资源简介

14.2.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
课时目标
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.
2.能运用公式进行简单的运算,进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识,渗透整体、数形结合、类比的数学思想.
3.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动中的探索性和创造性.
学习重点
完全平方公式的推导和运用.
学习难点
理解完全平方公式的结构特征,灵活运用公式.
课时活动设计
情境引入
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
设计意图:通过任务助推教学方式,让学生带着问题去学习,帮助学生沟通新旧知识之间的联系,促进知识的迁移.
探究新知
问题1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1;
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-4m+4.
师生活动:教师组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项,猜测它们的共同特点.
分成小组,学生交流并且讨论后回答:
解:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
教师引导学生用文字概括这个规律:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
问题2:如果将该正方形田地的边长增加或者缩减b米生成新正方形,则新正方形的边长是多少 怎么表示新正方形各部分的面积 怎么表示新正方形的面积
师生活动:学生小组讨论,选择三个小组代表分别回答三个问题.
1.新正方形的边长=a+b.
2.大正方形的面积=a2;长方形的面积=ab;小正方形的面积=b2.
3.①面积法求得新正方形的面积=(a+b)2;②通过新正方形各部分的面积相加求得新正方形的面积=a2+2ab+b2.
教师和学生共同讨论第三个问题,得到:(a+b)2=a2+2ab+b2.
教师总结完全平方公式:
文字叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
符号叙述:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
设计意图:教师引导学生思考如何用图形面积来探究完全平方公式.通过设问,降低难度,引导学生通过表示各部分的面积和整体的面积验证完全平方公式,体会完全平方公式的几何背景.
典例精讲
例1　运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2;(2).
解:(1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)原式=y2-2·y·+=y2-y+.
例2　运用完全平方公式计算:
(1)1022;(2)992.
解:(1)原式=(100+2)2=10 000+400+4=10 404.
(2)原式=(100-1)2=10 000-200+1=9 801.
例3　已知x-y=6,xy=-8.求:
(1)x2+y2的值;(2)(x+y)2的值.
解:(1)x2+y2=(x-y)2+2xy=62+2×(-8)=20.
(2)(x+y)2=(x-y)2+4xy=62+4×(-8)=4.
设计意图:数学运算是数学知识最直接的应用,也是体现公式优越性的实例,对计算题的讲解有利于学生掌握本节课所学知识,通过设置不同类型的题目,加深学生对知识的理解,拓展学生的思维.
巩固训练
1.运用完全平方公式计算:
(1)(6a+5b)2=　36a2+60ab+25b2　;(2)(4x-3y)2=　16x2-24xy+9y2　;
(3)(2m-1)2=　4m2-4m+1　;(4)(-2m-1)2=　4m2+4m+1　.
2.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解:∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②,得4xy=48.∴xy=12.
设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.
课堂小结
这节课你有什么收获
1.(a+b)2=　a2+2ab+b2　;(a-b)2=　a2-2ab+b2　.
2.a2+b2=(a+b)2　-2ab　=(a-b)2　+2ab　.
3.(a+b)2-(a-b)2=　4ab　.
设计意图:总结出本节课的主要知识点,加深学生对完全平方公式的理解和掌握.
相关练习.
1.教材第112页习题14.2第2题.
2.相关练习.
教学反思

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