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第04讲 空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义
及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
3．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）6．（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有______个．
8．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
9．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．
11．（2022·全国·高二课时练行六面体中，若，，，那么______．
12．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
13．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC BD EF，点E F G分别是BC CD DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
题型二：共线向量定理的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形ABCD，点E F分别是AB与AD边上的点，M N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）若，，，则 （ ）
A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形
C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形
3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
4．（2022·全国·高二）下列命题中正确的是（ ）.
A．若与共线，与共线，则与共线.
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足，则
D．若，则存在唯一的实数，使
5．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
6．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
7．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
11．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．
12．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
题型三：共面向量及应用
1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面
4．（2022·江苏· 高二期中）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．
7．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.
9．（2022·江苏·高二课时练习）如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.
(1)求证：四点共面；
(2)平面平面.
12．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面．
题型四：空间向量的数量积
1．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
（多选题）2．（2022·全国·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足
，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．
4．（2022·全国·高二课时练习）化简：________.
5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）在三棱锥中，已知，，，则___________
6．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
7．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
9．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．
10．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E F分别是AB AD的中点，则___________，___________，___________，___________.
11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．
12．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，
．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
1．（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）在平行六面体中，，
，，，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
6．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.
7．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））空间四边形 ， ， ，则 的值为__________．
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
9．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
10．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量，根据下列各条件分别求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
12．（2022·全国·高二课时练习）已知都是空间向量，且，求.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求：
（1）的长；
（2）与AC所成的角的余弦值．
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·高二期末）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A．5 B． C． D．
（多选题）3．（2022·全国·高二）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若直线与交于点O，则
4．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．
5．（2022·江苏省响水中学高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.
6．（2022·全国·高二课时练习）设空间中有四个互异的点A B C D，若，则的形状是___________.
7．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知空间向量 是两两互相垂直的单位向量，=___________.
8．（2022·江苏·扬州中学高二期中）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.
9．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
10．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.
11．（2022·辽宁丹东·高二期末）六面体的所有棱长都为2，底面ABCD是正方形，AC与BD的交点是O，若，则___________.
12．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.
(1)证明：平面；
(2)若为中点，求的长.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知三个平面两两垂直且交于点O，若空间一点P到三个平面的距离分别为2，3，6，则线段OP的长度为多少？
14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平行六面体中，，，，，求的长．
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知在平面内，D是斜边的中点，，且O到平面的距离为，，，求线段的长.
16．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
(1)用向量，，表示；
(2)求.第04讲 空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b
减法 ＝－＝a－b
加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义
及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.
【详解】
对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】
空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则 的长度相等但方向不确定，B错误；
向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依据向量加减法运算规则去求化简即可,
【详解】
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.
【详解】
正六棱柱中，
故选：B
5．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】
由题意得，.
故选：D
（多选题）6．（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.
【详解】
由正四棱柱可知，
A：，但与方向相反，故A不符题意；
B：，但与方向不同，故B不符题意；
C：，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意.
故选：CD.
7．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有______个．
【答案】7
【解析】
【分析】
长方体体对角线相等，故可得到与有相等模的向量
【详解】
如图，与有相等模的向量有，共7个
故答案为：7
8．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
【答案】②④
【解析】
【分析】
利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果.
【详解】
对于①，；
对于②，
；
对于③，；
对于④，.
故答案为：②④.
9．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的减法法则，计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正方体结构特征，依据向量加减法去求
【详解】
正方体中
，则
故答案为：
11．（2022·全国·高二课时练行六面体中，若，，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】
依据平行六面体结构特征和向量加减法几何意义去求
【详解】
平行六面体中
，则
故答案为：
12．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
【答案】(1)，，；，，，
(2)，，，（答案不唯一）
(3)，（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）根据相等向量，相反向量的定义，结合图形分析求解.
（2）由向量加减运算法则，结合图形分析求解.
（3）由向量加法运算法则，结合图形分析求解.
(1)
解：的相等向量有：，，；
的负向量即相反向量有：，，，.
(2)
由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）
(3)
由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）
13．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
【答案】(1)、、、
(2)、、、
【解析】
【分析】
（1）依据相等向量的定义写出与相等的所有向量；
（2）依据相反向量的定义写出的相反向量．
(1)
与相等的所有向量为、、、
(2)
的相反向量为：、、、
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC BD EF，点E F G分别是BC CD DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
【答案】(1)，作图答案见解析
(2)，作图答案见解析
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算求解.
(1)
解：；
向量如图所示.
(2)
因为点E F G分别为BC CD DB的中点.
所以，，
所以.
向量如图所示.
题型二：共线向量定理的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形ABCD，点E F分别是AB与AD边上的点，M N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由空间向量减法运算法则，得共线、共线，所以共线，继而得解.
【详解】
由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即.
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习）若，，，则 （ ）
A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形
C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由共线定理判断是否共线可知.
【详解】
由题知，
所以共线
所以 不构成三角形.
故选：D
3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知化简可得，即可判断.
【详解】
因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以，即，
即，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
故选：A.
4．（2022·全国·高二）下列命题中正确的是（ ）.
A．若与共线，与共线，则与共线.
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足，则
D．若，则存在唯一的实数，使
【答案】C
【解析】
【分析】
举反例判断A，D，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C.
【详解】
A中，若，则与不一定共线；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；
C中，∵，∴，∴与共线，故正确；
D中，若，，则不存在，使.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了空间向量及其线性运算，属于基础题.
5．（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
【答案】ABD
【解析】
【分析】
举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】
对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，
对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，
故选：ABD
6．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
【答案】##－0.5
【解析】
【分析】
作图，连接连接，，构造三角形中位线解题﹒
【详解】
如图，连接，，
则点E在上，点F在上，
易知，且，
∴，即，∴．
故答案为：
7．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.
【详解】
，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.
【答案】0
【解析】
【分析】
利用共线向量定理列出向量等式，再借助向量减法用表示即可得解.
【详解】
因A，B，C三点共线，则存在唯一实数k使，显然且，否则点A，B重合或点B，C重合，
则，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，显然实数λ，m，n不为0，
因此，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，此时λ+m+n= k-1+1+(-k)=0，
所以λ+m+n的值为0.
故答案为：0
9．（2022·全国·高二课时练习）已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解.
【详解】
若与共线，
则
因为非零向量，不共线，
所以，即，所以，
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
【答案】共线.
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【详解】
因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
11．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设分别表示出,
，利用向量共线证明B，G，N三点共线．
【详解】
设
则
所以,
∴.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．
12．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
求出后可得它们共线，从而可证B，C，D三点共线．
【详解】
，而，
所以，故B，C，D三点共线．
题型三：共面向量及应用
1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.
【详解】
对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
2．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间共面向量的定义进行判断即可.
【详解】
由
，
所以A，B，C，P四点共面，
故选：B
3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量共面定理即可判断
【详解】
因为，则
即
即
由空间向量共面定理可知，共面，则P，A，B，C四点一定共面
故选：B
4．（2022·江苏· 高二期中）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间四点共面的充要条件代入即可解决
【详解】
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得
故选：D
5．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】
，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
6．（2022·全国·高二课时练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题得存在，使得，解方程组即得解.
【详解】
若向量，，共面，则存在，使得，
∴，
∴解得．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查共面向量定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
7．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据四点共面的充要条件即可求出t的值.
【详解】
P，A，B，C四点共面，且，
，解得.
故答案为:
【点睛】
本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．
【详解】
∵2x 3y 4z ，
∴2x 3y 4z ，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为﹣1
【点睛】
本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题．
9．（2022·江苏·高二课时练习）如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，进而得，即，再结合题意求解即可.
【详解】
解：因为四棱锥中，四边形为菱形，
所以，所以，所以．
所以，，，故．
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【解析】
【分析】
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
【详解】
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.
(1)求证：四点共面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.
(1)
∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴、、、四点共面；
(2)
∵，∴
又因为平面,平面,所以平面
又∵，∴，
平面,平面,平面，
又，平面
所以，平面平面.
12．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
【答案】共面
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，化简得到，结合空间向量的共面定理，即可求解.
【详解】
根据空间向量的运算法则，可得：
，
又由空间向量的共面定理，可得向量与，共面．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
【答案】向量共面，理由见解析.
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理得到，进而证明出结论.
【详解】
设，则，故，解得：，故，由空间向量共面定理得：向量共面.
14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用共面向量定理证明，由可得四点共面.
【详解】
证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，，
而在中，有，所以
故E，F，G，H四点共面，证毕.
题型四：空间向量的数量积
1．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】
由题意得，故.
故选：D.
（多选题）2．（2022·全国·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
3．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．
【答案】 平面
【解析】
【分析】
由四点共面和三点共线的性质（系数之和为1），由满足可知与共面，由 点满足可知与共线. 根据最小且最小时，确定出的具体位置，然后根据数量积进行计算.
【详解】
解：由四点共面定理及三点共线定理可知： 平面，直线，
当最小且最小时，则是等边的中心，是边中点.
所以，,
又因为是边中点，所以
故.
故答案为：平面，
【点睛】
本道题从空间四点共面和三点共线的常用结论，判断出点的位置，然后又考查到向量加法的一个重要中线性质，把数量积中一个向量用中线性质表示出来，把数量积的求解变得简单了许多，这是一道向量的综合类题目，考查了向量的多个知识点.
4．（2022·全国·高二课时练习）化简：________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积运算律可得解.
【详解】
故答案为：
5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）在三棱锥中，已知，，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
用表示，根据条件列出方程建立的关系，利用等量代换计算即得.
【详解】
设，显然，
则，即，
而，即，
于是得，，
，
则有，所以.
故答案为：
6．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
如图，在正三棱锥中，以为基底， ，，利用向量数量积性质进行计算即可得解.
【详解】
根据题意为正四面体，
两两成角，
所以，
，
所以
.
故答案为：
7．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足
，点满足，当最短时，_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到面，，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值.
【详解】
解：因为，，
可得平面，，
当最短时，面，且，
所以为的中心，为的中点，如图所示，
又因为正四面体的棱长为，，
所以，
因为平面，所以，
因为，
所以
.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据向量的加法的几何意义，将化为，结合数量积的运算法则和向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】
在空间四边形中, ,
则
,
故答案为：0
9．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据向量的减法运算，结合数量积的运算，可求得答案.
【详解】
由题意得，故，
,
故答案为：-2
10．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E F分别是AB AD的中点，则___________，___________，___________，___________.
【答案】 0
【解析】
【分析】
利用向量数量积的定义分别求解.
【详解】
在棱长为1的正四面体ABCD中，每个面都是正三角形.所以.
因为E F分别是AB AD的中点，所以,
所以的夹角为60°，所以；
所以的夹角为0°，所以；
所以的夹角为120°，所以；
取CD的中点G，连结AG、BG，则.
又,所以面ABG,所以AB，所以的夹角为90°.
所以的夹角为90°，所以.
故答案为：.
11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．
【答案】24
【解析】
【分析】
由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求.
【详解】
由题设，可得如下四面体示意图，
则，
又，，
所以.
故答案为：24
12．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【解析】
【分析】
（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
(1)
因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
(2)
由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)，
(2)
(3)垂直
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
(1)
解：根据空间向量的运算法则，可得，
.
(2)
解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，
则.
(3)
解：根据空间向量的运算法则，可得；
则，
所以与垂直．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
1．（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，，设异面直线与所成角为，设，利用、、表示向量、，利用空间向量的数量积可求得的值.
【详解】
设，，，设异面直线与所成角为，设，
则
，，
由空间向量数量积的定义可得，
则，
，
，
故，
故选：C.
2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）在平行六面体中，，，，，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合空间向量的数量积的定义及运算律求出和，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】
因为，
则，即，
,
则
，
即，
则
故选：C.
3．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】
∵，∴
，∴，，
故选：C.
4．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案
【详解】
设与的夹角为θ，
由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，解得，
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
【答案】B
【解析】
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
6．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
根据向量与的夹角为钝角，则·<0，求得λ的范围，在将与共线且反向的情况排除即可.
【详解】
∵向量与的夹角为钝角，
∴·＝
解得.
当与共线时，设＝k (k<0)，
可得，
解得，
即当时，向量与共线且反向，
此时·<0，但与的夹角不是钝角.
综上：λ的取值范围是.
故答案为：
7．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））空间四边形 ， ， ，则
的值为__________．
【答案】0
【解析】
【详解】
∵，
∴
∴．
答案：
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)垂直
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的定义直接计算，可得答案;
（2）求得向量的模，求出，根据向量的夹角公式求得答案;
（3）计算与的数量积，根据结果，可得答案.
(1)
正方体中， ,
故;
(2)
由题意知, ,
,
，
故，
故 ，
故与的夹角的大小为 ；
(3)
由题意， ,
,
故与垂直.
9．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.
(1)
，，故，所以的长为；
(2)
，由（1）知：，
设直线与所成角为
∴，
∴直线与所成角的余弦值为.
10．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
(1)
，，，
，
∴
，
；
(2)
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.
11．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量，根据下列各条件分别求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用空面向量的余弦夹角公式进行求解；（2）根据向量数量积的运算法则计算出，进而求出夹角；（3）根据向量数量积的运算法则计算出，进而求出夹角；（4）根据向量数量积运算法则计算出，得到夹角.
(1)
，，故
(2)
因为，所以，故，因为，所以
(3)
因为，所以，故，因为，所以
(4)
，两边平方得：，故，故，因为
，所以
12．（2022·全国·高二课时练习）已知都是空间向量，且，求.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的数乘定义或者数量积性质可得.
【详解】
与同向，与反向，且
另解：
又向量的夹角范围为，
13．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；
（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.
【详解】
（1）由题可知，，
那么
，
因此，的长为；
（2）由题知，，
则，
，
所以，.
【点睛】
本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求：
（1）的长；
（2）与AC所成的角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，，，求得，，，根据，即可求得对角线的长；；
（2）由，，分别计算模长，利用即可得解.
【详解】
（1）设，，，
所以，，
因为
所以平行四边形中
所以对角线的长为：.
（2）由，可得，
所以
由，
可得
.
所以，
.
【点睛】
本题主要考查了空间向量数量积的应用，求模长和夹角，属于基础题.
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】
因为是平行六面体，
所以，
所以有：，
因此有：
，
因为，，，，，
所以，
所以，
故选：B
2．（2022·湖北·高二期末）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求的平方后再求解即可.
【详解】
，
故，
故选：C
（多选题）3．（2022·全国·高二）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若直线与交于点O，则
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算、空间向量的数量积和模的运算即可求得答案.
【详解】
对A，由题意，，A正确；
对B，，B正确；
对C，，
则，C错误；
对D，由题意可知，，
则
，D错误.
故选：AB.
4．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量数量积求得向量的模，即可求得线段的长
【详解】
则
即线段的长为
故答案为：
5．（2022·江苏省响水中学高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，借助模长公式得出的长.
【详解】
因为
所以
即
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）设空间中有四个互异的点A B C D，若，则的形状是___________.
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】
由，利用向量的减法和数量积运算求解.
【详解】
解：因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
7．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知空间向量 是两两互相垂直的单位向量，=___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的数量积的运算律及模长公式即求.
【详解】
∵空间向量 是两两互相垂直的单位向量，
∴，
∴.
故答案为：.
8．（2022·江苏·扬州中学高二期中）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解.
【详解】
由已知可得，且，
由空间向量数量积的定义可得，
所以，，
因此，.
故答案为：.
9．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
由题意，二面角等于，
可得向量，，
因为，可得,
所以
.
故答案为：
10．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】
由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，，得，，又，
∴
，
所以，即.
故答案为：4.
11．（2022·辽宁丹东·高二期末）六面体的所有棱长都为2，底面ABCD是正方形，AC与BD的交点是O，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合空间向量运算求得.
【详解】
，
.
所以.
故答案为：
12．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.
(1)证明：平面；
(2)若为中点，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由面面平行的判定定理与性质定理求解
（2）由空间向量数量积的运算律求解
(1)
过点作，交于点，连接，
由题意得，
故，，而平面，平面，
平面，同理得平面，
而，平面平面，
平面
(2)
由题意得，
故，
，
故
13．（2022·全国·高二课时练习）已知三个平面两两垂直且交于点O，若空间一点P到三个平面的距离分别为2，3，6，则线段OP的长度为多少？
【答案】7
【解析】
【分析】
利用向量表达出，求出的平方，进而求出线段OP的长度.
【详解】
构造以OP为对角线的长方体，
则，且两两垂直，且，故，所以.
14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平行六面体中，，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】
用表示出，利用数量积求出的长．
【详解】
在平行六面体中，.
所以
=55.
所以
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知在平面内，D是斜边的中点，，且O到平面的距离为，，，求线段的长.
【答案】，，.
【解析】
【分析】
由线面垂直可得，，应用勾股定理求、、，由余弦定理求，再由结合向量数量积的运算律求.
【详解】
由题设知：，又，，
所以，，
在△中，
在△中，
在△中，
故在△中有，
又D是斜边的中点，则，
所以，即.
16．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）
，是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
(1)用向量，，表示；
(2)求.
【答案】(1).
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算，再开方即可求解.
(1)
解：，
所以；
(2)
解：因为
.
又因为四面体是正四面体，
则，
，
，
所以.

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