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5.3.2 余弦函数的图象和性质
【教学目标】
1. 理解余弦函数的图象和性质 , 会用 “五点法 ” 画出余弦函数的简图 .
2. 进一步领会利用数形结合研究函数的方法 , 提升逻辑推理的核心素养 .
【教学重点】
余弦函数的图象和性质 .
【教学难点】
余弦曲线的得出 .
【教学方法】
本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法 . 教师先引导学生由诱导 公式得出余弦函数与正弦函数图象的关系 , 得到余弦曲线 , 并总结出作余弦函 数图象的 “五点法 ”. 然后结合余弦线或余弦曲线 , 得出余弦函数的性质 . 通 过例题 , 进一步巩固余弦函数的图象和性质 .
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 复习诱导公式以及特殊角的余弦函 数值 . 教师提问 , 学生作答 . 为得出余 弦函数的图 象做准备 .
新 课 余弦函数 y=cos x, x∈ R. 1. 余弦函数的图象 对于函数 y=cos x, 由诱导公式 cos x=sin ( * ) 得 y= cos x=sin , x∈ R. 而函数 的图象可以通过正弦函数 教师带领学生回顾诱导公 式 cos x = sin 然 后提问 : 余弦函数与正弦函 数联系密切 , 能否在正弦函 数的研究基础上 , 探讨余弦 函数的图象和性质 学 生 小 组 讨 论 , 并 尝 试 回答 .
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 y=sin x, x∈ R 的图象向左平移 得到 . 于是 , 将正 弦函数的图象向左平移 就得到余弦 函数的图象 . 另外 , 根据余弦函数的图象 , 我们 可以发现 (3π 0 ÷ , (2π 1) 这五个点是作出 è 2 , , , 余弦函 数 简 图 的 关 键 点 , 又 因 为 角 x+k · 2π 与角 x 的 余 弦 值 相 等 , 于 是得到 [0, 2π] 上余弦函数的图象后 , 沿 x 轴向左 、右分别平移 2π, 4π, … , 就可得到y=cosx, x∈R的图象. 余弦函数的图象称为余弦曲线 . 2. 余弦函数的性质 由单位圆中的余弦线或余弦函数的 图象 , 可得余弦函数的性质 : (1) 值域: [ -1, 1] . 当 x=2kπ, k∈Z 时 , ymax =1; 当 x= (2k+1) π, k∈Z 时 , ymin = -1. (2) 周期性 余 弦 函 数 是 一 个 周 期 函 数 , 2kπ (k∈Z且 k≠0) 都 是 它 的 周 期 , 2π 是其最小正周期 . 教师引导学生总结余弦函 数与 正 弦 函 数 图 象 之 间 的 联系 . 教师提示 : 观察 y=cosx, x∈ [0, 2π] 的图象 , 最高 点是 哪个 最 低 点 是 哪个 图 象 与 x 轴 有 几 个 交 点 分别是什么 学生观察 、作答 . 教师指出 : 在精确度要求 不高的 情 况 下, “五 点 法 ” 是常用的画余弦函数图象的 方法. 教 师 引 导 学 生 观 察 : 在 [0, 2π] 上 , 图 象 的 最 高 点 、最低点的坐标分别是什 么 在定义域 R上呢 学生小组讨论 , 得出余弦 函数的值域 . 教师引导学生理解 : 因为 cos(x+k · 2π) =cos x (k∈ Z), 所以余弦函数y=cos x 在 x∈[-2π, 0], [2π, 4π], 教师用问 题引导学生 观 察 图 象 , 对余弦函数 的图象形成 直观认知 . 每个性质 都先用观察余 弦函数图象的 方法得出 , 这 具有一定的难 度 , 所以教师 应注意用问题 引导学生来观 察余弦函数 的 图 象 , 使 学生在观察 时有的放矢.
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新 课 (3) 奇偶性 由公式 cos( -x) =cos x 可知 , 余 弦函数 y=cos x, x ∈ R 是 偶 函 数 , 它的图象关于 y 轴对称 . (4) 单调性 余 弦 函 数 在 闭 区 间 [(2k-1) π, 2kπ] (k∈ Z) 上 是 增 函 数 ; 在 闭 区 间 [2kπ, (2k+1) π] (k∈ Z) 上 是 减函数 . 例 1 求下列函数的最大值 、最小 值和周期 . (1) y=5cos x; (2) y=-8cos( -x) . 练习 1 本节练习 A组第 1题 . 例 2 不求值 , 比较下列各对余弦 值的大小 : (1) 与 cos 练习 2 本节练习 B组第 1题 . [4π, 6π], … 时 的 图 象 与 x∈[0, 2π] 的形状完全 一 样 , 只是位置不同 . 学生小组讨论 , 得出余弦 函数的周期性 . 教师引导学生观察图象发 现 : 对任意角 α, 角 α 和角 -α 的余弦值是相等的 . 教师提问 : 余弦函数图象 的升降情况是怎样的 学 生 回 答 : 余 弦 函 数 在 [(2k-1) π, 2kπ] (k∈Z) 上 , 图 象 自 左 向 右 是 上 升 的 , 在 [2kπ, (2k+1) π] (k∈Z) 上 , 图 象 自 左 向 右 是下降的 . 教师引导学生结合余弦函 数的图象讲解例 1. 教师结合诱导公式和余弦 函数的图象 , 讲解如何比较 函数值的大小 , 然后再引导 学生一起写出解题步骤 . 以研究正 弦函数的思 路 , 探 讨 余 弦函数的相 应性质 . 利用两个 例 题 , 使 学 生深入理解 余弦函数的 性 质 , 进 一 步掌握数形 结合的思想 方法 .
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小 结 1. “五点法 ”作图 . 2. 余弦函数的图象 . 3. 余弦函数的性质 . 教师带领学生总结本节主 要内容 , 并归纳典型例题及 解题规律 . 利用典型 题 目 , 再 次 强调利用数 形结合解题 的思想 .
作 业 本节练习 A 组第 2~3 题 、练习 B 组第 2题 . 学生课后完成 . 巩固本节 内容 .5.3.1 正弦函数的图象和性质
【教学目标】
1. 理解正弦函数的图象和性质 , 会用 “五点法 ” 画出正弦函数的简图 ; 2. 进一步熟悉利用数形结合研究函数的方法 , 提升逻辑推理的核心素养 .
【教学重点】
正弦函数的图象和性质 .
【教学难点】
用正弦线画正弦曲线 , 正弦函数的周期性 .
【教学方法】
本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法 . 教师引导学生利用单位 圆中的正弦线 , 较精确地画出正弦函数在 [0, 2π] 上的图象 , 然后让学生观 察图象 , 得到作正弦曲线作图的 “五点法 ”. 通过练习 , 使学生熟练运用 “五 点法 ” 作图 , 再从正弦线 、诱导公式 、 函数图象等方面来引导学生归纳正弦函 数的性质 . 通过例题 , 进一步渗透利用数形结合研究函数的方法 .
【教学过程】
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导 入 复习单位圆与正弦线 . 教师要求学生在平面直角 坐标系中作出单位圆 , 并分 组分别作出 , , 的正 弦线 . 学生小组交流 . 复习正弦 线 , 为 引 出 用正弦线作 正弦函数的 图象做准备 .
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新 课 利 用 正 弦 线 来 作 出 正 弦 函 数 y = sin x, x∈ R 的图象 . 1. 正弦函数的图象 第一步 : 平分单位圆 . 在平面直角 坐标系的 x 轴上任取一点O1 , 以 O1 为圆心 作 单 位 圆 , 从 这 个 圆 与 x 轴 的交点 A 起把圆分成 12 等份 . 第二步 : 作出各角的正弦线 . 过圆 上的各 分 点 作 x 轴 的 垂 线 , 可 以 得 到对应于角 0, , , , … , 2π 的正弦线 . 第三步 : 平分坐标轴 . 我们把 x 轴 上从 0 到 2π这一段分成 12 等份 , 标 上横坐标 0, , , , … , 2π. 第四步 : 平移正弦线 . 把角 x 的正 弦线向右平移 , 使正弦线的起点与 x 轴上相 应 的 点 x 重 合 , 则 正 弦 线 的 终点就是正弦函数图象上的点 . 第五步 : 连线 . 用光滑曲线把这些 正弦线的终点连接起来 , 就可得到正 弦函 数 y =sin x, x ∈ [0, 2π] 的 图象 . 第 六 步 : 平 移 . 我 们 把 y=sin x, x∈[0, 2π]的图象沿 x 轴平移 ±2π, ±4π, … , 就 可 得 到 y =sin x, x∈ R 的图象 . 教师提示 : 将圆等分的份 数越多 , 图象越精确 . 因 为 sin(α + k · 2π) = sin α (k∈Z), 所以正弦函 数 y=sin x 在 x ∈ [ - 2π, 0], [2π, 4π], [4π, 6π], …时的 图 象 与 x ∈ [0, 2π] 时的形状完全一样 , 只是位 置不同 . 教师引导 : 观察 y=sin x, x∈ [0, 2π] 的图象 , 最高 点是 哪个 最 低 点 是 哪个 图 象 与 x 轴 有 几 个 交 点 分别是什么 用正弦线 画图的方法 比 较 复 杂 , 所以将它分 为五个小步 骤 , 引 导 学 生明确作图 的方法 . 在教师的 引导下 , 让学 生自己观察出 图象的最高 点、最低点、
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新 课 从图象可以看出 , 这五 个点在确定图象形状时起关键的作用. 例 1 作函数 y=1+sin x, x∈[0, 2π] 的简图 . 解 略 . 练习 1 本节练习 A组第 4题 . 2. 正弦函数的性质 (1) 值域: [ -1, 1] . 当 + 2kπ, k ∈ Z 时 , y = sin x取 得 最 大 值 1, 即 ymax =1; 当 +2kπ, k∈Z 时 , y= sin x 取得最小值 -1, 即 ymin= -1. 学生小组讨论 . 教 师 提 问 : 当 x ∈ [0, 2π] 时 , 哪 几 个 点 对 图 象 的形状起着关键作用 坐标 分别是什么 学生观察 、 回答 . 教师指出 : 在精确度要求 不高的 情 况 下, “五 点 法 ” 是最常用的画正弦函数图象 的方法 . 教师对例 1进行小结 : 函 数 y =1+sin x, x ∈ [0, 2π] 的图象是由 y=sin x, x∈[0, 2π] 的图象向上平 移一个单位长度得到的 . 观察单位圆中的正弦线可 知 , 各角的正弦线的长度都 小于或等于单位圆的半径长 1, 这表 明 正 弦 函 数 的 值 域 是 [ -1, 1] . 教师提问 : 你能通过观察 正弦函数的图象得到这个性 质吗 学生回答 : 因为正弦曲线 分布在两 条 平 行 直 线 y=1 和 y= -1之 间 , 所 以 正 弦 函数的值域是 [ -1, 1] . 与 x 轴 的 交 点 , 便 于 学 生记忆五个 点 的 坐 标 , 同时为下节 课利用图象 研究三角函 数的性质打 基础 . 巩 固 “五 点法 ” 作图 , 并在教师引 导下发现函 数 y =1+ sin x 与 y= sin x 图象间 的关系 , 为例 2求函数的最 大值、最小值 做准备.
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新 课 (2) 周期性 定 义 : 一 般 地 , 对 于 函 数 y = f(x), 如果存在一个不为 0的常数 T, 使得当 x 取定义域内的 每 一 个 值 时 , 有 f(x+T)=f(x)都成立 , 则把函数 f=f(x) 称为周期函数 , 这个不为 0 的常数 T, 称为这个函数的周期. 对于一个周期函数来说 , 如果在所 有周期中 , 存 在 着 一 个 最 小 的 正 数 , 那么这个最小的正数称为最小正周期. 结论 : 正 弦 函 数 是 一 个 周 期 函 数 , 2kπ (k∈ Z, 且 k≠0) 都 是 它 的 周 期 , 2π是其最小正周期 . (3) 奇偶性 由公 式 sin( - x) = - sin x 可 知 , 正弦函数是奇函数 , 图象关于坐标原 点对称 . (4) 单调性 正 弦 函 数 在 闭 区 间 + 2kπ, +2kπ] 上 是 增 函 数 ; 在 闭区间 +2kπ, +2kπ 上是减函数 . 教师引导学生从两方面理 解正弦函数的周期性 . 由公式 sin(x+k · 2π) = sin x(k∈Z) 可知 : 当自变 量 x 的 值 每 增 加 或 减 少 2π 的整数倍时 , 正弦函数的值 重复出现 . 由正弦曲线可知 , 当自变 量 x 的 值 每 增 加 或 减 少 2π 的整数倍时 , 正弦函数的图 象重复出现 . 教师提问 : 如何判断正弦 函数的奇偶性 教师提示 : 偶函数 对函 数 y=f(x) 定义域内的任意 一个 值 x, 都 有 f( - x) = f(x). 奇函数 对函数 y=f(x) 定义 域 内 的 任 意 一 个 值 x, 都有 f(-x) =-f(x). 教师引导学生观察单位圆 中正弦线的变化 , 体会正弦 函数的单调性 . 教师提问 : 从正弦曲线上 观 察 , 正 弦 函 数 的 单 调 性 如何 培养学生 “看 图 说 话 ” 的 能 力 , 即 图 形 语 言 、 文 字 语 言 与 符 号 语 言 的 转 换 能 力 , 从 而 提 升 逻 辑 推 理 的 核 心素养 . 根据函数 奇偶性的判 断 方 法 , 引 导学生发现 正弦函数是 奇函数 .
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新 课 例 2 求使函数 y=2+sin x 取最 大值 、最 小 值 的 x 的 集 合 , 并 求 这 个函数的最大值 、最小值和周期 . 练习 2 本节练习 A组第 1~2题 . 例 3 不求值 , 比较下列各对正弦 值的大小 : 2π 3π (2) sin 3 与 sin 4 . 学 生 回 答 : 正 弦 函 数 在 (k ∈Z) 上 , 图 象 自 左 向 右 是 上升的 +2kπ, 2kπ] (k∈ Z) 上 , 图 象 自 左向右是下降的 . 教师引导学生结合正弦函 数的图象讲解例 2 和例 3. 利用两个 例 题 , 使 学 生更好地理 解函数性质 的 应 用 , 进 一步掌握数 形结合的思 想方法 .
小 结 1. 正弦函数的图象和性质 . 2. “五点法 ”作图 . 教师带领学生总结本节主 要内容 , 并归纳典型例题及 解题规律 . 将所学知 识条理化 , 便 于学生理 解、 记忆 .
作 业 本 节 练 习 A 组 第 3 题 、第 5 题 , 练习 B组题目 . 学生课后完成 . 巩固所学 知识 .

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