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第08讲 直线的倾斜角与斜率
【知识点梳理】
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
知识点二：直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
(1)当直线与x轴平行或重合时，，；
(2)直线与x轴垂直时，，k不存在.
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式
.
知识点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由、点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；
(4)证明三点共线.
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即 .
因此，若，则.
反之，若，则.
知识点诠释：
1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为.若，则.
知识点诠释：
1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
【题型归纳目录】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
1．（2022·全国·高二单元测试）下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
2．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是( )
A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角
C．和轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
3．（2022·天津南开·高二期末）直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
5．（2022·全国·高二课时练习）当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为______．
6．（2022·全国·高二期中）若过两点、的直线的倾斜角为60°，则y＝______．
7．（2022·全国·高二课时练习）常值函数所表示直线的斜率为______．
8．（2022·全国·高二课时练习）若函数所表示直线的倾斜角为，则的值为______．
9．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为_________．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
11．（2022·全国·高二课时练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
1．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过第二 三 四象限，其倾斜角为，斜率为k，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二期末）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
6．（2022·全国·高二课时练习）当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______．
7．（2022·全国·高二课时练习）直线l的斜率为，将直线l绕其与轴交点逆时针旋转所得直线的斜率是______．
8．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角的正弦值为，则它的斜率为___________.
9．（2022·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
11．（2022·全国·高二课时练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
12．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两点 ，求直线l的倾斜角的取值范围.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，
，，且，探索其倾斜角，，的大小关系．
15．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l的斜率的取值范围为[－1， 1]，求其倾斜角的取值范围．
16．（2022·江苏·高二课时练习）过点A(2，1)，B(m， 3)的直线的倾斜角α的范围是，求实数m的取值范围．
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
1．（2022·浙江·高二阶段练习）经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）过点，的直线的斜率等于2，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
（多选题）3．（2022·全国·高二课时练习）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
4．（2022·上海市控江中学高二期中）设，若直线l经过点 ，则直线l的斜率是___________.
5．（2022·全国·高二课时练习）直线经过点，，则直线的斜率为______．
6．（2022·全国·高二课时练习）若 三点共线，则实数m的值为___________.
7．（2022·全国·高二课时练习）斜率为3的直线l过点，，则______．
8．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
9．（2022·全国·高二课时练习）若三点、、共线，则实数n的值为______．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知三个不同的点 在同一条直线上，则实数a的值为___________.
11．（2022·全国·高二课时练习）（1）设坐标平面内三点 ，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
12．（2022·湖南·高二课时练习）在函数的图象上取两点、，求直线的斜率.
13．（2022·全国·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线的斜率，并写出各条直线的斜率.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值．
16．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，求实数x和y的值．
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
1．（2022·全国·高二课时练习）设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
3．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）经过点作直线l，若直线l与连接，的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（多选题）6．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2022·全国·高二课时练习）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
9．（2022·全国·高二单元测试）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．
11．（2022·全国·高二课时练习）若过原点的直线与连接，两点的线段相交，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，.
（1）求直线，，的斜率和倾斜角；
（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
题型五：直线平行
1．（2022·全国·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．（2022·江苏·高二）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知过点、的直线与过点、的直线平行，则m的值为______．
4．（2022·全国·高二课时练习）判断三点是否共线，并说明理由．
5．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
题型六：直线垂直
1．（2022·江苏·高二课时练习）以点，，为顶点的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率，直线的斜率，则与( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
4．（2022·江苏·高二）已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别是，则是______．（填的形状）
6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
7．（2022·江苏·高二）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．
8．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是______.
9．（2022·江苏·高二课时练习）证明：如果两条直线斜率的乘积等于，那么它们互相垂直．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线AB的方程为：，点，在直线AB上求一点D，使得．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．
12．（2022·全国·高二课时练习）当m为何值时，过两点、的直线与过两点、的直线垂直．
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
3．（2022·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022·宁夏·银川二中高一期中）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
8．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
9．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
10．（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.第08讲 直线的倾斜角与斜率
【知识点梳理】
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②轴正向；
③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.
知识点二：直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
知识点诠释：
(1)当直线与x轴平行或重合时，，；
(2)直线与x轴垂直时，，k不存在.
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
2．直线的倾斜角与斜率之间的关系
由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
知识点三：斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式
.
知识点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由、点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；
(4)证明三点共线.
知识点四：两直线平行的条件
设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即 .
因此，若，则.
反之，若，则.
知识点诠释：
1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.
知识点五：两直线垂直的条件
设两条直线的斜率分别为.若，则.
知识点诠释：
1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
【题型归纳目录】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
题型五：直线平行
题型六：直线垂直
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
1．（2022·全国·高二单元测试）下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.
【详解】
对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；
对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；
对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；
对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.
故选：D
2．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是( )
A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角
C．和轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线倾斜角和斜率的概念逐项判断即可﹒
【详解】
直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误；
直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误；
和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误；
每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确．
故选：D﹒
3．（2022·天津南开·高二期末）直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线的倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
∵，所以.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误；
对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且；
当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误；
对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误.
故答案为：①②③.
5．（2022·全国·高二课时练习）当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角的定义可得答案.
【详解】
当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为
故答案为：
6．（2022·全国·高二期中）若过两点、的直线的倾斜角为60°，则y＝______．
【答案】－9
【解析】
【分析】
列出关于y的方程即可求得y的值.
【详解】
过两点、的直线的倾斜角为60°
则有，解之得
故答案为：－9
7．（2022·全国·高二课时练习）常值函数所表示直线的斜率为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
平行于x轴的直线，倾斜角为0°，根据斜率的定义即可求其斜率．
【详解】
表示的直线平行于x轴，倾斜角为0°，故斜率为tan0°=0．
故答案为：0．
8．（2022·全国·高二课时练习）若函数所表示直线的倾斜角为，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角与斜率的关系可得出答案.
【详解】
直线的斜率为
又
故答案为：
9．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为_________．
【答案】60°##
【解析】
【分析】
由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】
直线的斜率为，因此倾斜角为60°．
故答案为：60°．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得直线l的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线l的倾斜角的取值范围.
【详解】
∵直线l过，两点，
∴直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，
解得或
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
11．（2022·全国·高二课时练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解
【详解】
由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
1．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．
【详解】
由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过第二 三 四象限，其倾斜角为，斜率为k，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设，进而确定的范围，再判断的符号，即可确定答案.
【详解】
由题设，，而，则，
所以，则，.
故选：B
3．（2022·全国·高二期末）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系.
【详解】
设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：
，
所以，即，
故选：A．
（多选题）4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】
直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
5．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，利用斜率公式，结合二次函数性质求解；设其倾斜角为，，利用正切函数的性质求解.
【详解】
因为直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，
所以l的斜率为，
所以l的斜率取值范围为，
设其倾斜角为，，则，
所以其倾斜角的取值范围为，
故答案为：，
6．（2022·全国·高二课时练习）当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
斜率为倾斜角的正切值，根据正切函数值域即可求斜率范围．
【详解】
当直线l的倾斜角时，
则直线l的斜率的取值范围为，
故答案为：﹒
7．（2022·全国·高二课时练习）直线l的斜率为，将直线l绕其与轴交点逆时针旋转所得直线的斜率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】
解：设直线l的倾斜角为，，
因为直线l的斜率为，所以，所以，
所以将直线l绕其与轴交点逆时针旋转所得直线的倾斜角为，
所以所得直线的斜率是，
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角的正弦值为，则它的斜率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由倾斜角的范围确定，进而可得，再由斜率与倾斜角的关系即可得斜率.
【详解】
由题设，，而，则，
所以，即斜率为.
故答案为：
9．（2022·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两点间斜率公式得到斜率，再根据斜率确定倾斜角大小即可.
【详解】
根据两点间斜率公式得：，
所以直线的倾斜角为：.
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【答案】
【解析】
【分析】
由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解.
【详解】
解：由题意，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由已知得，
所以直线的斜率为.
11．（2022·全国·高二课时练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解
【详解】
由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
12．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解.
【详解】
解：（1）因为，，，，
结合正切函数在的单调性得，
（2）直线l的斜率，，，
结合正切函数在的单调性得.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两点 ，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
讨论、研究直线的斜率，结合基本不等式确定对应倾斜角大小或范围.
【详解】
设直线l的斜率为k，倾斜角为.
当时，k不存在，；
当时，：
若时，则，；
若时，则，；
综上，.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系．
【答案】分类讨论，答案见解析
【解析】
【分析】
由在分别单调递增，且时，；时，，分类讨论分析即得解
【详解】
由直线斜率与直线倾斜角的关系：
由于在分别单调递增，
且时，；时，
（1）当时，有，，
由在单调递增，有
（2）当时，有，，
由在单调递增，有
（3）当，有，，
由在单调递增，有
（4）当，有，
由在单调递增，有
15．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l的斜率的取值范围为[－1， 1]，求其倾斜角的取值范围．
【答案】{α|0°≤α≤45°或135°≤α＜180°}
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜角与直线斜率的关系，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】
① 当斜率k∈[－1， 0)时，倾斜角α为钝角，且－1≤tanα＜0，所以135°≤α＜180°；
② 当斜率k∈[0，1]时，倾斜角α为0°或锐角，且0≤tanα≤1，所以0°≤α≤45°.　
综上所述，倾斜角的取值范围是{α|0°≤α≤45°或135°≤α＜180°}
16．（2022·江苏·高二课时练习）过点A(2，1)，B(m， 3)的直线的倾斜角α的范围是，求实数m
的取值范围．
【答案】[0， 4]．
【解析】
【分析】
由倾斜角的范围得直线的斜率不存在或斜率不大于或不小于1，从而求得参数范围．
【详解】
因为直线的倾斜角α的范围是，所以直线的斜率不存在或斜率k满足k≤－1或k≥1.若斜率不存在，则m＝2；若斜率存在，则k＝＝，从而≥1或≤－1，解得2综合可知，实数m的取值范围是[0， 4]．
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
1．（2022·浙江·高二阶段练习）经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据斜率公式求得直线的斜率，从而可得出答案.
【详解】
解：，
所以经过，两点的直线的倾斜角为60°.
故选：B.
2．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）过点，的直线的斜率等于2，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用斜率公式即求.
【详解】
由题可得，
∴.
故选：A.
（多选题）3．（2022·全国·高二课时练习）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据实验数据图表逐个分析选项即可.
【详解】
分别将原点与图中各点相连.
设线段的斜率为，根据题意有，
即越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知，；
在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确；
在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误；
由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误；
，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确.
故选：AD.
4．（2022·上海市控江中学高二期中）设，若直线l经过点 ，则直线l的斜率是___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用直线的斜率公式求解.
【详解】
解：因为直线l经过点 ，
所以直线l的斜率是，
故答案为：1
5．（2022·全国·高二课时练习）直线经过点，，则直线的斜率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由两点连线斜率公式可直接求得结果.
【详解】
由题意知：直线斜率.
故答案为：.
6．（2022·全国·高二课时练习）若 三点共线，则实数m的值为___________.
【答案】##2.5
【解析】
【分析】
由三点共线有，结合斜率的两点式列方程求m值.
【详解】
由题设，，则，可得.
故答案为：
7．（2022·全国·高二课时练习）斜率为3的直线l过点，，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据经过两点直线斜率计算公式计算即可．
【详解】
斜率为3的直线l过点，，
则﹒
故答案为：0．
8．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.
【详解】
解：因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.
9．（2022·全国·高二课时练习）若三点、、共线，则实数n的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据、、共线，由斜率相等求解.
【详解】
解：因为三点、、共线，
所以，
解得，
故答案为：0
10．（2022·全国·高二课时练习）已知三个不同的点 在同一条直线上，则实数a的值为___________.
【答案】或5
【解析】
【分析】
根据斜率相等可求出结果.
【详解】
因为，所以该直线斜率存在，
又，
根据题意得，解得或.
故答案为：或.
11．（2022·全国·高二课时练习）（1）设坐标平面内三点 ，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【答案】（1）1或2；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果.
（2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率.
【详解】
（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知，，则直线的斜率为.
12．（2022·湖南·高二课时练习）在函数的图象上取两点、，求直线的斜率.
【答案】
【解析】
【分析】
利用斜率公式可求得直线的斜率.
【详解】
解：由题意可知，
由斜率公式可得直线的斜率为
.
13．（2022·全国·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线的斜率，并写出各条直线的斜率.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用斜率公式可求得各直线的斜率，由此可得出这五条直线斜率的大小关系.
【详解】
解：由已知可得，，，
，，
所以，.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标．
【答案】或.
【解析】
【分析】
分别可假设或，利用两点连线斜率公式可构造方程求得点坐标.
【详解】
若在轴上，则可设，，解得：，；
若在轴上，则可设，，解得：，；
综上所述：点的坐标为或.
15．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线斜率的公式，代入即得解
【详解】
由题意，直线PQ的斜率
解得：
16．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，求实数x和y的值．
【答案】，
【解析】
【分析】
依题意可得，根据两点的斜率公式得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，三点在斜率的直线上，所以，即，解得，
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
1．（2022·全国·高二课时练习）设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示：
，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】
解：直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．
故选：A．
3．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果．
【详解】
解：直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线与线段有交点．
故选：B．
4．（2022·全国·高二课时练习）经过点作直线l，若直线l与连接，的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过定点的直线与线段恒有公共点，数形结合，求斜率的取值范围即可.
【详解】
根据题意画图如下：
,在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大,
直线l与线段AB总有公共点，所以.
故选:A.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先，得到可以看成点与坐标原点O连线的斜率，再根据图形即可得到答案.
【详解】
设，则可以看成点与坐标原点O连线的斜率．
当在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，
如图所示：
又，，所以，即的取值范围是．
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线的斜率，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.
（多选题）6．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】AD
【解析】
【分析】
要使直线l与线段AB有公共点，则需或，根据两点的斜率公式计算可得选项.
【详解】
解：要使直线l与线段AB有公共点，则需或，
而，，所以或，
所以k的取值可以为或4，
故选：AD
7．（2022·全国·高二课时练习）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，再由的几何意义，即线段上的动点与定点连线的斜率的倍求解；
【详解】
解：如图，
函数，表示线段其中，，
的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍，
，，
的取值范围是；
故答案为：
8．（2022·全国·高二课时练习）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围；
【详解】
解：设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
9．（2022·全国·高二单元测试）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.
【详解】
如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
故答案为：.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.
【详解】
解：如图所示：
设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，
则，，，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,
所以倾斜角的取值范围.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.
11．（2022·全国·高二课时练习）若过原点的直线与连接，两点的线段相交，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由斜率公式可得直线，的斜率，数形结合可得直线斜率与倾斜角的范围．
【详解】
解：如图，的斜率，的斜率，则直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率满足或，即，倾斜角的取值范围是．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，.
（1）求直线，，的斜率和倾斜角；
（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；
（2）点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围．
【详解】
（1）由斜率公式，得，，，
所以直线的倾斜角为0°，直线的倾斜角为60°，直线的倾斜角为30°.
（2）如图，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，所以的取值范围为.
题型五：直线平行
1．（2022·全国·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】
充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．（2022·江苏·高二）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由两条直线的位置关系可得直线的斜率与直线的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
解：因为直线与直线平行，直线的斜率为，
所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
所以，即直线的倾斜角为，
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知过点、的直线与过点、的直线平行，则m的值为______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
先利用两点的斜率公式求出，再利用AB∥CD，，即可得出结果.
【详解】
由题意得，，
.由于AB∥CD，即，
所以＝，所以m＝-2.
故答案为：-2
4．（2022·全国·高二课时练习）判断三点是否共线，并说明理由．
【答案】共线，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据直线斜率公式进行求解即可.
【详解】
这三点共线，理由如下：
由直线斜率公式可得：，
直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点，
所以这三点共线.
5．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
【答案】(1)平行
(2)平行
(3)平行
(4)不平行
【解析】
【分析】
（1）求出，，斜率，再判断两直线不重合得平行；
（2）由斜率相等，及不重合得结论；
（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；
（4）由斜率不相等得不平行．
(1)
，，，不共线，因此与平行．
(2)
，，又两直线不重合，直线与平行，
(3)
直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；
(4)
,，直线与不平行，
题型六：直线垂直
1．（2022·江苏·高二课时练习）以点，，为顶点的三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
求出三边所在直线的斜率，由斜率判断．
【详解】
由题意，同理，，，，
三角形是直角三角形．
故选：B．
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】
设方程的两根为、，则．
直线、的斜率，故与相交但不垂直．
故选：C．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率，直线的斜率，则与( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
【答案】B
【解析】
【详解】
根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直
故选：B
4．（2022·江苏·高二）已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【解析】
【分析】
根据直线斜率关系即得.
【详解】
如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别是，则是______．（填的形状）
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】
利用两点分别求出各边所在直线的斜率，利用斜率乘积等于即可判断出形状.
【详解】
由已知得，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率
边所在直线的斜率，
所以，所以，所以是直角三角形．
故答案为：直角三角形
【点睛】
本题考查了两点求直线的斜率、直线垂直斜率之间的关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.
【详解】
设直线的倾斜角为，
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，
因为，因此，.
故答案为：.
7．（2022·江苏·高二）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，解出即可.
【详解】
因为斜率k1、k2是关于k的方程的两根，所以，
因为l1⊥l2，所以，即，
故答案为：
8．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】
得到直线AB与直线x+y=0垂直时，此时AB最短，设出B点坐标，进而利用斜率乘积为-1求出m的值.
【详解】
当直线AB与直线x+y=0垂直时，此时AB最短，
设B的坐标为，
则，
解得：，
所以B的坐标为
故答案为：
9．（2022·江苏·高二课时练习）证明：如果两条直线斜率的乘积等于，那么它们互相垂直．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设两直线斜率分别为，，结合及倾斜角的范围、诱导公式即可证明结论.
【详解】
令两直线斜率分别为，(为对应倾斜角)，
由，不妨假设，则，
所以，而，
故，即，则两条直线互相垂直，得证.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线AB的方程为：，点，在直线AB上求一点D，使得．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由题可得，即得.
【详解】
设，则，
解得，
即.
11．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．
【答案】m的值为，，2或3
【解析】
【分析】
根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解
【详解】
①若为直角，则，所以，即，解得；
②若为直角，则，所以，即，
解得；
③若为直角，则，所以，即，
解得．
综上，m的值为，，2或3．
12．（2022·全国·高二课时练习）当m为何值时，过两点、的直线与过两点、的直线垂直．
【答案】或
【解析】
【分析】
由，两点坐标可得直线的斜率，根据两直线垂直可知，进而求解即可.
【详解】
由题，则，
因为直线与直线垂直，所以，
所以，即，
解得或.
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
1．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.
【详解】
为的垂心 ，
又，
直线斜率存在且，
设，则，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.
2．（2022·全国·高二课时练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.
【详解】
，，则，
所以,与不平行，
因此
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
3．（2022·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项.
【详解】
解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故选：D.
二、填空题
4．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.
【答案】矩形
【解析】
【分析】
分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【详解】
解：，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
【解析】
【分析】
（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；
（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可.
【详解】
（1）由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐标为（-1，6），
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为（7，2），
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】或
【解析】
【分析】
分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可
【详解】
设点．若，则，解得，
点．
若，则，解得，点
【点睛】
本题考查两直线的位置关系，考查直线交点，注意分类讨论的应用，是基础题
7．（2022·宁夏·银川二中高一期中）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
建立坐标系，根据得出，从而证明菱形的对角线互相垂直.
【详解】
以AB为x轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为
因为四边形是菱形，所以
由，
所以，菱形的对角线互相垂直.
8．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【答案】或或.
【解析】
【分析】
由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.
【详解】
由题，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为或或.
9．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【答案】四边形是矩形，证明见解析
【解析】
【分析】
根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可.
【详解】
四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
10．（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
【答案】矩形
【解析】
【分析】
可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解
【详解】
由斜率公式，得，
，
，
，
，
.
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
又，∴.
又，∴与不垂直，
∴四边形为矩形.

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