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第06讲 空间向量及其运算的坐标表示
【知识点梳理】
知识点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
知识点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①;
②;
③;
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的坐标表示
题型二：空间向量的直角坐标运算
题型三：空间向量的共线与共面
题型四：空间向量模长坐标表示
题型五：空间向量平行坐标表示
题型六：空间向量垂直坐标表示
题型七：空间向量夹角坐标表示
【典型例题】
题型一：空间向量的坐标表示
1．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的坐标表示，即得.
【详解】
设，
∵，又，
∴，
解得，即.
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】
∵在基底下的坐标为
∴
设在基底下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴在基底下的坐标为
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量运算求得，从而确定正确选项.
【详解】
由题可知，为的中点，
∴，
∴坐标为.
故选：D
4．（多选题）（2022·福建三明·高二期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;
利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.
【详解】
根据题意可知点的坐标为，故A错误；
由空间直角坐标系可知： ,故B正确；
由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；
点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，
故选：BCD
5．（多选题）（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．
【详解】
在等边中，，所以，则，，则.
故选：ABC
6．（2022·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由坐标运算求解即可.
【详解】
故答案为：
7．（2022·全国·高二课时练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量坐标的求解方法，结合已知数据，求解即可.
【详解】
设的终点坐标为，由题可得：，
故可得，即的终点坐标为.
故答案为：.
8．（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，，则点的坐标为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
先求出向量的坐标，设点，得出的坐标，根据条件得出方程组可得答案.
【详解】
点，，则
设点，则
由，则 ，即，
所以点的坐标为
故答案为：
9．（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题设确定的空间坐标，再利用向量的坐标表示求、、的坐标.
【详解】
如题图示，，
∴，
，
.
故答案为：，，.
10．（2022·全国·高二专题练习）已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得、，进而得解.
【详解】
点、在平面上的射影分别为、，
∴向量的坐标为．
故答案为：.
11．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，用表示出，即可得．
【详解】
设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.
故答案为：．
【点睛】
本题考查空间向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标表示，是坐标原点，的坐标就是点的坐标．
12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；
（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.
(1)
由已知，
则，，
(2)
,
.
13．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
利用正方体的几何特征建立空间直角坐标系，求出点的坐标，由此即可求出向量坐标.
【详解】
如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，求向量的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
用向量的终点坐标减去起点坐标即为向量的坐标.
【详解】
15．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【解析】
【分析】
以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
题型二：空间向量的直角坐标运算
1．（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】
，，∴．
故选：B．
2．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算直接计算.
【详解】
由题意得，，所以，
所以，所以的坐标为．
故选：B．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：A.
4．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可
【详解】
如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，
所以，，
，
故选：A
5．（2022·广西河池·高二期末（理））已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算，计算即可.
【详解】
由，
得，
所以，
故选：D
6．（2022·吉林白山·高二期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.
【详解】
以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.
故选：C
（多选题）7．（2022·湖南益阳·高二期末）已知四面体的所有棱长都是分别是棱
的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.
【详解】
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故选：ACD
8．（2022·全国·高二课时练习）若 ，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．
【详解】
解：点 ，为线段上一点，且，
所以，
设点的坐标为，则，
则，即，
解得，即；
故答案为：．
9．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，，
，设（且只在正方体的条棱上运动），
则，
，
由于，所以.
当时，取最小值；当时，取最大值.
故答案为：
10．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二阶段练习（理））在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.
【详解】
解：因为向量，
所以，
所以
故答案为：
11．（2022·吉林白山·高二期末）已知，，则___________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据空间向量的数量积运算的坐标表示运算求解即可.
【详解】
解：因为，，
所以.
故答案为：
12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，
．求：
(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；
（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.
(1)
由已知，
则，，
(2)
,
.
13．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，求，，．
【答案】，，
【解析】
【分析】
直接根据向量的加减数乘的坐标运算即可得解.
【详解】
，
，
．
14．（2022·全国·高二课时练习）已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求.
【答案】16，0，2.
【解析】
【分析】
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，，，，，的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计算可得所求向量的数量积．
【详解】
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
即有，0，，，0，，，4，，，0，，
，0，，，4，，，4，，
，0，，，2，，
（1），4，，4，；
（2），2，，0，；
（3），2，，2，．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标.
【答案】
【解析】
【分析】
由图可得，设，然后根据求解即可.
【详解】
由图可得，设
因为，所以，所以
所以，解得，即
题型三：空间向量的共线与共面
1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（理））已知空间三点，，，若三点共线，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果.
【详解】
因为，，且三点共线，
所以向量与向量共线，
所以，得．
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）若、、三点共线，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据求解即可.
【详解】
∵，，
由题意得，则，
∴、，∴，
故选:A．
3．（2022·江苏·高二课时练习）向量，，，中，共面的三个向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
A：若共面，则，即，
即，显然不存在满足题意，故不共面；
同理，B，C中的三个向量也不共面；
D：若共面，则，即，
即，故存在满足题意，则共面.
故选：D.
4．（2022·陕西榆林·高二期末（理））已知，， ，若、、三个向量共面，则实数
A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数．
【详解】
解：，， ， 、、三个向量共面，
存在实数，，使得，即有：
，
解得，，
实数．
故选：．
【点睛】
本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题．
5．（2022·云南省泸西县第一中学高二期中）已知空间向量，若共面，则( )
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据共面向量，得到对应关系，求出的值即可．
【详解】
若、、共面，则，
即，1，，，，
故，故，
故选：B．
6．（2022·浙江·效实中学高二期中）（1）设，，则______；
（2）若与，，（，，三点不共线）四点共面，且对于空间任一点，都有，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算的坐标表示可求的坐标，
（2）由已知可得：，利用四点共面的充要条件列方程即可求解.
【详解】
（1）因为，，所以，
所以.
（2）对于空间任一点，都有，
则即，
因为点与，，（，，三点不共线）四点共面，
所以，可得，
故答案为：；.
7．（2022·全国·高二课时练习）若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据点A，B，C的坐标，分别求出的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而
可求m+n的值.
【详解】
由题意，∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（ m+3，n﹣3，9）
∴
∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（ m+3，n﹣3，9）三点共线，
∴
∴（m﹣1，1，m﹣2n﹣3）=λ（2，﹣2，6）
∴
∴
∴m+n=0
故答案为0
【点睛】
本题以点为载体，考查三点共线，解题的关键是求向量的坐标，利用向量共线的条件．
8．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，
，共面，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由，，共面，设，由坐标运算列出方程求解即可.
【详解】
因为，，共面，设，则，则，解得.
故答案为：2.
9．（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.
【详解】
因为不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
10．（2022·湖北襄阳·高二期末）若向量，，，且向量，，共面，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由向量共面的性质列出方程组求解即可.
【详解】
因为，，共面，所以存在实数x，y，使得，得，
解得
∴ ．
故答案为：
11．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，共面，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求出的值.
【详解】
，，共面，
存在实数，满足，
则， ，，．
故答案为：
12．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.
（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.
(1)
由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)
由，
由（1）知：当时，有；
而，又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又时、，故，满足题设；
综上，.
13．（2022·全国·高二课时练习）证明，，，四点共面，你能给出几种证明方法？
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
方法一、根据即可证明；方法二、根据即可证明.
【详解】
证明：方法一、因为，，，，
所以，，，
所以，
所以四点共面；
方法二、因为，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以四点共面.
14．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E；
（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．
【答案】（1） E(a，x，0)，F(a－x，a，0)；（2）证明见解析 ；（3） 证明见解析．
【解析】
【分析】
( 1 )在空间直角坐标中结合正方体结构特征，能求出E, F的坐标；
(2)求出，利用向量法能证明A1F⊥C1E；
(3)由 A1，E，F，C1四点共面，得到,从而E, F,分别AB, BC的中点，由此能证明.
【详解】
（1）在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点且，其中以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz，
所以E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．
（2）证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，
∴A1F⊥C1E．
（3）证明：∵A1，E，F，C1四点共面，
共面．
选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
解得λ1＝，λ2＝1．
于是＝＋．
15．（2022·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知向量，，．
(1)当时，求实数x的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．
【答案】(1)或.
(2).
【解析】
【分析】
（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；
（2）设，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可．
(1)
解： ，
因为，所以，即，解得或；
(2)
解：因为向量与向量，共面，所以设．
因为，，所以所以实数x的值为.
16．（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）解答：
(1)已知，.若，分别求与的值；
(2)已知三个向量、、不共面，并且，，，向量、、是否共面？
【答案】(1)，.
(2)共面，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解得、的值；
（2）设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解方程组即可得出结论.
(1)
解：因为，，且，
设，则，解得；
(2)
解：不妨设向量、、共面，可设，
所以，，解得，，即，
因此，向量、、共面.
题型四：空间向量模长坐标表示
1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由数量投影的公式求解即可.
【详解】
由题意知：在的方向上的数量投影为.
故选：C.
2．（2022·江苏南通·高二期中）设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】
由题设，则.
故选：C
4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.
【详解】
依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，设，有，
线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以线段EF长的最小值为.
故选：B
5．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可求在方向上的投影数量，进而点到直线的距离为，即求.
【详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影数量为，
∴点到直线的距离为.
故选：C.
6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A． B． C．5 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出B（3，4，0），由此能求出||．
【详解】
解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），
则||＝＝5．
故选：C．
（多选题）7．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据空间向量的垂直的坐标运算可判断A；计算空间向量的模长可判断BC；根据空间向量的数量积的坐标运算可判断D.
【详解】
，故A错误；
，故B正确；
因为，，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：BD.
8．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可
【详解】
由题，，故在上的投影向量的模
故答案为：
9．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，
因为，点为的中点，
所以，
所以，，
故．
故答案为：.
10．（2022·江苏宿迁·高二期中）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】
以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
11．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量模长坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】
，，
解得：或，又，.
故答案为：.
12．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可设，，，根据已知条件求出、、的值，将向量用坐标加以表示，利用空间向量的模长公式可求得的最小值.
【详解】
因为、是空间内两个单位向量，且，
所以，，因为，则，
不妨设，，
设，则，，解得，则，
因为，可得，
则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，对于任意的实数、，的最小值为.
故答案为：.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点，且平行于x轴，求直线l上满足的点P的坐标．
【答案】或
【解析】
【分析】
由题意知直线l上的点，设并应用空间向量模长的坐标表示求参数x，即可确定P的坐标．
【详解】
由题意，直线l上的点有，故可设，
由，即，可得，解得或，
所以或.
14．（2022·湖南·高二课时练习）下图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量，，代表．
(1)若用向量代表整条手臂，求；
(2)求所代表的点与原点之间的距离．
【答案】(1)
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由向量的线性运算求解．
（2）由向量模的定义计算．
(1)
由题意
(2)
由题意．
15．（2022·湖南·高二课时练习）已知长方体的四个顶点分别为，，，，求其余各顶点的坐标以及对角线的长．
【答案】，，，，面对角线长为，体对角线长为.
【解析】
【分析】
根据向量的相等关系，求出各顶点坐标，根据模长公式求出面对角线与体对角线的长.
【详解】
由题意得：设，则由得：，即，所以，又由，求得：，，，其中，故，所以面对角线长度为，，所以
16．（2022·全国·高二课时练习）已知点，若，求．
【答案】
【解析】
【分析】
设，用坐标表示，可得，利用向量的模长公式求解即可
【详解】
设
故
由，可得
解得：
故
题型五：空间向量平行坐标表示
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.
【详解】
由题意可得知，则，因此，所以，
故选：C.
2．（2022·江苏南通·高二期中）设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解.
【详解】
为平行四边形，,设，则，
，解得.
故选：D.
4．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）设x，,向量，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.
【详解】
由得： ，解得，
故，
故选：A.
5．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知，，，若，则（ ）
A． B． C．11 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量共线的性质进行求解即可.
【详解】
，，
因为，所以，
解得，，故.
故选：B
6．（2022·全国·高二课时练习）如果，，三点在同一直线上，那么__________，__________．
【答案】 3 4
【解析】
【分析】
由且，利用空间向量共线的坐标表示求参数a、b即可.
【详解】
由题设，且，而，
所以，可得.
故答案为：3，4.
7．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列方程，即可求解.
【详解】
因为向量，且，
所以，
解得：.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，若点P在直线OA上移动，则点P坐标可设为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据向量共线设出点的坐标.
【详解】
由于在直线上移动，
所以.
故答案为：
9．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）已知向量，，若向量与向量
平行，则实数______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出的坐标，进而根据空间向量平行的坐标运算求得答案.
【详解】
由题意，，因为，所以存在实数使得.
故答案为：2.
10．（2022·湖北·高二期末）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】
因，，则，
因与同向，则设，因此，，
于是得，解得，则，
所以向量的坐标为.
故答案为：
11．（2022·全国·高二期末）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算，求其最小值即可．
【详解】
解：因ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD 平面ABEF＝AB，
于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF为矩形，即BE⊥AB，
以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F（1，3，0），
因点N在BF上，且2FN＝BN，则，
又M在线段AC上移动，则有，
于是得点，

，
因此，当时，取最小值，
此时，，.
故答案为：
12．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且与平行，求实数m的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的性质求解即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
因为与不平行，所以，
所以.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知点，且O为坐标原点，求点C的坐标.
【答案】.
【解析】
【分析】
由空间向量共线的坐标运算即可求得答案.
【详解】
设，则，所以，即点C的坐标为.
14．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知四点、、
，点M是直线OC上的动点，当取得最小值时，求点M的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
根据M、O、C三点共线可设，从而表示出M的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可表示出，结合二次函数的性质即可求其最小值时λ的值，从而求得M的坐标．
【详解】
由题意，设，则，即，
则，，
∴，
当且仅当时，取得最小值，此时点M的坐标为．
15．（2022·全国·高二课时练习）正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【答案】λ＝－4.
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出的坐标，设点P的坐标为(a，a，1)和Q的坐标为(b，b，0)，结合已知向量共线和向量垂直即可求出未知数的值，从而求出Q的坐标，进而可求出λ.
【详解】
以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得，
所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
所以＝0，所以·＝0，即，解得 ，
所以点Q的坐标为，因为，所以＝λ，
所以，故λ＝－4.
【点睛】
关键点睛:
本题的关键是通过建立空间直角坐标系，由向量共线和垂直求出Q的坐标.
题型六：空间向量垂直坐标表示
1．（2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量垂直平行的性质判断即可
【详解】
由题，因为，故，又，故
故选：C
2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知，若，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量垂直时，数量积等于0，列出相应方程，求得答案.
【详解】
由题意可得，
故 ，则 ，
故选：A
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的坐标，再根据数量积为0可求的值.
【详解】
，
因为向量与互相垂直，故，故，
故选：B
4．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
【详解】
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
5．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量垂直的坐标表示计算．
【详解】
由题意，，，
，
因为，
所以，．
故选：A．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值.
【详解】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，，，，
设 ，则 ，，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，
易知，且平面，平面
故，故
所以的最小值为．
故选：D.
7．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
以点为原点建立空间直角坐标系，再由可得的轨迹方程，从而由平面知识得到长的最小值.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
，，
即点的轨迹方程为，
线段AM的长的最小值为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二单元测试）已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，，进而根据空间向量的垂直关系求解即可.
【详解】
解：因为在直线上，且，
所以
所以，，
因为
所以，解得.
故答案为：
9．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，．当时，若向量与垂直，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量模的坐标表示公式，结合空间向量的加法、数乘的运算的坐标表示公式和空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
，
因为与垂直，
所以.
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果
【详解】
如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）
则，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为t >0
所以实数t的取值范围是，
故答案为：
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可得出、、三点的坐标；
（2）利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立.
(1)
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、.
(2)
证明：依题意可得、，则，，
所以，，所以.
12．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
（3）利用共线向量定理可求参数的值.
(1)
，，
故.
(2)
由（1）可得
，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
(3)
由（1）可得不共线，故，均不为零向量，
若向量，平行，则存在非零常数，使得，
整理得到：，
因为不共线，故，故或，
故.
13．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，点，.
(1)求；
(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.
【答案】(1)5
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量坐标表示的线性运算求出，再根据向量模的坐标公式即可得解；
（2）设，根据求出，再根据可得，从而可求得，即可求出，从而可得出答案.
(1)
解：因为，，
所以，
所以；
(2)
解：设，
由，，得，
则，
故，
因为，
所以，
即，解得，
所以，
设，
则，
所以，解得，
所以.
14．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，．
(1)证明：；
(2)若，求该圆柱的体积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过线面垂直证明线线垂直
（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高
(1)
连结，可知
平面
平面
(2)
如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
设圆柱的高为
可得
由题意得，解得
故圆柱的体积
15．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知点，，点P在直线AB上．
(1)若，写出点P的坐标；
(2)若点O是坐标原点，且，写出点P的坐标．
【答案】(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由点在直线上得，表示出P的坐标，根据求出即可.
(2)根据求出即可.
(1)
，
∵点在直线上，∴，，.
由得，
，或.
(2)
，
，，，.
题型七：空间向量夹角坐标表示
1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.
【详解】
由题意可得平面，，则两两垂直
以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，，，
又，则
故选：B
3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，，
因为与的夹角为，可得，即，
整理得，解得或.
故选：D.
4．（2022·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且
，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得余弦值，即可求出的最大值.
【详解】
由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
（多选题）5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】
由题意得
解得或
故选：BD
6．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，则______.
【答案】60°##
【解析】
【分析】
先求出，，再由向量夹角公式求解即可.
【详解】
由题意知：，，
则，故.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为
，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得向量的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】
由题意得，，
故 ，
解得 ，
故答案为：
8．（2022·全国·高二单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______．
【答案】.
【解析】
【分析】
利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
因为是单位向量，所以有，
因为与的夹角都等于，
所以，
所以有，
，
故答案为：
9．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】
设，由向量数量积运算可求得，，由模长运算可知，由向量夹角公式可求得结果.
【详解】
设，又，，，
，，
即，，，
解得：，或，
或，
又，或.
故答案为：或.
10．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由与的夹角为锐角，判断出，且、不同向共线，列不等式组求出k的范围.
【详解】
因为向量若与的夹角为锐角，
所以，且、不同向共线.
只需满足，解得：或.
所以的范围为.
故答案为：.
11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果；
（2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.
(1)
解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，，则.
(2)
解：依题意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
(3)
证明：依题意得、、、、，
则，，，
所以，，，
则，，即，，
又因为，所以，平面.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知空间中三点、、，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求实数k的值；
(3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S．
【答案】(1)或
(2)
(3)3
【解析】
【分析】
（1）设，表示出其坐标，根据模的计算，求得答案;
（2）表示出的坐标，根据向量垂直的坐标运算，求得答案；
（3）求得向量，夹角的余弦，进而求得其正弦，根据三角形面积公式求得答案.
(1)
∵空间中三点，，，，，
∴．
∵，且，∴设，则，
∴，∴，
∴或．
(2)
由题意得，
∴，
∵向量与互相垂直，∴，解得．
(3)
，，，
，，
故，
∴．
13．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.
（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.
(1)
由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)
由，
由（1）知：当时，有；
而，又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又时、，故，满足题设；
综上，.
14．（2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．
【答案】，，，
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算直接计算可得.
【详解】
．
.
∵，，
∴
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，
的坐标，并求它们夹角的余弦值．
【答案】，
【解析】
【分析】
写出四个点的坐标，再利用空间向量的坐标运算可得向量坐标，利用夹角公式可得向量夹角的余弦值.
【详解】
由已知得，
则，
.
16．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，求得，的坐标及其夹角的余弦值和正弦值，利用三角形面积公式即可求得结果.
【详解】
因为，，，故可得,
不妨设，的夹角为，故可得，
则，则.
故答案为：.第06讲 空间向量及其运算的坐标表示
【知识点梳理】
知识点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
知识点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
知识点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①;
②;
③;
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
知识点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的坐标表示
题型二：空间向量的直角坐标运算
题型三：空间向量的共线与共面
题型四：空间向量模长坐标表示
题型五：空间向量平行坐标表示
题型六：空间向量垂直坐标表示
题型七：空间向量夹角坐标表示
【典型例题】
题型一：空间向量的坐标表示
1．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）（2022·福建三明·高二期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
5．（多选题）（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为______．
8．（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，，则点的坐标为______．
9．（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．
10．（2022·全国·高二专题练习）已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．
11．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
13．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标．
14．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，求向量的坐标．
15．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
题型二：空间向量的直角坐标运算
1．（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．不确定
5．（2022·广西河池·高二期末（理））已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·吉林白山·高二期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（多选题）7．（2022·湖南益阳·高二期末）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高二课时练习）若 ，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
9．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.
10．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二阶段练习（理））在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.
11．（2022·吉林白山·高二期末）已知，，则___________.
12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
13．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，求，，．
14．（2022·全国·高二课时练习）已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求.
15．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标.
题型三：空间向量的共线与共面
1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（理））已知空间三点，，，若三点共线，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
2．（2022·全国·高二课时练习）若、、三点共线，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）向量，，，中，共面的三个向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西榆林·高二期末（理））已知，， ，若、、三个向量共面，则实数
A．3 B．5
C．7 D．9
5．（2022·云南省泸西县第一中学高二期中）已知空间向量，若共面，则( )
A． B．0 C．1 D．
6．（2022·浙江·效实中学高二期中）（1）设，，则______；
（2）若与，，（，，三点不共线）四点共面，且对于空间任一点，都有，则______．
7．（2022·全国·高二课时练习）若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
8．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则___________.
9．（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
10．（2022·湖北襄阳·高二期末）若向量，，，且向量，，共面，则______．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，共面，则实数的值为______．
12．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
13．（2022·全国·高二课时练习）证明，，，四点共面，你能给出几种证明方法？
14．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E；
（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．
15．（2022·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知向量，，．
(1)当时，求实数x的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．
16．（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）解答：
(1)已知，.若，分别求与的值；
(2)已知三个向量、、不共面，并且，，，向量、、是否共面？
题型四：空间向量模长坐标表示
1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·高二期中）设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A． B． C．5 D．5
（多选题）7．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
9．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.
10．（2022·江苏宿迁·高二期中）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
11．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．
12．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点，且平行于x轴，求直线l上满足的点P
的坐标．
14．（2022·湖南·高二课时练习）下图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量，，代表．
(1)若用向量代表整条手臂，求；
(2)求所代表的点与原点之间的距离．
15．（2022·湖南·高二课时练习）已知长方体的四个顶点分别为，，，，求其余各顶点的坐标以及对角线的长．
16．（2022·全国·高二课时练习）已知点，若，求．
题型五：空间向量平行坐标表示
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2022·江苏南通·高二期中）设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）设x，,向量，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
5．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知，，，若，则（ ）
A． B． C．11 D．4
6．（2022·全国·高二课时练习）如果，，三点在同一直线上，那么__________，__________．
7．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________．
8．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，若点P在直线OA上移动，则点P坐标可设为___________.
9．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）已知向量，，若向量与向量平行，则实数______．
10．（2022·湖北·高二期末）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
11．（2022·全国·高二期末）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且与平行，求实数m的值.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知点，且O为坐标原点，求点C的坐标.
14．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知四点、、，点M是直线OC上的动点，当取得最小值时，求点M的坐标．
15．（2022·全国·高二课时练习）正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
题型六：空间向量垂直坐标表示
1．（2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不对
2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知，若，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．4
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
4．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M
在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
7．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为______．
8．（2022·全国·高二单元测试）已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，．当时，若向量与垂直，则实数的值为______．
10．（2022·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
12．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
13．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，点，.
(1)求；
(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.
14．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，．
(1)证明：；
(2)若，求该圆柱的体积．
15．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知点，，点P在直线AB上．
(1)若，写出点P的坐标；
(2)若点O是坐标原点，且，写出点P的坐标．
题型七：空间向量夹角坐标表示
1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
4．（2022·河北石家庄·一
模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
（多选题）5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，则______.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为 ，则实数______．
8．（2022·全国·高二单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______．
9．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．
10．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知空间中三点、、，设，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量与互相垂直，求实数k的值；
(3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S．
13．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
14．（2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．
16．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，，求的面积．

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