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第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题
【知识点梳理】
知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：
1．定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2．坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3．基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
4．几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
知识点二．极化恒等式
1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
（1）
（2）
（2）两式相加得：
2．极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
(
A
B
C
M
)
知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
题型五：极化恒等式
【典型例题】
题型一：定义法
例1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知平面向量满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由两边同时平方可求的最小值，再根据向量投影定义求向量在向量方向上的投影的最小值.
【详解】
因为，所以，
所以，又，
所以，
因为向量在向量方向上的投影为，
当且仅当，，时等号成立，
故向量在向量方向上的投影的最小值为，
故答案为：.
例2．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】
设,
,
所以当时，取得最小值为.
故选：A
例3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
易得四边形为平行四边形，设，再将用表示，根据共线，求得，再将用表示，根据数量积的运算律即可求出；根据求得，以点为原点建立平面直角坐标系，设，再根据数量积的坐标表示即可求出答案.
【详解】
解：因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以且，
则可设，
故，
因为共线，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，
如图以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
设，
故，
则，
当时，取得最小值.
故答案为：；.
例4．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则________；若，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由求出，然后由平方后求得，把用表示后求数量积化为的函数可得最大值．
【详解】
由已知，
所以，所以，
；
因为，，
所以，
，
，
所以时，取得最大值．
故答案为：；．
例5．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）若，且，则___________，的最大值为___________.
【答案】 3
【解析】
【分析】
由直接求出；把转化为，即可求出的最大值.
【详解】
因为，所以；
因为，
，当，即同向时，等号成立.
所以的最大值是.
故答案为：3；.
例6．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，c＝1且．
(1)求b边的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理和余弦定理对进行化简即可；
（2）以为基底表示，然后根据算出，再通过面积公式计算面积；
（3）设，利用△AEF的面积为△ABC面积的一半，得到xy＝2，再以为基底分别表达三点共线和E，G，F三点共线，对应系数得到的表达式，然后计算数量积的最值.
(1)
由条件，
由正弦定理得：，
由余弦定理化简可得：4c＝b，
又c＝1，所以：b＝4．
(2)
因为D为中点，所以，
设，则，
∵，即
∴
故△ABC的面积为．
(3)
设，因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以xy＝2，
设，则，
又E，G，F共线，所以设，
则，
所以：，解得：，则，
又，
，
又xy＝2，所以化简可得：，
又y≤4，所以，
所以，即当x＝1时．
题型二：坐标法
例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
(1)若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
(2)若，向量，，求的最小值及对应的x值．
【答案】(1)
(2)最小值为，
【解析】
【分析】
（1）设，求出点的坐标从而得出的坐标，再根据向量模的坐标计算公式即可得，即可求出的最小值；
（2）由题意得，再根据平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可得，即可解出．
(1)
设，又，所以
所以，
所以当时，最小值为．
(2)
由题意得，，，
则
因为，所以，
所以当时，即时，取得最大值1．
所以时，取得最小值．
所以的最小值为，此时．
例8．（2022·甘肃平凉·高一期末）已知等腰直角三角形中，斜边的长为，点M是线段上一点，且，点N在线段上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，再设，得出，结合求解二次函数的最小值即可
【详解】
以点A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．因为
，故.
设，因为共线，则，∴，
∴，其中．则，
故，因为 对称轴，则当时，函数有最小值，且，即的最小值为，
故选：B
例9．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系，，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
如图：设，因为四边形为菱形，则，
以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系，
易得，、、，
设，，其中，
则，所以，，
，，，
则，
所以，当时，取最小值．
故选：C.
例10．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以的最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C
例11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，建立直角坐标系，求得的坐标，并设，则，求出向量的数量积，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，即，
设(其中)，
则，
所以
，
因为，则，可得，
所以当时，即时，取的最小值，最小值为.
故选：B.
例12．（多选题）（2022·云南·昆明一中高一期中）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.
【详解】
当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；
因为P在在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，
所以，则，故B错误；
当点P在BD上时，，
所以，故C正确；
若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，
设，则，，
∴
∴当时，有最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
例13．（多选题）（2022·浙江·高一阶段练习）如图，在四边形中，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若为线段的中点，则
C．的最小值为 D．的最大值比最小值大
【答案】ABD
【解析】
【分析】
如图1，补全图形，则在直角中，求得相应线段长度判断A，再建立平面直角坐标系，利用坐标法依次讨论BCD即可得答案.
【详解】
解：如图1，补全图形，则在直角中，，则， ，，又，所以，A正确；
故以点为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，如图2.
所以，，
所以，当为线段的中点时，，此时，故由得，解得，故，B正确；
，所以当时， 取得最小值，故C错误；
，故由得，故当时，取得最小值，时，取得最大值，故，D正确.
故选：ABD
题型三：基底法
例14．（2022·山东临沂·高一期中）在中，，，，，则__________，若点在线段上，则 的最大值为___________．
【答案】 ##1.5
【解析】
【分析】
利用向量，则，关键是求出，用和表示，，结合可求出，即可求解；再根据点在线段上可设，，用和表示，，根据的范围即可求解.
【详解】
由题，因为，所以，
又，则，
因为，，
则，
因为，则，所以，
所以；
因为点在线段上，所以设，，
因为，
所以，
所以当时， 的最大值为，
故答案为：；.
例15．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）在梯形中，分别为线段，上的动点.
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，求的最小值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，所以，求解计算即可；
（2）根据题意得，所以；
（3）根据题意得，且，再分析单调性求解即可.
(1)
因为，所以，
所以，
所以.
(2)
由（1）知，，因为，所以，
所以，
所以.
(3)
因为，，
则
，
因为，解得，设，，根据对勾函数的单调性可知，在单调递增，
所以当时，取得最小值：.
例16．（2022·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为___________，若，则的最小值为___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算可得，结合平面向量夹角的范围即可得出结果.
【详解】
由题意知，如图，
由为等比三角形，得，
所以；
因为，所以点E为AC的中点，
则，又，
所以
，
，
又，所以，
所以.
故答案为：；.
例17．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知点P是边长为2的正三角形的边BC上的动点，则（ ）
A．最大值为6 B．为定值6 C．最小值为3 D．为定值3
【答案】B
【解析】
【分析】
设,根据向量的加减运算表示出，进而将转化为，结合数量积的运算律，可求得答案.
【详解】
设 ，则 ，
则,
故
，
故选：B
例18．（2022·天津南开·三模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，，，，则
，代入结合均值不等式即可求出答案.
【详解】
因为在等腰梯形中，已知，，，，可知，
所以， ，
， ，
则
.
当且仅当，即时取等号，即最小值．
故答案为：；.
题型四：几何意义法
例19．（2022·湖北·高一阶段练习）如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为___________，最大值为___________
【答案】 -64 8
【解析】
【分析】
由题容易分析出当都为直径时，取得最小值；的最大值，可以用数量积的几何意义和基本不等式求解.
【详解】
当都为直径时，的模长同时取最大值8，且夹角余弦值取到最小值-1，所以的最小值为；
要求的最大值，显然夹角为锐角，
由平面向量数量积的定义，等于乘以在方向上的投影，
如图，对于给定的，当且仅当圆在点处的切线垂直于时，最大
易知，作垂足为，垂足为
设，则
则
当且仅当时，取等.
故答案为：-64；8.
例20．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.
【详解】
由题记，
则由，
得，且．
作图，如右图所示：
为正三角形，，
由，得C在直线上，
又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上，
∴．
故答案为：．
例21．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知平面向量,若,则在上投影向量的模长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用这个条件把向量的终点放在单位圆上，固定，从而就可以让运动起来，画出图形，数形结合求解
【详解】
如图,以为原点,向量所在直线为轴,建立如图平面直角坐标系
向量的终点在单位圆上
即点在单位圆上运动,
为在上的投影
由图知,当直线BE与圆下方相切时, 最小
设直线BE与轴交点为
在中,
所以
在Rt中,,所以
即在上的投影最小值为5
所以在上的投影最小值为
故选:D
例22．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【详解】
由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；
由可知当在上的投影长最长时，即 与圆 相切时，可取到最小值；
，
当时，，所以的最小值为.
故选：B.
例23．（2022·辽宁·高一期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，结合平面向量数量积的几何意义可求得结果.
【详解】
过点作直线的垂线，垂足为点，
观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，
且，则，所以，，
故的最大值为.
故选：C.
题型五：极化恒等式
例24．（2022·全国·模拟预测）在中，已知，，，，，点在边上，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，又可将转化为，即可求出的最大值
【详解】
以A为坐标原点， AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，.
连接，设线段的中点为，连接，
则，
.连接，，因为点在线段上，
所以，
又，
，
所以，所以的最大值为.
故选：C
例25．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值.
【详解】
如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以，.
所以，.
的最小值为.
故选：D.
例26．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）如图，在等腰直角中，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点，则的最小值为___________.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】
根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】
连接MD，则，，
所以，
由于为等腰直角三角形，为线段上的点，
因此，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
例27．（2022·湖南·高一阶段练习）已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
作出辅助线，利用向量的线性运算及数量积运算法则得到，数形结合得到当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，从而求出最小值.
【详解】
设AC中点为O，连接OB，则OB＝3，
因为，所以P点在以B为圆心，1为半径的圆上，
所以，
显然，当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，
．
故选：A
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）若向量的模均为2，且，则的最大值（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数量积的运算率，将展开，可得，然后根据模长公式即可求解.
【详解】
因为，所以，又，即，
故选：C
2．（2022·江苏·无锡市第一中学高一阶段练习）已知向量，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.
【详解】
，
,，其中，
故，
，
故当时，即时，取最大值为.
故选：C.
3．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，得恒成立，从而可得，再结合，即可求解
【详解】
因为，
所以，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：A
4．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先表示出，由辅助角公式得，结合正弦函数的最大值即可求解.
【详解】
，当时，取最大值2.
故选：C.
5．（2022·贵州黔东南·高一期中）已知向量，，且，，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数量积及余弦函数的性质可求模的最大值.
【详解】
设向量，的夹角为，
则．
当且仅当时即，共线反向时等号成立，∴的最大值为5．
故选：D.
6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知平面向量均为单位向量，．=0，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把模转化为数量积的运算后结合已知可得．
【详解】
由题意，所以，
，
所以的最大值为1．
故选：C．
7．（2022·河北石家庄·高一阶段练习）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为均是边长为2的等边三角形．设点P为前轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，设，表示出的表达式，结合三角函数的性质，求得答案.
【详解】
以A为坐标原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，圆A的方程为，
可设，所以，
故，
所以当，即时，的最大值为6，
故选：D．
8．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意将，两边同时平方可得，再三角代换，利用三角函数的值域求法即可解出．
【详解】
由题意得，，，，
由，等式两边同时平方，得，所以，令，则，
则，其中，因为，所以，所以，即的最大值为.
故选：B．
9．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关
【答案】A
【解析】
【分析】
结合向量运算求得正确答案.
【详解】
，
设，
，
.
故选：A
二、多选题
10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面内夹角为的两个单位向量，向量在该平面内，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
令，， 设，然后根据平面向量的坐标运算逐项分析即可.
【详解】
因为，是平面内夹角为的两个单位向量，所以设，，设，又因为，所以，则,
，故A错误；
，故B正确；
，，所以不一定等于0，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
11．（2022·山东省实验中学高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；
C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.
【详解】
，A错误；
由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.
由知，，设，则解得故，C正确.
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.
故选：BCD.
12．（2022·江苏·扬州中学高一期中）已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积是面积的
C．若，，则
D．若，，则当取得最小值时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．
【详解】
因为的重心为G，所以，所以，A错；
，B正确；
，， 是等腰三角形，，
是锐角，，
，
，C正确；
设，，
，
所以时，取得最小值，
此时， D正确．
故选：BCD．
13．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积是面积的
C．若，，则
D．若，，则当取得最小值时，
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用平面向量的基底表示，结合重心的性质，判断选项AB，利用余弦定理计算角，根据平面向量的基底表示计算向量的数量积，从而判断选项CD.
【详解】
设的中点为，则，则，即，由重心性质可知成立，故A正确；
，则，即，所以为边上靠近点的三等分点，则的面积是面积的，故B错误；
在中，由余弦定理得，则，故C正确；
由余弦定理得，所以
，则当时，取得最小值，此时，，故D错误.
故选：AC
【点睛】
一般计算平面向量的数量积时，如果不能采用定义或者坐标公式运算时，可利用向量的基底表示，根据向量的线性运算法则将所求向量表示为已知向量的和或差进行计算.
三、填空题
14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，设，利用坐标运算求出，再利用辅助角公式即可求解.
【详解】
解：如图所示：建立平面直角坐标系，
则，，
由题意可设：，
则，，
，其中，∴的最小值为.
故答案为：.
15．（2022·山东枣庄·高一期中）若是边长为6的等边三角形，点满足，且（其中，），则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用模的运算公式，结合二次函数的性质求得的最小值.
【详解】
依题意（其中，），
，
所以当，时，
取得最小值为.
故答案为：
16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】
构造不等式去求的最小值
【详解】
则
（当且仅当与方向相反时等号成立）
故答案为：
17．（2022·江苏扬州·高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________
【答案】 132##-6.5
【解析】
【分析】
设，，则，利用向量的数量积的运算律和定义，将化为关于的函数，利用三角函数知识可求出最小值.
【详解】
设，，则，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：
18．（2022·上海市七宝中学高一期中）非零向量满足，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量三角式，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】
由，
因此有，
于是有，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：应用是解题的关键.
19．（2022·浙江台州·高一期中）在直角坐标平面内，，，若对任意实数，点都满足，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】
设P为(x，y)，根据对任意实数t∈R可求出的范围，从而可求的最小值．
【详解】
设P为(x，y)，则，，，，
∴，
，
∵对任意实数，∴，
∵，，
∴，当且仅当x＝0，时取等号．
故答案为：5．
20．（2022·上海市第二中学高一期中）在中，,,有下述三个结论：
①若G为的重心，则；
②若P为边上的一个动点，则为定值2；
③若M、N为边上的两个动点，且，则的最小值为．
其中所有正确结论的编号________________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
对于①，根据三角形重心的性质，利用平面向量的线性运算求出，可判断①；
对于②，设，将用表示，根据平面向量数量积的运算律计算，可判断②；
对于③，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求出的最小值，可判断③.
【详解】
对于①，延长，交于，如图：
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以，故①正确；
对于②，在中，,,所以，
设，则
，
所以为定值，故②不正确；
对于③，以为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
在中，,,所以，
则，,,设，，
不妨设，则，且，
则，，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.故③正确.
故答案为：①③.
21．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知平面向量满足与的夹角为，记，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，根据，再由三点共线求解.
【详解】
解：因为平面向量满足与的夹角为，
设，
则，
，
三点共线，
到直线的距离，
即的取值范围为.
故答案为：
22．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））已知是边长为2的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
令且，由向量的线性关系及数量积的运算律可得，即可确定范围.
【详解】
令且，则，而，
所以，
关于的函数式，在上递减，在上递增，
当时，；当时，；当时，；
所以.
故答案为：
23．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知是边长为2的等边三角形，若点是区域内一点（不包括边界），且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
引入中点为，将式子变型，最后转化成求的取值范围.
【详解】
设中点为，依题意知：，于是下只需求的取值范围即可，根据三边关系，当共线取等号，故，由可知点在以为圆心，半径为的圆弧上运动，显然当运动到如图所示的空心点处，最大，但由于空心点取不到，故，
于是.
故答案为：.
24．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的项点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分别过点、作、轴的垂线，设点、，根据锐角三角函数的定义可得出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出的取值范围.
【详解】
过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，
过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、（如图所示）
则，
因为顶点C在第一象限内，所以，
设点、，
则，，
，；
则，，
则
，
因为，所以，
则，则
因此，的取值范围是.
故答案为：.
25．（2022·湖北荆州·高一期中）在中，D、E分别是BC、AC的中点，且，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由平面向量的线性运算和数量积运算得，再由三角形的三边的关系得c的范围，由此求得答案.
【详解】
解：由已知得，
又，即，即，
所以，所以，
∴，
故答案为：.
26．（2022·湖南·高一期中）已知，，，，点P为平面ABC内一动点，且满足.
（1）已知，则_________；
（2）已知，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据加量加法的平行四边形四边形法则及锐角三角函数，
在利用向量的数量积即可求解；
（2）根据向量的线性运算及数量积运算，再利用向量的摸公式，结合
判别式求函数的值域的方法即可求解.
【详解】
（1）如图所示
因为，所以四边形是平行四边形，
又，，
当时，，则，
，
；
故答案为：.
（2）因为，，
所以，
，
，
又因为，所以，
设，则，
，
，
，
，，，即
于是有.
所以的取值范围为.
故答案为：第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题
【知识点梳理】
知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：
1．定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2．坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3．基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
4．几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
知识点二．极化恒等式
1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
（1）
（2）
（2）两式相加得：
2．极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
(
A
B
C
M
)
知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
题型五：极化恒等式
【典型例题】
题型一：定义法
例1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知平面向量满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为_________．
例2．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
例3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．
例4．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则________；若，，则的最大值为________．
例5．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）若，且，则___________，的最大值为___________.
例6．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，c＝1且．
(1)求b边的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值．
题型二：坐标法
例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
(1)若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
(2)若，向量，，求的最小值及对应的x值．
例8．（2022·甘肃平凉·高一期末）已知等腰直角三角形中，斜边的长为，点M是线段上一点，且，点N在线段上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·甘肃定西·高一阶段练习）菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例10．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
例11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．2
例12．（多选题）（2022·云南·昆明一中高一期中）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
例13．（多选题）（2022·浙江·高一阶段练习）如图，在四边形中，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若为线段的中点，则
C．的最小值为 D．的最大值比最小值大
题型三：基底法
例14．（2022·山东临沂·高一期中）在中，，，，，则__________，若点在线段上，则 的最大值为___________．
例15．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）在梯形中，分别为线段，上的动点.
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，求的最小值；
例16．（2022·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为___________，若，则的最小值为___________.
例17．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知点P是边长为2的正三角形的边BC上的动点，则（ ）
A．最大值为6 B．为定值6 C．最小值为3 D．为定值3
例18．（2022·天津南开·三模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．
题型四：几何意义法
例19．（2022·湖北·高一阶段练习）如图，圆，圆半径均为4，两圆外切于点O，点A是圆上任意一点，点B是圆上任意一点，则的最小值为___________，最大值为___________
例20．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为_________．
例21．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知平面向量,若,则在上投影向量的模长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例22．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例23．（2022·辽宁·高一期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型五：极化恒等式
例24．（2022·全国·模拟预测）在中，已知，，，，，点在边上，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
例25．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例26．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）如图，在等腰直角中，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点，则的最小值为___________.
例27．（2022·湖南·高一阶段练习）已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）若向量的模均为2，且，则的最大值（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（2022·江苏·无锡市第一中学高一阶段练习）已知向量，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有
，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·贵州黔东南·高一期中）已知向量，，且，，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知平面向量均为单位向量，．=0，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北石家庄·高一阶段练习）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为均是边长为2的等边三角形．设点P为前轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
8．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16 B．为定值10 C．最大值为8 D．与的位置有关
二、多选题
10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面内夹角为的两个单位向量，向量在该平面内，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值为
11．（2022·山东省实验中学高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
12．（2022·江苏·扬州中学高一期中）已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积是面积的
C．若，，则
D．若，，则当取得最小值时，
13．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积是面积的
C．若，，则
D．若，，则当取得最小值时，
三、填空题
14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．
15．（2022·山东枣庄·高一期中）若是边长为6的等边三角形，点满足，且（其中，），则的最小值为______．
16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．
17．（2022·江苏扬州·高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________
18．（2022·上海市七宝中学高一期中）非零向量满足，则
的最小值为_______.
19．（2022·浙江台州·高一期中）在直角坐标平面内，，，若对任意实数，点都满足，则的最小值为________．
20．（2022·上海市第二中学高一期中）在中，,,有下述三个结论：
①若G为的重心，则；
②若P为边上的一个动点，则为定值2；
③若M、N为边上的两个动点，且，则的最小值为．
其中所有正确结论的编号________________．
21．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知平面向量满足与的夹角为，记，则的取值范围是___________.
22．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））已知是边长为2的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为______．
23．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）已知是边长为2的等边三角形，若点是区域内一点（不包括边界），且，则的取值范围是______．
24．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的项点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则的取值范围为______．
25．（2022·湖北荆州·高一期中）在中，D、E分别是BC、AC的中点，且，，则的取值范围是__________．
26．（2022·湖南·高一期中）已知，，，，点P为平面ABC内一动点，且满足.
（1）已知，则_________；
（2）已知，则的取值范围为_________.

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