线段的中点为，线段的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线的方程为.
若，则在直线上，
对于A选项，，与平行，没有交点，符合题意，A选项正确.
对于B选项，圆，，即在圆内，
此时直线与圆有两个交点，不符合题意，B选项错误.
对于C选项，椭圆，由消去并化简得，有唯一解，
此时直线与椭圆有一个公共点，不符合题意，C选项错误.
对于D选项，双曲线，由消去并化简得，有两个解，
此时直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，D选项错误.
故选：A
例3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求得，得到，结合，即可求得直线斜率的取值范围.
【详解】
由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，
又由，可得，
因为，即，可得，
所以直线斜率的取值范围.
故选：A.
例4．（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标．
【详解】
解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，
设切线的方程为：，，由于过点可得：，①
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，
则，可得②，
由①②可得：，，
所以切线方程为：；
可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得，
即切点，
所以直线的方程为：，切点的坐标．
故答案为：
例5．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.
【答案】相交
【解析】
【分析】
确定直线所过定点坐标，由定点与椭圆的位置关系得直线与椭圆的位置关系，
【详解】
由已知直线过定点，在椭圆内部（为椭圆的右焦点，椭圆中），所以直线与椭圆相交．
故答案为：相交．
例6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制．
【详解】
由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，
又焦点在x轴上，..
故答案为：．
例7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的两个焦点分别是 ，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当m取何值时，直线与椭圆C：
①有两个公共点；
②只有一个公共点；
③没有公共点？
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【解析】
【分析】
（1）由题意c=1，将点 的坐标代入椭圆的标准方程即可；
（2）联立直线与椭圆方程，根据判别式求解即可.
(1)
设椭圆C的标准方程为，
由题意可得： 解得 ，
所以椭圆C的标准方程为：；
(2)
联立 消去y得：，
则 ，
①当，即时，方程有两个不同的实数根，
所以直线与椭圆C有两个公共点；
②当，即时，方程有两个相等的实数根，
所以直线与椭圆C只有一个公共点；
③当，即或时，方程无实数根，
所以直线与椭圆C没有公共点；
综上，当时有两个公共点；
当时，有一个公共点；
当或，没有公共点.
例8．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，然后利用离心率即求；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线
的方程为，即证.
(1)
依题意，，
∴，
又，，
∴，∴
∴椭圆的标准方程为.
(2)
由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直线的斜率
∴直线的斜率，令得点坐标为，
∴直线的方程为，即
∴直线恒过定点.
例9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，求实数m的值．
【答案】5或
【解析】
【分析】
联立直线与椭圆的的方程，消元后利用判别式等于0求解即可.
【详解】
由 消元得：
因为直线与椭圆有唯一的公共点，
所以，
解得.
例10．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；
（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.
(1)
由题意知，，且，解得， ，所以椭圆的方程为.
(2)
由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设 ，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或.
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于不同的两点，求k的取值范围．
【答案】或
【解析】
【分析】
联立直线方程与椭圆方程，根据题意可得，解之即可得解.
【详解】
解：联立，
消得，
因为直线与椭圆相交于不同的两点，
所以，
解得：或.
题型二：椭圆的弦
例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.
【详解】
由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.
故选：A.
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．
【答案】．
【解析】
【分析】
由题可得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.
【详解】
设椭圆的半焦距为，由，，
可得，，解得，，
则，
即有椭圆的方程为，
联立直线和椭圆，
可得，
设被椭圆截得的弦的端点的横坐标分别为，，
则，，
可得弦长为.
故答案为：.
例14．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆相交于A，B两点，求线段的长．
【答案】
【解析】
【分析】
设，联立方程组求出A，B坐标，利用两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】
设，则，解得：或，
所以线段的长为.
即线段的长为.
例15．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知直接可得；
（2）联立方程组求出A，两点坐标，再由两点间距离公式可得.
(1)
∵椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为4，
，，，
故椭圆的方程为；
(2)
设，联立解得和， ，
∴弦长.
例16．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.
【答案】(1)C是以点，为左右焦点的椭圆，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义即可得到答案.
（2）当垂直于轴时，，舍去.当不垂直于轴时，可设，再根据题意结合韦达定理求解即可.
(1)
因为，，
所以C是以点，为左右焦点的椭圆.
于是，，故，因此C的方程为.
(2)
当垂直于轴时，，，舍去.
当不垂直于轴时，可设，
代入可得.
因为，设，，
则，.
因为，
所以.
同理.因此.
由可得，，
于是.
根据椭圆定义可知，于是.
例17．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意得，求出的值，从而可得椭圆的方程，
（2）由题意得直线的方程为，设，再将直线方程与椭圆方程联立，消去，整理后利用根与系数的关系，再利用弦长公式可求得结果
(1)
由题意设椭圆方程为，则
，得，
所以椭圆C的标准方程为
(2)
由题意得直线的方程为，
设，
由，得，化简得，
所以，
所以
例18．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
例19．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，为右焦点，为的上顶点，且.为坐标原点.
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线与相交于两点，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由条件可知，，利用待定系数法求椭圆方程；（2）解法一，直线方程与椭圆方程联立，得，求得点的坐标，并利用距离表示的面积；解法二，直线与椭圆方程联立，得，并表示，求的面积.
【详解】
由得，又
故的方程为
解法:联立直线与椭圆方程:
化简得
到直线的距离
解法:联立直线与椭圆方程:，
消去得
设，
则
例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.
【答案】（1），短轴长为，焦距为；（2）.
【解析】
（1）由长轴得，再由离心率求得，从而可得后可得椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．
【详解】
（1）由已知：，，
故，，
则椭圆的方程为：，
所以椭圆的短轴长为，焦距为.
（2）联立 ，解得，，
所以，，
故 ．
例21．（2022·河南·温县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
轴上，左顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．
【答案】（1）椭圆的方程为；（2）．
【解析】
（1）由题意得，求出，从而可求出，进而可求出椭圆的方程；
（2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系和弦长公式可求得结果
【详解】
解：
（1）设椭圆的方程为．
由题意得
解得，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为，
由
消去，得，
则，，
，得，
所以
因为，所以当时，.
题型三：椭圆的综合问题
例22．（2022·江苏·高二）（1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；
（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；
【答案】（1）；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由题意设双曲线方程为，把点代入求解λ值，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法，结合中点坐标公式，求椭圆的方程；
【详解】
解：（1）由题意设双曲线方程为，把点代入，
可得，即．
所求双曲线方程为；
（2）由题意设椭圆方程为，
设， ，
则①，②
①②，可得
所以
因为线段中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，，
所以椭圆的方程为.
例23．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)斜率为k的直线与椭圆M交于A B两点，若线段AB的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率kOP存在，试判断k与kOP的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即得；
（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即得.
(1)
由题可设椭圆的方程为，
则，
∴
∴椭圆M的标准方程为；
(2)
设，，，，则，，，
两式相减得，
∴，
而弦的中点，则有，
所以，即k与kOP的乘积为定值.
例24．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；
（2）利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程.
(1)
由题意可设椭圆方程为：，
则，解得：，椭圆的标准方程为：.
(2)
设，，则，
两式作差得：，
直线斜率，
又中点为，，，，
直线方程为：，即.
例25．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求得，的值即可确定椭圆方程；
（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值．
(1)
由题意知：．
根据椭圆的定义得：，即．
，
所以椭圆的标准方程为．
(2)
当直线的斜率不存在时，的方程是．
此时，所以．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，
由可得．
显然△，则，
因为，
所以．
所以，
此时．
综上所述，为定值．
例26．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，然后利用离心率即求；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线的方程为，即证.
(1)
依题意，，
∴，
又，，
∴，∴
∴椭圆的标准方程为.
(2)
由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直线的斜率
∴直线的斜率，令得点坐标为，
∴直线的方程为，即
∴直线恒过定点.
例27．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知点 分别是椭圆C：）的左 右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A B两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程,
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值.
(1)
△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，
而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，
故，因面积的最大值为，故，
故，
故椭圆的标准方程为：.
(2)
设，则由可得，
此时恒成立.
而，
到的距离为,
故的面积，
令，设，则，
故在上为增函数，故即的最大值为3.
例28．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用题设中给出的切线的计算方法结合设而不求的方法可求点M的轨迹方程；
（2）结合（1）的及点到直线的距离公式可求
面积的表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.
(1)
设，则，
设，则，，
设，则，
故即，所以即
所以即的轨迹方程为：.
(2)
由（1）可得，故直线.
到的距离为，
故面积，
因为，故即，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.
例29．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将代入椭圆方程，即可求得的长；
（2）计算出的面积，利用等面积法可求得该三角形内切圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.
(1)
解：在椭圆中，，，，则、，
将代入方程可得，因此，.
(2)
解：，
设的内切圆半径为，则，解得，
因此，内切圆的面积为.
例30．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；
(1)
解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
(2)
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可列出关于的三个方程，解出即可得到椭圆C的方程；
（2）根据对称可得点坐标，再根据斜率公式可得，然后由点为椭圆C上的点得，代入化简即可求出为定值．
(1)
由题意 解得，.
所以椭圆C的方程为.
(2)
因为点关于坐标原点的对称点为，所以的坐标为.
，，所以，
又因为点为椭圆C上的点，所以.
．
题型四：直线与双曲线的位置关系
例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围
【详解】
双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，
故有，即，，
所以，所以.
所以的范围为
故选：A
例33．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，然后判断直线与双曲线的交点个数即可．
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为：，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
在轴上的截距为3，所以直线与双曲线的交点个数是：1．
故选：A．
例34．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
①直线与双曲线只有一个公共点；
②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；
③设过的切线方程为与双曲线联立，
可得，
由，即，解得，直线的条数为1.
综上可得，直线的条数为4.
故选：A,.
例35．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为
C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质可判断选项A，B，C，将直线方程与双曲线的方程联立可判断选项D.
【详解】
在双曲线的方程为中，，则
则双曲线的离心率为，焦点坐标为
由可得 ，即双曲线的渐近线方程为
故选项A,C正确，选项B不正确.
由可得，
所以直线与双曲线有两个交点，故选项D正确.
故选：ACD
例36．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得直线与双曲线的一条渐近线平行，从而可求出的值，进而可求出双曲线的离心率
【详解】
双曲线的渐近线方程为，，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以直线与渐近线平行，
所以，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
例37．（2022·江苏·高二）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定双曲线方程，求出渐近线方程，再借助已知确定b的范围即可计算作答.
【详解】
双曲线的渐近线为：，因直线与双曲线无交点，
于是得，而双曲线实半轴长为1，则该双曲线离心率，
所以该双曲线离心率的最大值为.
故答案为：
例38．（2022·全国·高二单元测试）若曲线与直线有公共点，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由曲线，整理得表示以为焦点的双曲线的右支部分，利用直线与双曲线的渐近线的关系求解.
【详解】
如图，曲线，即为，表示以为焦点的双曲线的右支部分，此时该双曲线的渐近线为与因为过定点，要使直线与双曲线右支有交点，则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则
故答案为：
例39．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________
【答案】
【解析】
【分析】
将直线与双曲线联立，利用判别式法求解.
【详解】
解：由直线与双曲线联立得：
，
当时，，方程只有一个解；
当时，，
解得，
故答案为：
例40．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知双曲线的方程为，直线.
(1)求双曲线的渐近线方程、离心率；
(2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值.
【答案】(1)渐近线方程为和，离心率为
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用双曲线方程，直接求解渐近线方程，依题意可得、，根据，求出，即可求出离心率．
（2）联立直线与双曲线方程，消元整理，再分二次项系数为零与二次项系数不为零两种情况讨论，分别求出．
(1)
解：由，得渐近线方程，即双曲线的渐近线方程为和，∵，，∴，，，所以离心率．
(2)
把：代入双曲线得
①当即时，直线与渐近线平行，相交于一点
②当时，则由，得且，直线与双曲线相切于一点，解得：
综上：或
例41．（2022·江苏·高二课时练习）判断直线与双曲线的公共点的个数．
【答案】2.
【解析】
【分析】
由直线方程与双曲线方程联立，再利用判别式判断即得.
【详解】
由，可得，
∴，
∴直线与双曲线的公共点的个数为2.
题型五：双曲线的弦
例42．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，根据，可得，又，即可求得的面积
【详解】
双曲线的渐近线方程，不妨设A在上，则，根据可得，且，解得，所以的面积为．
故选：B
例43．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得，即可得到四边形的面积．
【详解】
由题意得，，
由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，
所以，解得，
所以四边形的面积为．
故答案为：．
例44．（2022·江苏·高二课时练习）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
求得双曲线的，，，可得焦点坐标，直线的方程，代入双曲线方程求得交点坐标，可得弦长．
【详解】
解：双曲线的，，，
可得一个焦点为，直线，
代入双曲线的方程可得，解得，
则，
故答案为：4．
例45．（2022·江苏·高二）求直线被双曲线截得的弦长.
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线与双曲线的方程消元得到关于的一元二次方程，求得两根之和与两根之积，代弦长公式即可求解
【详解】
设直线与双曲线交于，两点
由
所以，
所以
即直线被双曲线截得的弦长为
例46．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）由双曲线方程可得，进而得到方程；将与双曲线联立，由可得结论；
（2）由（1）可得韦达定理的形式，将代入方程即可求得点坐标；利用弦长公式可求得.
(1)
由双曲线方程知：，则，
由得：，则，
与双曲线有两个不同的交点.
(2)
设，，
由（1）得：，，；
；
.
例47．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；
（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.
(1)
由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；
双曲线过点，；
由得：，双曲线的方程为：；
(2)
由（1）得：双曲线的焦点坐标为；
若直线过双曲线的左焦点，则，
由得：；
设，，则，
；
由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；
综上所述：.
例48．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.
（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.
(1)
双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为.
(2)
设,,
联立，，，
，．
，
，
解得．
例49．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.
(1)
解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
(2)
解：联立消去整理得，
设，，则，
.
例50．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
【答案】（1）且；（2）．
【解析】
（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
【详解】
（1）联立y=2可得．
∵与有两个不同的交点，
．
且，
且．
（2）设，．
由（1）可知，．
又中点的横坐标为．
，
，
或．
又由（1）可知，为与有两个不同交点时，．
．
．
例51．（2022·全国·高二期末）已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.
【答案】（1）；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线的长轴、焦距可得；，再由即可求解.
（2）将直线与双曲线方程联立，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，
所以，，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）联立方程 ，消整理可得，
设，，
则，，
所以
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
题型六：双曲线的综合问题
例52．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点可得方程；
（2）设点与点的坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得直线的斜率.
(1)
由题意，解得，，
故双曲线方程为
(2)
设点，，
设直线的方程为，
代入双曲线方程，得，
，，，
同理，
.
例53．（2022·全国·高二）已知双曲线，是上的任意点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）设，写出点到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简，得到常数；（2） ，根据 化简，转化为二次函数求最小值.
试题解析：（1）设，到两准线的距离记为、，
∵两准线为，，
∴，
又∵点在曲线上，∴，得（常数）
即点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .
（2）设，由平面内两点距离公式得，
，
∵，可得，∴，
又∵点在双曲线上，满足，∴当时，有最小值，.
例54．（2022·上海·格致中学高二期中）已知点 依次为双曲线（，）的左 右焦点，且，.
(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；
(2)设双曲线经过第一 三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据的关系以及题意可知，，，直线的方程为，再根据点到直线的距离公式即可求出；
（2）根据题意可知，直线的斜率，，再根据两直线垂直，斜率之积为，再根据齐次式求离心率的方法即可求出．
(1)
由题意，，，则，，直线的方程为.
所以，点到的距离为.
(2)
由题意，，，其中，，则直线的斜率.
双曲线的一条渐近线，其斜率为.
因为直线与直线垂直，所以.
代入可得，，又因为，所以，
两边同除以，可得，解得.
又因为，所以.
例55．（2022·江苏·高二）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
①在抛物线C上，且；②过焦点F作x轴的平行线，与抛物线C交于G，H两点，；③抛物线C的准线过双曲线的下焦点．
问题：已知抛物线的焦点为F，点，______，若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，求线段PQ的长度．
【答案】
【解析】
【分析】
分别选①②③进行解答,选①利用定义可得,进而求出及其中垂线与抛物线的交点坐标,利用两点距离公式或弦长公式即得;
选②分别得出G，H两点坐标,根据即得,以下同①;
选③由双曲线下焦点可得抛物线的标准方程,以下同①.
【详解】
若选①，由题意可得抛物线的焦点为，由可得.
故,则线段AF的垂直平分线为
解法一:联立 或
故.
解法二:
设则
若选②由题意得: ,将代入得
则,故
故,则线段AF的垂直平分线为
解法一:联立 或
故.
解法二:
设则
若选③由题意得: ,准线为
双曲线的标准方程为,故下焦点为
故
故,则线段AF的垂直平分线为
解法一:联立 或
故.
解法二:
设则
例56．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为.
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B，
①求k的取值范围；
②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点.
【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可列出两个关于的方程，解出，再根据的关系求出，即可得到C的标准方程；
（2）①设直线，，，联立直线方程与椭圆方程，由且
，即可求出k的取值范围；②设，令，将的值代入即可求出，从而可知直线AD过定点，
从而得证．
(1)
由已知得 可得 ，
又双曲线中，所以C的标准方程为：．
(2)
设直线，，，
由，消去y可得，，
则，，，
①因为直线与双曲线交于两支，所以且，即，解得：
；
②设，令，
，即直线AD过定点.
例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，求解即可；（2）根据题意在直线的中垂线上，利用设而不求结合韦达定理可得，结合题意分析．
(1)
由题意，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，则
由，解得，
故C的方程为．
(2)
设的方程为，，，的中点，则
则由消去y得，
所以，，，
则，
因为A，B到点的距离相等，
所以在直线的中垂线方程为上，
故，整理，得，
即，即，
又，故m的取值范围为．
例58．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，在以点O为圆心，为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E，F，若的面积不小于，求直线l的斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出，再根据条件得，代入双曲线方程建立方程即可求解；
(2) 先直线的方程为，代入双曲线C的方程并整理得.
根据有交点的条件得，再求出解不等式即可求解.
(1)
由题意可知，
由，可得，
双曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为().
则有，
∴曲线C的方程为.
(2)
(2)依题意，可设直线的方程为，代入双曲线C的方程并整理得.
∵直线与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴，
设，则有，
于是.
而原点O到直线的距离，
∴.
若的面积不小于，即，
则有，解得，
从而可得直线的斜率的取值范围为.
例59．（2022·全国·高二课时练习）双曲线上的一点P与左右焦点、构成．
(1)求的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标；
(2)已知，求的大小．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，利用切线长定理结合双曲线定义推理计算作答.
（2）利用双曲线定义，结合余弦定理计算作答.
(1)
双曲线的实半轴长，半焦距，
显然点P在双曲线右支上，如图，令的内切圆与边相切的切点分别为M，T，设点，
于是有，由双曲线定义知，，
而，即，解得，
的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标为.
(2)
由（1）知，，而，
在中，由余弦定理得：
，
所以.
例60．（2022·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1);
(2)存在，或.
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程及双曲线方程，消元得一元二次方程，利用判别式求解即可；
（2）设A、B两点的坐标分别为,，假设存在，利用AF⊥BF的坐标表示及根与系数的关系化简即可得解.
(1)
将直线l的方程代入双曲线C的方程，
整理得 ①
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则
解得k的取值范围为．
(2)
设A、B两点的坐标分别为,，则由①得②．
假设存在实数k，使得AF⊥BF，则，
即：，
整理得③．
把②式及代入③式化简得：，
解得或，
∴存在实数或，使得AF⊥BF．
例61．（2022·全国·高二课时练面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数m作答.
（2）由给定条件，将双曲线方程化简为，再与点P的轨迹方程联立求出作答.
(1)
依题意，，而，则，消去m得：，
所以点P的轨迹方程是.
(2)
因双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，即，双曲线C的方程为，
由消去y并整理得：，设，，
则，，又以MN为直径的圆经过原点，即OM⊥ON，有，
而，
因此，，，解得，，
所以双曲线方程为.
题型七：直线与抛物线的位置关系
例62．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，当直线与轴平行和过点有且仅有一条切线，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
例63．（多选题）（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
将直线方程与抛物线的方程联立，由可求得的值.
【详解】
联立可得，由题意可得，解得.
故选：BC.
例64．（2022·北京二中高二学业考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为___________.
【答案】 ## 4.5
【解析】
【分析】
根据的几何意义得，设直线：，代入，设、，
根据韦达定理得、，结合求出，得，根据求出
即可得解.
【详解】
依题意可得，则，，
设直线：，
联立，消去得，
设、，
则，，，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以，
因为，所以.
所以点到轴的距离为.
故答案为：.
例65．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据抛物线的几何性质，分当直线与平行时，直线与平行时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解.
【详解】
当过点的直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当过点的直线与轴垂直时，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当过点的直线与坐标轴不平行时，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
令，解得，即直线的方程为，
此时直线与抛物线只有一个公共点，
综上可得：与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有3条.
故答案为：3.
例66．（2022·湖北·随州市第一中学高二阶段练习）抛物线的准线与轴相交于点，过点作斜率的直线交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
联立直线AB方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A或B的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k.
【详解】
由题可知，设，，
由已知得，，即①，
设的方程为：，与联立得：，
则②，
由①②解得，，将代入，由k＞0知，解得，
所以.
故答案为：.
例67．（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.
【答案】
【解析】
【分析】
联立，消，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论，结合根的判别式从而可得出答案.
【详解】
解：联立，消得，
当时，，解得，
此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述或，
所以满足条件的实数的值组成集合为.
故答案为：.
例68．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线写出渐近线方程，联立抛物线求出交点坐标，进而可得及对应高，根据已知△AOB的面积列方程求参数p.
【详解】
由题设，渐近线方程为，联立抛物线得：，则或，
当时，；当时，，
则△AOB的面积为，又，故.
故答案为：
例69．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
【答案】或或
【解析】
【分析】
讨论斜率存在和不存在两种情况，联立直线和抛物线方程，由判别式等于，得出斜率，进而得出直线方程.
【详解】
当所求直线的斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点；
当所求直线的斜率存在时，设直线方程为
由得出
，解得
故所求直线方程为或或
例70．（2022·全国·高二课时练习）①直线l过点，②直线l与抛物线只有一个公共点，③直线l过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线l的方程.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据直线方程有斜率和无斜率两种情况讨论，若有斜率，设出直线方程，联立与抛物线方程，根据只有一个交点，可根据判别式求解.
【详解】
选①②
若直线无斜率，则直线方程为，此时与抛物线只有一个公共点，符合要求.
若直线有斜率，则设直线方程为，联立直线与抛物线方程得:消元得，
因为与抛物线只有一个公共点，所以，解得，
直线方程为或，
故方程有或或，
选②③
抛物线的焦点为,
若直线无斜率，则直线方程为，此时与抛物线只有一个公共点，符合要求.
若直线有斜率，则设直线方程为，联立直线与抛物线方程得:消元得，因为与抛物线只有一个公共点，所以，无解，此时不存在.
选①③
抛物线的焦点为,直线过点
直线方程为
例71．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．
【答案】或或
【解析】
【分析】
由焦点坐标写出抛物线方程，讨论直线斜率，易知、与抛物线只有一个交点，再设直线为，联立抛物线，根据求k，即可得直线l.
【详解】
由题设，则，故抛物线，
当直线斜率不存在时为，与抛物线只有一个交点；
当直线斜率存在时，若斜率为0，则直线为，与抛物线只有一个交点；
令直线为，代入抛物线整理得：，
所以，可得，故直线为.
综上，直线的方程为或或.
例72．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．
【答案】或1．
【解析】
【分析】
根据直线斜率是否为零进行分类讨论，当斜率不为零时，联立方程组，利用方程的根的个数研究交点个数即可.
【详解】
①当直线与x轴平行时，方程为，此时，
与抛物线只有一个公共点，坐标为，满足题意；
②当时，方程与抛物线方程联立，消去y得，
，解得，此时直线方程为.
综上所述，或1．
题型八：抛物线的弦
例73．（2022·江苏·高二）己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】
设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
例74．（2022·江苏·高二）抛物线的弦AB过其焦点，且垂直于它的对称轴，O为原点，若△AOB的面积为3，则抛物线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，不妨设，再由求解.
【详解】
解：抛物线的焦点坐标为，
由题意，不妨设，则，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为，
故答案为：
例75．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；
【详解】
解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，
由，消去整理得
当时，显然不成立．
当时，，
又得，解得，
当时直线，
又焦点满足直线．
所以，
又，
．
故答案为：
例76．（2022·江苏·高二）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______．
【答案】15
【解析】
【分析】
易得抛物线方程为，根据，求得点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义求解.
【详解】
解：因为抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，则抛物线：，
设点的坐标为，的坐标为，
因为，
所以，则，
则，
所以直线的方程为，
代入抛物线方程可得，
故，则，
所以．
故答案为：15
例77．（2022·全国·高二单元测试）过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理与弦长公式求得的值，进而得到答案.
【详解】
由题，抛物线的焦点为，
设过的直线为，，，
由，得：，则，
所以，
所以，
所以该直线方程为，即，
故答案为：
例78．（2022·江苏·高二）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意设点坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到点坐标，再根据与轴正方向的夹角为，求得答案．
【详解】
解：由题意设，，代入得，
解得或（舍去）．
故答案为：
例79．（2022·全国·高二课时练习）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.
【答案】##2.25##
【解析】
【分析】
求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出，用点到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.
【详解】
易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得.
设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直线的距离，
所以的面积.
故答案为：
例80．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，坐标原点为.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程消元之后利用韦达定理和焦半径公式列式即可求解；
（2）分割求面积， ，，与可求
(1)
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
则，
所以
由抛物线的定义可得：
解得
则直线的方程为，即
(2)
不妨设在轴上方，在轴下方
若，则
例81．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
(1)
由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，
，解得：，
抛物线的标准方程为：.
(2)
为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，
设，则，解得：，，
，，解得：，
，即的边长为.
例82．（2022·江苏·高二）已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点，若，求弦长．
【答案】8
【解析】
【分析】
直接由抛物线的定义求解即可,
【详解】
设抛物线的焦点为，准线为，则，过作，垂足为，过作，垂足为，
由抛物线的定义知：.
例83．（2022·江苏·高二）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．
【答案】(1)抛物线，准线：.
(2)
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.
(1)
过点，，解得：，
抛物线，准线方程为：
(2)
由（1）知：抛物线焦点为，
设直线，，，
由得：，，
.
例84．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用焦点到准线距离可得，由此可得抛物线方程；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用弦长公式可构造方程求得，进而可得直线方程.
(1)
设抛物线，
抛物线的焦点到准线的距离为，，抛物线的标准方程为：；
(2)
由（1）得：，设直线，，，
由得：，则，
，解得：，
直线方程为：或，即或.
题型九：抛物线的综合问题
例85．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【解析】
【分析】
（1）根据条件得到点或点的坐标，代入抛物线中即可求解；
（2）设，由三点共线，即有，可得，设直线的方程为，联立抛物线得，从而可得直线过定点.
(1)
由题意可得，
则，解得.
故抛物线的方程为.
(2)
由（1）可知，设.
因为三点共线，所以，
即，即，
整理得.
因为，所以.
由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为关于轴对称，所以，则，解得.
故直线的方程为，即直线恒过点.
例86．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
【解析】
【分析】
（1）结合抛物线定义可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，由此可得曲线方程；
（2）设，，，与抛物线方程联立可表示出，由可求得，进而得到定点坐标.
(1)
点与点的距离比它到直线的距离小，
点与点的距离和点到直线的距离相等，
由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
即曲线的方程为：.
(2)
设，，，
由得：，则，即；
，，
，；
，，即；
当时，，恒过定点.
例87．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【答案】(1)y2＝4x
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；
(2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标．
(1)
P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)
证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，
，同理：，
由题意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
例88．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；
(2)证明：直线AB过定点.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何性质求解即可.
（2）设，根据题意得到直线的方程为，再求直线恒过顶点即可.
(1)
设切点为，
∵，∴曲线在点处的切线的斜率
∴切线的方程为：
又切线过点，∴，
解得或，故切线的方程为：或.
(2)
设，则.
由于，所以切线的斜率为，故.
整理得
设，同理可得.
故直线的方程为.
所以直线过定点.
例89．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知抛物线，直线交C于A，B两点．
(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；
(2)设，，若，求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)判断在抛物线开口之内，且不在轴上，直线的斜率存在，设为，且设，代入抛物线方程，作差后，结合中点坐标公式和直线的斜率公式可得，再由点斜式方程可得所求切线方程；
(2)讨论直线的斜率不存在和存在，且斜率存在时分和两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得证．
(1)
解：由于在抛物线开口之内，且不在轴上，
直线的斜率存在，设为，且设，
可得，两式相减可得，
即，
则直线的方程为，即，
检验直线存在，且方程为；
(2)
证明：若直线的斜率不存在，可得（其中），
将代入抛物线方程，可得，
则，即，直线过；
若直线的斜率存在，设为，
当时，设的方程为，
将代入抛物线的方程消去可得，
所以，即有，所以，
所以直线的方程为，则直线恒过定点．
当时，直线的方程为，
又，即，此时不存在直线满足题意；
综上，直线恒过定点．
例90．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为(8,0).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义，即可求出结果；
（2）由题意直线方程可设为，将其与抛物线方程联立，再将转化为，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.
(1)
解：抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点，
设抛物线的方程为，
到焦点的距离为6，即有点到准线的距离为6，
即 解得，即抛物线的标准方程为；
(2)
证明:由题意知直线不能与轴平行，故直线方程可设为,
与抛物线联立得 ，消去得,
设，则,
则，,
由，可得，
所以，即，
亦即 ，又，解得，
所以直线方程为，易得直线过定点.
例91．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
(1)
由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，
，解得：，
抛物线的标准方程为：.
(2)
为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，
设，则，解得：，，
，，解得：，
，即的边长为.
例92．（2022·江苏·高二）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的准线方程是．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据准线方程求出，即可得到抛物线方程.
（2）将待证明的垂直关系转化为平面向量数量积的坐标运算.
(1)
准线方程是，所以，所以抛物线的方程为
(2)
联立，整理可得：，
可得：，，所以，
即.
例93．（2022·全国·高二期中）设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明：
(1)；
(2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，，可证，，从而证出；
（2）分别取与中点，可得，从而证得结论．
(1)
如图所示：
依题意可得，所以，
又因为，所以，
故，
所以，故，所以；
(2)
分别取与中点，并连接，
所以为直角梯形的中位线，
由于，
所以
故以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．

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