资源简介

第09讲 直线的方程
【知识点梳理】
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
知识点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
知识点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
知识点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
知识点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式
通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
知识点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
知识点五：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
知识点六：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
知识点七：直线方程的不同形式间的关系
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴
斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴
两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴
截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式 、、为系数 任何位置的直线
直线方程的五种形式的比较如下表：
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
知识点八：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.
【题型归纳目录】
题型一：点斜式方程、两点式方程、斜截式方程、截距式
题型二： 直线的一般式方程
题型三：判断动直线所过定点
题型四：直线与坐标轴形成三角形问题
题型五：由一般式方程判断平行、垂直
题型六：由两条直线平行、垂直求直线方程
题型七：直线方程的综合问题
【典型例题】
题型一：点斜式方程、两点式方程、斜截式方程、截距式
1．（2022·江苏·高二）直线过点（1，1）且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，则这样的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
（多选题）2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率是1，在y轴上的截距是，则直线l的斜截式方程是______．
5．（2022·全国·高二课时练习）经过点且与x轴垂直的直线l的方程为______．
6．（2022·全国·高二期末）直线过点、，则直线的方程为______．
7．（2022·全国·高二课时练习）若直线经过点，斜率为，则直线的点斜式方程为______．
8．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过点，，则直线l的方程为______．
9．（2022·全国·高二课时练习）过点，斜率为的直线在x轴上的截距为______．
10．（2022·全国·高二课时练习）已知点、，则直线AB的两点式方程是______．
11．（2022·全国·高二课时练习）经过点 的直线的两点式方程为___________.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．
(1)求的三边所在直线的方程；
(2)求的三条中线所在直线的方程．
14．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，斜率为；
(2)过点，与x轴垂直；
(3)斜率为，在y轴上的截距为7；
(4)斜率为3，在x轴上的截距为；
(5)过点，；
(6)过点，．
题型二： 直线的一般式方程
1．（2022·浙江·海宁一中高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
（多选题）2．（2022·江苏·高二）已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
3．（2022·江苏·高二）过定点且倾斜角是直线x－y＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______．
4．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．
5．（2022·全国·高二课时练习）若，，则直线不通过第______象限．
6．（2022·全国·高二课时练习）在直线方程中，当时，，求此直线的方程．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：，若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.
8．（2022·全国·高二课时练习）说明方程表示的图形是什么，并画出该方程表示的图形．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线（其中，不全为0）．
(1)写出直线的一个法向量的坐标；
(2)若直线经过原点，则，，满足的条件是什么？
(3)若直线与轴平行或重合，则，，满足的条件是什么？
(4)若直线与轴和轴都相交且不经过原点，则，，满足的条件是什么？
10．（2022·全国·高二课时练习）直线的方程中的A，B，C满足什么条件时直线分别具有如下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)与x轴无交点；
(4)与y轴无交点；
(5)与x轴垂直；
(6)与y轴垂直．
11．（2022·全国·高二课时练习）函数的图像由两条射线组成，求这两条射线所在直线的方程．
12．（2022·江苏·高二课时练习）已知两条直线和都过点，求过两点，的直线的方程．
13．（2022·江苏·高二课时练习）已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程．
14．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，若直线l的方程为，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为；
(2)直线l在x轴、y轴上截距之和等于1．
题型三：判断动直线所过定点
1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A．1 B．3 C．4 D．2
（多选题）4．（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
5．（2022·全国·高二课时练习）已知，直线过定点Q，则点Q的坐标是______；若点，当直线PQ与直线l的夹角为时，m的值为______．
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
7．（2022·浙江温州·二模）直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________.
8．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．
9．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m、，直线必过定点______．
10．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点，则点的坐标为________.
11．（2022·安徽·高二开学考试）直线经过的定点坐标是___________.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.求证：
(1)无论取何值，直线l都经过一个确定的点M；
(2)无论取何值，对于直线上任意一点，向量均与向量垂直.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，当为何值时，原点到直线的距离最大.
题型四：直线与坐标轴形成三角形问题
1．（2022·江苏·高二）过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2022·全国·高二课时练习）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为
，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·荆州中学高三期末）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
6．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
7．（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
8．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
9．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
10．（2022·全国·高二单元测试）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.
题型五：由一般式方程判断平行、垂直
1．（2022·辽宁大连·高二期末）直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·上海·高三专题练习）若关于、的二元一次方程组无解，则实数________
6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________.
7．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
8．（2022·全国·高二课时练习）方程在a取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出时方程表示的直线．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，直线，且，求m的值．
10．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
11．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各对直线是否垂直：
(1)；
(2)．
题型六：由两条直线平行、垂直求直线方程
1．（2022·吉林白山·高二期末）与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·遵义四中高二期末）过点且垂直于直线的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与直线平行的直线方程是______．
4．（2022·全国·高二课时练习）若直线和直线重合，则实数的值为___________.
5．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．
6．（2022·全国·高二单元测试）原点在直线l上的射影为，则直线l的方程为______．
7．（2022·全国·高二课时练习）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转后得到直线
l，则直线l的方程为______．
8．（2022·江苏·高二）已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程.
9．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线经过点．
(1)若点在直线上，求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，求直线的方程．
10．（2022·陕西西安·高一期末）已知直线，点.
(1)求过点且与平行的直线的方程；
(2)求过点且与垂直的直线的方程.
11．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线，直线过点.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求直线的方程.
12．（2022·全国·高二课时练习）分别求经过点且与直线平行、垂直的直线的一般式方程．
13．（2022·江苏·高二课时练习）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成．
14．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：
(1)过点，且与直线平行；
(2)过点，且与直线垂直；
(3)过点，且与x轴垂直；
(4)过点，且平行于过两点和的直线．
题型七：直线方程的综合问题
1．（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2022·湖南·益阳平高学校高二期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．3 D．6
3．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.
5．（2022·全国·高二课时练习）若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：
(1)，满足的关系式；
(2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系；
(3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴和y轴上，且，
，求菱形ABCD四边所在直线的方程．
8．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l:＋＝1.
(1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程．
9．（2022·安徽·淮北市树人高级中学高二阶段练习（文））如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.
（1）求直线斜率的大小；
（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第09讲 直线的方程
【知识点梳理】
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
知识点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3.当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.
4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
知识点诠释：
1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
知识点三：直线的两点式方程
经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
知识点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式
通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.
知识点诠释：
1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
知识点五：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
知识点六：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
知识点七：直线方程的不同形式间的关系
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴
斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴
两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴
截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式 、、为系数 任何位置的直线
直线方程的五种形式的比较如下表：
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
知识点八：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线,,
；
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：
且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.
【题型归纳目录】
题型一：点斜式方程、两点式方程、斜截式方程、截距式
题型二： 直线的一般式方程
题型三：判断动直线所过定点
题型四：直线与坐标轴形成三角形问题
题型五：由一般式方程判断平行、垂直
题型六：由两条直线平行、垂直求直线方程
题型七：直线方程的综合问题
【典型例题】
题型一：点斜式方程、两点式方程、斜截式方程、截距式
1．（2022·江苏·高二）直线过点（1，1）且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，则这样的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】
【分析】
分截距为0，截距不为0两种情况讨论，结合条件即得.
【详解】
当在x轴和y轴上的截距为0时，直线为，适合题意，
当在x轴和y轴上的截距不为0时，可设直线方程为，
则，解得，即直线为，
综上，这样的直线有且仅有两条.
故选：B
（多选题）2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】
解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
3．（2022·全国·高二课时练习）经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由点斜式求得方程，化为一般式即可.
【详解】
由题知，直线斜率为，
则直线点斜式方程为：
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率是1，在y轴上的截距是，则直线l的斜截式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线的斜截式方程公式代入即可.
【详解】
由直线的斜截式方程得：
直线的斜截式方程为：，
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）经过点且与x轴垂直的直线l的方程为______．
【答案】（或）
【解析】
【分析】
利用与x轴垂直的直线斜率不存在，可直接写出直线方程.
【详解】
直线与轴垂直，直线的斜率不存在
又直线经过点
直线的方程为：
故答案为：.
6．（2022·全国·高二期末）直线过点、，则直线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程.
【详解】
由题设，，则直线的方程为，整理得.
故答案为：
7．（2022·全国·高二课时练习）若直线经过点，斜率为，则直线的点斜式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用点斜式方程可得出直线的方程.
【详解】
由题意可知，直线的点斜式方程为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过点，，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线斜率，点斜式求解.
【详解】
因为直线经过两点，，
所以,
所以直线的方程为
故答案为：
9．（2022·全国·高二课时练习）过点，斜率为的直线在x轴上的截距为______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出直线的点斜式方程，令，即可求得结果.
【详解】
由题可知所求直线方程为：，
令，解得，即直线在x轴上的截距为.
故答案为：.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知点、，则直线AB的两点式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线的两点式方程代入即可.
【详解】
直线的两点式方程为：
将点、代入得：.
故答案为：.
11．（2022·全国·高二课时练习）经过点 的直线的两点式方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线的两点式方程，即可求解.
【详解】
因为直线经过点 ，
由直线的两点式方程可得，可得，即，
所以直线的两点式方程为.
故答案为：.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意直线的斜率一定存在，设出直线的点斜式方程，求出两坐标轴的截距建立等式，解出斜率的值即可求出直线方程.
【详解】
设直线l的点斜式方程为．
当时；当时．
由题意，或．
综上，直线方程为或．
13．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．
(1)求的三边所在直线的方程；
(2)求的三条中线所在直线的方程．
【答案】(1)；；；
(2)边上的中线；边上的中线；边上的中线
【解析】
【分析】
（1）利用直线的两点式方程求解即可；
（2）先分别求出各边的中点，再利用直线的两点式方程求解即可；
(1)
由，，
知直线的方程为，整理得
直线的方程为整理得
直线的方程为，整理得
(2)
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
14．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，斜率为；
(2)过点，与x轴垂直；
(3)斜率为，在y轴上的截距为7；
(4)斜率为3，在x轴上的截距为；
(5)过点，；
(6)过点，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【解析】
【分析】
（1）根据直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据直线与横轴垂直的性质进行求解即可
（3）根据直线的斜截式方程进行求解即可；
（4）根据直线的斜截式方程，结合代入法进行求解即可；
（5）根据直线的两点式方程进行求解即可；
（6）根据直线的截距式方程进行求解即可.
(1)
因为直线过点，斜率为，
所以直线方程为：；
(2)
因为直线过点，与x轴垂直，
所以直线方程为：；
(3)
因为直线的斜率为，在y轴上的截距为7，
所以直线方程为：；
(4)
因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：，
又因为直线在x轴上的截距为，所以，
所以直线的方程为：；
(5)
因为直线过点，，
所以直线的方程为：；
(6)
因为直线过点，，
所以直线方程为：.
题型二： 直线的一般式方程
1．（2022·浙江·海宁一中高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线的一般式方程，求得斜率，即可求得直线的倾斜角.
【详解】
直线的斜率
设其倾斜角为，故可得，又，故.
故选：C.
（多选题）2．（2022·江苏·高二）已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据直线一般式的特点依次判断即可.
【详解】
对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确；
对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确；
对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误；
对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确.
故选：ABD.
3．（2022·江苏·高二）过定点且倾斜角是直线x－y＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直线x－y＋1＝0的倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角，得到直线方程.
【详解】
直线x－y＋1＝0的倾斜角为45°，故过定点的所求直线的倾斜角为90°，故所求直线方程为：
.
故答案为：
4．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线在y轴上截距为知，只需直线斜率不小于0即可.
【详解】
不过第二象限,
，解得，
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）若，，则直线不通过第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】
将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可.
【详解】
直线可化为，即
因为，，所以直线的斜率为负，纵截距为正
即直线通过第一、二、四象限，不通过第三象限.
故答案为：三
6．（2022·全国·高二课时练习）在直线方程中，当时，，求此直线的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
设出直线方程，分与两种情况，得到方程组，求出，得到直线方程.
【详解】
方程化为．
当时，为严格增函数，由
解得：，此时直线方程为；
当时，为严格减函数，由
解得：，此时直线方程为．
所以，直线方程为或．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：，若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出，从而可得直线的方程.
【详解】
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或，
所以直线的方程为或.
8．（2022·全国·高二课时练习）说明方程表示的图形是什么，并画出该方程表示的图形．
【答案】表示的是一条直线，其图象见解析
【解析】
【分析】
整理得到一次函数，是一条直线，画出图象.
【详解】
，整理得：，表示的是一条直线，其图象如下：
9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线（其中，不全为0）．
(1)写出直线的一个法向量的坐标；
(2)若直线经过原点，则，，满足的条件是什么？
(3)若直线与轴平行或重合，则，，满足的条件是什么？
(4)若直线与轴和轴都相交且不经过原点，则，，满足的条件是什么？
【答案】(1)；
(2)，不全为零；
(3)；
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据直线的方向向量，即可容易求得法向量；
（2）根据点不满足直线方程，即可求得结果；
（3）根据直线斜率为零，即可求得结果；
（4）根据点不满足直线方程，以及直线斜率存在且不为零，即可求得结果.
(1)
因为直线的一个方向向量为，
故该直线的一个法向量可以为，也可是与其平行且非零的其它向量.
(2)
若直线经过原点，即满足直线方程，
故只需，不全为零即可.
(3)
若直线与轴平行或重合，则其斜率为零，
故只需.
(4)
若直线与轴和轴都相交且不经过原点，
故只需.
10．（2022·全国·高二课时练习）直线的方程中的A，B，C满足什么条件时直线分别具有如下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)与x轴无交点；
(4)与y轴无交点；
(5)与x轴垂直；
(6)与y轴垂直．
【答案】(1)C=0，
(2)，
(3)A=0，
(4)B=0，
(5)B=0，
(6)A=0.
【解析】
【分析】
首先要理解的含义，就是A和B不能同时为0；
（1）直线过原点也是过定点，只要把原点坐标代入即可；
（2）与两个都坐标轴相交，就是既不平行于x轴，也不平行与y轴；
（3）与x轴无交点，就是平行于x轴；
（4）与y轴无交点，就是平行与y轴；
（5）与x轴垂直，就是平行与y轴；
（6）与y轴垂直，就是平行与x轴.
(1)
将（0，0）代入直线方程，得C=0；
(2)
与两个都坐标轴相交，就是既不平行于x轴，也不平行与y轴，直线的斜率，也不能不存在，即即；
(3)
依题意，与x轴无交点，就是平行于x轴，k=0，即A=0；
(4)
依题意，k不存在，即B=0；
(5)
依题意与y轴无交点，就是平行与y轴，k不存在，即B=0；
(6)
依题意，与y轴垂直，就是平行与x轴，k=0，即A=0.
11．（2022·全国·高二课时练习）函数的图像由两条射线组成，求这两条射线所在直线的方程．
【答案】和.
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质进行求解即可.
【详解】
因为，
所以这两条射线所在直线的方程为：和，
化成一般式为：和.
12．（2022·江苏·高二课时练习）已知两条直线和都过点，求过两点，的直线的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
把点代入，可得，进而可得结果.
【详解】
因为两条直线和都过点，
所以；
所以，均在直线上，
又两点确定一条直线，所以过两点，的直线的方程为.
13．（2022·江苏·高二课时练习）已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程．
【答案】；；；.
【解析】
【分析】
根据给定条件求出菱形各顶点的坐标，再利用直线的截距式方程直接求解作答.
【详解】
依题意，如图，菱形的顶点，
直线的方程为，即；
直线的方程为，即；
直线的方程为，即；
直线的方程为，即，
所以菱形各边所在直线的方程分别是：；；；.
14．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，若直线l的方程为，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为；
(2)直线l在x轴、y轴上截距之和等于1．
【答案】(1)5；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出直线l的斜率，再列式计算作答.
(2)求出直线l在x轴、y轴上截距，再列式计算作答.
(1)
因直线l的方程为，则直线l的斜率为，
于是得，解得，
所以k的值为5.
(2)
因直线l的方程为，当时，，当时，，
于是得，解得，
所以k的值为2.
题型三：判断动直线所过定点
1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.
【详解】
直线，即，
令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
2．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.
【详解】
对直线，变形为，故其恒过定点，
若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.
数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；
当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.
根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.
故选：A.
3．（2022·全国·高二课时练习）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，且两直线始终垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【详解】
由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，∴．
故 (当且仅当时取“”)．
故选：C．
（多选题）4．（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】
将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；
【详解】
解：对于A，，即，
令，即，所以直线必过定点，故A正确；
对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；
对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，
故选：AC．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知，直线过定点Q，则点Q的坐标是______；若点，当直线PQ与直线l的夹角为时，m的值为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
直线l化为点斜式，看出所过定点坐标，先求出直线PQ的倾斜角为45°，从而确定以直线l的倾斜角为30°或60°，求出m的值.
【详解】
变形为，故过定点，
直线PQ：，即，直线PQ的斜率为1，倾斜角为45°，
所以直线l的倾斜角为30°或60°，所以或.
故答案为：，或
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
【答案】 或； .
【解析】
【分析】
分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故答案为：或；.
7．（2022·浙江温州·二模）直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________.
【答案】 ； ##.
【解析】
【分析】
根据直线含参数且恒过定点，让参数前面的系数为零即可，先求出斜率的取值范围，进而可求出直线的倾斜角的最小值.
【详解】
直线可以化为恒定点，则.
直线可化为.
.
则倾斜角的最小值是.
故答案为：；.
8．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以直线恒过定点，即，
因为过点A且与直线垂直，
所以设过点A的直线方程为，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
9．（2022·全国·高二单元测试）对于任意m、，直线必过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程恒成立可建立方程组，求解即可得出所过定点.
【详解】
由原方程可得对于任意m、成立，
由，解得，
故直线必过定点.
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点，则点的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简直线方程为，联立方程组，即可求解.
【详解】
由直线方程，可化简为，
又由，解得，
即直线恒经过定点.
故答案为：.
11．（2022·安徽·高二开学考试）直线经过的定点坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将直线方程化简为，进而令即可解得答案.
【详解】
把直线l的方程改写成：，
令，解得：，所以直线l总过定点.
故答案为：（1,1）.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.求证：
(1)无论取何值，直线l都经过一个确定的点M；
(2)无论取何值，对于直线上任意一点，向量均与向量垂直.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将直线方程重新整理一番，把含参数的项结合在易求，其他项结合在一起，利用恒等式的原理即可判断定点坐标（2）要证，只需证即可
(1)
：，
，故
所以直线恒过定点
(2)
设，则
所以
因为
所以
所以
13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，当为何值时，原点到直线的距离最大.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出；
【详解】
解：由，得，
联立，解得，则直线过定点；
由，得，
当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为，
因为，所以，即当时原点到直线的距离最大.
题型四：直线与坐标轴形成三角形问题
1．（2022·江苏·高二）过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线的方程为，由直线过，得，再由三角形面积得，联立求出方程组的解即可得．
【详解】
由题意设直线的方程为，直线过，则，
直线与坐标轴的交点为,
又，，
，，
时，，由， 得或，
时，，由， 得或，
所以直线共有4条．
故选：D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
3．（2022·湖北·荆州中学高三期末）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.
【详解】
设直线的方程为，则，且，
解得或者，
∴直线l的方程为或，即或.
故答案为：或.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
【答案】，直线的方程为．
【解析】
【分析】
求出、的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的值，从而得到直线方程．
【详解】
解：直线：，当时直线：，显然不满足题意，所以，令得，令得，即，．
依题意得，解得．
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，此时直线的方程为．
5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)
(2)的最小值为，此时直线的方程为
【解析】
【分析】
（1）分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，求出直线与两坐标轴的交点坐标，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）求出点、的坐标，求得，利用基本不等式结合三角形的面积公式可求得的最最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
(1)
解：由，
当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；
当时，在直线的方程中，令，可得，
令，可得，
若直线不过第三象限，则，解得.
综上所述，.
(2)
解：由（1）可知，，
又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.
，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，此时直线的方程.
6．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设直线l的方程为，进而得直线l与两坐标轴交于点与，再结合面积解方程即可得，最后书写方程即可.
【详解】
解：根据题意知直线l不垂直于x轴，其斜率存在且为负数，
故可设直线l的方程为.
在方程中，令，得；令，得.
故直线l与两坐标轴交于点与.　
因为直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，
所以，即：，解得，
故直线l的点斜式方程为
7．（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【解析】
【分析】
（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
(1)
解：由题意可得.
(2)
解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
8．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，定点；
(2)存在，且直线方程为.
【解析】
【分析】
（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；
（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.
(1)
证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
(2)
解：设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
9．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且
时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】
本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
10．（2022·全国·高二单元测试）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线.求出直线与轴、轴的交点，在根据面积公式计算得，即，再分类讨论计算可得；
【详解】
解：由题意知，直线的斜率存在且不为0.设直线.
设此直线与轴、轴的交点分别为，则点的坐标分别为
因此面积为，
即.
若，得，无解；
若，得.
解方程，得或.
所以，直线，即；
或直线，即.
【点睛】
本题考查点斜式求直线方程，三角形面积公式的应用，属于基础题.
题型五：由一般式方程判断平行、垂直
1．（2022·辽宁大连·高二期末）直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
【答案】B
【解析】
【分析】
先将直线方程化为斜截式，比较斜率和在轴的截距，得到答案.
【详解】
由题，，则两直线的斜率相等，在在轴的截距，
故两条件直线的位置关系为平行.
故选：B
【点睛】
本题考查了由两直线方程的一般式判断两直线位置关系，属于基础题.
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解.
【详解】
由题意，得，解得.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
4．（2022·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．（2022·上海·高三专题练习）若关于、的二元一次方程组无解，则实数________
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程组无解，得到直线与直线平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.
【详解】
因为关于、的二元一次方程组无解，
所以直线与直线平行，
所以，解得：.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，且两直线垂直，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，然后利用基本不等式可求出|MA|·|MB|的最大值
【详解】
由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，
注意到直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，
则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
故|MA|·|MB|≤(当且仅当|MA|＝|MB|＝时取“＝”).
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查两直线的位置关系，考查基本不等式的应用，解题的关键是由直线方程得到两直线垂直，从而有|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，再利用基本不等式可求得答案，属于中档题
7．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)平行，理由见解析；
(2)平行，理由见解析；
(3)不平行，理由见解析；
(4)平行，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据直线的斜率、平行的判定及与数轴的位置关系，结合各直线与数轴的截距判断两直线是否平行即可.
(1)
由题设，、的斜率为，又，，即不重合，
所以、平行.
(2)
由题设，中、中，
所以，又，，即不重合，
所以、平行.
(3)
由题设，、的斜率，且，，即两线重合，
所以、重合.
(4)
由题设，、均垂直于x轴，又，，故不重合，
所以、平行.
8．（2022·全国·高二课时练习）方程在a取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出时方程表示的直线．
【答案】这些不同的直线的位置关系为平行，图像见解析.
【解析】
【分析】
依据两直线平行判定充要条件即可解决.
【详解】
a取不同实数时，方程对应不同的直线，
这些不同的直线斜率相同，均为，y轴截距不同，为.
故这些不同的直线的位置关系为平行.
时方程表示的直线如下图所示：
9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，直线，且，求m的值．
【答案】6或-1
【解析】
【分析】
根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果.
【详解】
因为直线与直线垂直，
所以，
即，解得或.
10．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)与垂直；
(2)与垂直；
(3)与不垂直；
(4)与不垂直.
【解析】
【分析】
（1）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可；
（2）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可；
（3）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可；
（4）根据方程可得与平行.
(1)
因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与垂直，
(2)
因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与垂直，
(3)
因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与不垂直，
(4)
因为，，
所以与平行，不垂直.
11．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各对直线是否垂直：
(1)；
(2)．
【答案】(1)两直线互相垂直.
(2)两直线不互相垂直.
【解析】
【分析】
以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决.
(1)
，故两直线互相垂直.
(2)
，故两直线不互相垂直.
题型六：由两条直线平行、垂直求直线方程
1．（2022·吉林白山·高二期末）与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.
【详解】
与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得．
故选：C
2．（2022·贵州·遵义四中高二期末）过点且垂直于直线的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.
【详解】
因为所求直线垂直于直线，
所以设其方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得
所以直线方程为：，
故选：A.
3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与直线平行的直线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
设该直线为，代入求出得出所求直线方程.
【详解】
设该直线为，因为该直线过点，所以，解得
即所求直线为
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）若直线和直线重合，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线重合可直接构造方程组求解.
【详解】
直线可写为：，
两条直线重合，，解得：.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以直线恒过定点，即，
因为过点A且与直线垂直，
所以设过点A的直线方程为，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
6．（2022·全国·高二单元测试）原点在直线l上的射影为，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据垂直求出斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】
原点与连线的斜率为：，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即.
故答案为：
7．（2022·全国·高二课时练习）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转后得到直线
l，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出点A，再由直线垂直得出斜率，点斜式即可求解.
【详解】
直线与轴的交点，
由直线l与直线垂直，可得，
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
8．（2022·江苏·高二）已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线的方程为，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.
【详解】
设直线的方程为.
令，得；令，得.
由题设得.解得，因此直线的方程为.
9．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线经过点．
(1)若点在直线上，求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两点式求得直线的方程.
（2）利用点斜式求得直线的方程.
(1)
∵直线经过点，且点在直线上，
∴由两点式方程得，即，
∴直线的方程为．
(2)
若直线与直线平行，则直线的斜率为，
∵直线经过点，
∴直线的方程为，即．
10．（2022·陕西西安·高一期末）已知直线，点.
(1)求过点且与平行的直线的方程；
(2)求过点且与垂直的直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由于直线与直线平行，所以直线的斜率与直线的斜率相等，所以利用点斜式可求出直线方程，
（2）由于直线与直线垂直，所以直线的斜率与直线的斜率乘积等于，从而可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，
(1)
已知直线的斜率为，
设直线的斜率为，
∵与平行，
∴，
∴直线的方程为，
即直线的方程为，
(2)
已知直线的斜率为，
设直线的斜率为，
∵与垂直，
∴，
∴，
∴直线的方程为，
即直线的方程为.
11．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线，直线过点.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据两直线平行充要条件即可解决；
（2）依据两直线垂直充要条件即可解决.
(1)
因为，且，所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即.
(2)
因为，且，
所以直线的斜率为，又直线过点，
所以直线的方程为，即.
12．（2022·全国·高二课时练习）分别求经过点且与直线平行、垂直的直线的一般式方程．
【答案】平行的直线方程为，垂直的直线方程为；
【解析】
【分析】
根据平行直线系方程与垂直直线系方程设出直线方程，再代入点，即可求出参数的值，从而得解；
【详解】
解：依题意设与直线平行的直线方程为，又直线过点，所以，解得，所以；
设与直线垂直的直线方程为，又直线过点，所以，解得，所以；
故过点且与直线平行的直线方程为，垂直的直线方程为；
13．（2022·江苏·高二课时练习）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设点是直线上除点的任意一点，化简即得证.
【详解】
证明：由题得直线的斜率为.
设点是直线上除点的任意一点，所以，
化简得.
显然点也满足此方程，
所以直线的方程可以写成.
故得证.
14．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：
(1)过点，且与直线平行；
(2)过点，且与直线垂直；
(3)过点，且与x轴垂直；
(4)过点，且平行于过两点和的直线．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）由题意设直线方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可得直线方程，
（2）由题意设直线方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可得直线方程，
（3）由于直线垂直于x轴，所以斜率不存在，直接写直线方程，
（4）由题意求出直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程
(1)
由题意设直线方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为
(2)
由题意设直线方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为
(3)
因为直线过点，且与x轴垂直，
所以所求直线方程为
(4)
由题意可知所求直线的斜率为，
所以直线方程为，即
题型七：直线方程的综合问题
1．（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得
，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】
由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
2．（2022·湖南·益阳平高学校高二期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解.
【详解】
解：由题意，动直线过定点，
直线可化为，令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号.
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)选①：；选②：.
【解析】
【分析】
（1）由题意，求出直线l的倾斜角为，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程；
（2）设，，直线的方程为，把点代入可得，若选①：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选②：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程．
(1)
解：因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即；
(2)
解：设，，直线l的方程为，代入点可得，
若选①：，当且仅当时等号成立，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即；
若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即面积最小为4，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.
【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为.
【解析】
【分析】
由边上的高所在直线的方程可求得直线的斜率，又直线AC过点，从而根据点斜式即可求解边所在直线方程；由是中线所在直线方程，设中点，则，根据点B在直线上，可得B点坐标，从而即可求解边所在直线的方程.
【详解】
解：因为边上的高所在直线的方程为，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以，又直线AC过点，
所以边所在直线方程为，即；
因为是中线所在直线方程，
所以设中点，则，
所以，
因为点B在直线上，
所以，解得，
所以，
因为所在的直线的斜率为，
所以边所在直线方程为，即.
5．（2022·全国·高二课时练习）若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：
(1)，满足的关系式；
(2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系；
(3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）依题意，，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；
（2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；
（3）按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值；
(1)
解：依题意，，且，均不为或，
若选①，则，则，即；
若选②，则
(2)
解：依题意直线：，直线：，
又过，所以且，即且，又过，所以且，即且；
若选①，则，所以，即且、；
若选②，则，所以，即且、；
(3)
解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
即，所以，解得，此时直线：，所以，解得；
若选①，则，此时直线：，所以，解得；
若选②，则，此时直线：，所以，解得；
6．（2022·全国·高二课时练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合中点坐标公式求得正确答案.
（2）结合点斜式求得求边AB的高所在直线方程.
(1)
的顶点，，，则对角线AC中点为.
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，
解得：.
所以平行四边形ABCD的顶点.
(2)
依题意，直线AB的斜率，
则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，
即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴和y轴上，且，，求菱形ABCD四边所在直线的方程．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
作出图象，根据菱形性质可得顶点坐标，由点斜式求出直线方程即可.
【详解】
如图，
由菱形在坐标系中的位置及性质得,
, ,
，,,
即菱形ABCD 四边所在直线的方程分别为,
8．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l:＋＝1.
(1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程．
【答案】(1)m＝4；
(2)x＋y－1＝0.
【解析】
【分析】
（1）解方程＝2即得解；
（2）解不等式组得到的取值范围，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函数求解.
(1)
解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.
(2)
解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)， (0，m)．
据题意知解得0所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋.
因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值，
故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.
9．（2022·安徽·淮北市树人高级中学高二阶段练习（文））如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.
（1）求直线斜率的大小；
（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得；
(2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得；
(3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答
【详解】
（1）显然直线斜率存在，设直线方程为，
则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，
于是得，解得，
所以直线斜率为；
（2）由（1）知直线的方程为：，即，，
因，则，
又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点，
所以时，点为线段中点，且；
（3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图，
当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合，
设，因，则，于是有，解得，此时，
当时，由，知四边形为正方形，
设，则，于是有，解得，此时，
当时，由，得，即，
设，则，直线上点，
显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时，
综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形.

展开更多......

收起↑