资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“分式”.
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,“数与式”是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,现阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.“数与式”的教学:教师应该把握“数与式”的整体性,一方面,通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表述,进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义,会进行实数的运算;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.
2.本单元教学内容分析
　　人教版教材八年级上册第十五章“分式”,本章包括三个小节:15.1分式;15.2分式的运算;15.3分式方程.
“数与式”主题通过从计算物体个数的活动中抽象出整数的概念,从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念,这是一种从实物到数的抽象;为更好地反映这个一般规律,在研究整数和分数的过程中,又抽象出整式和分式的概念,这是一种从数到式的抽象.分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系,即相对于分式而言,分数是具体的、特殊的对象,分式是把具体的分数一般化后的抽象形式.本单元强调的是“从具体到抽象,从特殊到一般”的认识事物的一般规律,处处突出类比在本单元学习中的重要作用,在概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等方面,分数与分式均相对应,两者具有一致性,也可以说是数式通性.本单元自始至终重视分式与实际的联系,选择一些适合分式内容又接近学生生活的实际问题展开编写.一方面要体现与研究分数类似,研究分式同样也是实际需要;另一方面以分式为工具,分析、解决实际问题,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,让学生认识到代数式(包含分式)、分式方程是解决现实问题的数学模型,体会数学中的建模思想,进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识,这将有助于培养学生的创新精神.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十五章分式,它是“数与代数”中重要的一部分,学生在前面已经学习了整数与整式、一元一次方程、二元一次方程组等知识,初步积累了一定的用字母表示数以及四则混合运算的数学学习经验,特别是对一元一次方程的解法及基本思路已经比较熟悉,因此本单元运用类比的数学思想来展开分式教学,大大降低了学生学习的难度,同时这种“从具体到抽象、由特殊到一般”的认识事物的基本方法,会潜移默化地引导学生养成良好的学习习惯.建立分式方程的模型来解决实际问题是本单元的一个重要任务,能否以分式方程为工具,分析和解决问题是对学生应用意识和模型观念的一个重要考量,也是教学的关键.虽然分式整章的学习接近学生的最近发展区,但利用分式方程解决问题的特殊性,对学生来说仍是一个难点,分式方程化整式方程的基本思路是基础,对解出的未知数进行检验确认是必不可少的步骤,所以在此体会解分式方程的基本思路是非常自然、合理的,这对学生认识水平的提高,知识体系的构建是不可缺少的.
四、单元学习目标
1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.
2.能通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,并利用分式的基本性质进行约分和通分,提高学生的知识类比和迁移能力,发展学生的推理能力.
3.通过类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加、减、乘、除运算,逐步提高学生的运算能力.
4.结合分式的运算,将指数的范围从正整数扩大到全体整数,了解整数指数幂的运算性质;能用科学记数法表示小于1的正数,发展学生的抽象能力、运算能力和模型观念.
5.掌握可化分式方程为一元一次方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想,发展学生的运算能力和推理能力.
6.经历利用分式方程解决实际问题的过程,进一步体会方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要模型,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
15.1.1　从分数到分式
课时目标
1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.
2.借助从特殊到一般的的研究思路,类比分数,讨论要使分式有意义时分母应满足的条件,发展学生的推理能力.
3.通过经历类比分数学习分式的过程,培养学生与人合作的意识,进一步体会类比转化、合情推理、抽象概括等学习方式,发展学生的抽象能力和推理意识.
学习重点
理解分式的概念,分式有意义的条件.
学习难点
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
课时活动设计
回顾引入
根据问题,填空:
(1)长方形的面积为10 cm2,长为7 cm,宽为 　cm;长方形的面积为S,长为a,宽为 　.
(2)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中,水面高度为 　 cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为 　.
设计意图:以学生学过的分数引入分式,有利于体现知识的必然联系和循序渐进的原则;通过类比让学生解决实际问题,为新知的构建奠定基础.
探究新知
探究1　分式的概念
问题1:请同学们看一下这四个式子,它们有什么相同点和不同点
,,,.
学生先思考,再小组交流,教师请两个学生分别说出相同点和不同点.
解:相同点:这些式子有同样的形式,都是(即A÷B)的形式.
不同点:,分子和分母为整数,,分子和分母为代数式.
追问:,和,有什么相同点和不同点
学生小组交流、讨论得出结论.
解:相同点为这些式子有同样的形式,都是(即A÷B)的形式,且分母都含有字母.
不同点为,分子不含字母,,分子含有字母.
教师说明这四个式子均为分式,并引导学生类比分数得到分式的概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.分式中,A叫做分子,B叫做分母.
问题2:下列各式中,哪些是整式 哪些是分式
5x-7,3x2-1,,,-5,,,,,,.
解:整式:5x-7,3x2-1,-5;
分式:,,,,,,,.
设计意图:通过分析问题加深学生对分式的概念的理解,从而揭示分式的概念的本质.让学生在众多的代数式中区分出整式与分式,意在加深学生对分式的概念的本质的理解,进一步巩固分式的概念.
探究新知
探究2　分式有意义和值为0的条件
问题1:我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能为0,那么要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件
学生先思考,再小组交流,类比分数有意义的条件得到分式有意义的条件.
结论:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式才有意义.
问题2:计算:,,.
解:0　0　0
追问:通过上述计算,你发现了什么
解:当分子为0,分母不为0时,分数的值为0.
问题3:计算:,(x≠-1),(a≠0).
解:0　0　0
追问:通过上述计算,你发现了什么
解:当分子为0,分母不为0时,分式的值为0.
结论:分子为0,分母不为0,分式值为0.
设计意图:掌握使分式有意义和值为0的条件,有利于学生更好地了解分式的概念.
典例精讲
例　下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义
(1);　(2);　(3);　(4).
解:(1)x≠0.　(2)x≠1.　(3)b≠.　(4)x≠y.
设计意图:让学生通过类比分数有意义的条件是分母不能为0,得到分式有意义的条件,自己发现问题、解决问题并找到关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能让学生有效地认识新知,消化新知.
巩固训练
1.当x为何值时,下列分式的值为0
(1);(2).
解:(1)x=0.　(2)x=-4.
2.当x为何值时下列分式无意义
(1);(2).
解:(1)x=-5.　(2)x=-3或1.
设计意图:通过巩固训练,加深学生对分式有意义的条件的理解,并能正确地求出分式有意义的条件;同时让学生明白分式的值为0、有意义、无意义时必须同时满足的条件,区别“或”与“且”的用法.另外,设计“分式有意义”的变式题,意在让学生在题目具有挑战性的情况下,通过小组研究、讨论得出答案,培养学生小组合作、探究的意识以及应用所学知识解决问题的能力,在获得正确结果的情况下,增强学生学习数学知识的信心.
课堂小结
1.分式的概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.分式中,A叫做分子,B叫做分母.
2.分母不为0,分式有意义;分母为0,分式无意义.
3.分子为0,分母不为0,分式值为0.
4.谈谈今天的收获
设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.
相关练习.
1.教材第128,129页练习第1,2,3题.
2.相关练习.
15.1.1　从分数到分式
　　　 一、分式的定义.
二、分式有意义的条件:
三、例题讲解.
四、课堂评价.
教学反思

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