资源简介

14.3.2　公式法
第1课时　运用平方差公式因式分解
课时目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.
3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.
学习重点
掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.
学习难点
灵活应用平方差公式因式分解.
课时活动设计
回顾引入
之前学方差公式,今天先回顾一下.
计算:(1)(x+2)(x-2);
(2)(x-1)(x+1).
选两名学生黑板上板书计算过程:
解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.
(2)(x-1)(x+1)=x2-1.
设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.
探究新知
问题:多项式a2-b2有什么特点 你能将它分解因式吗
学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.
追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗
师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗
师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.
左:涂色区域的面积=a2-b2;
右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).
根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).
设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.
典例精讲
例1　分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.
解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].
例2　分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.
解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).
例3　已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.
解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,
∵x+y=1,①
∴x-y=-2.②
联立①②,组成二元一次方程组
解得
例4　计算下列各题:
(1)1012-992;　　　　　　　　　　　(2)53.52×4-46.52×4.
解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400.
(2)原式=4×(53.52-46.52)
=4×(53.5+46.5)(53.5-46.5)
=4×100×7=2 800.
例5　求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明:原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,
∵n为整数,∴8n能被8整除.
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.
巩固训练
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　D　)
A.a2+(-b)2　　　　B.5m2-20mn　　　　C.-x2-y2　　　　D.-x2+9
2.把下列各式分解因式:
(1)16a2-9b2=　(4a+3b)(4a-3b)　;
(2)(a+b)2-(a-b)2=　4ab　;
(3)2x2-8=　2(x+2)(x-2)　;
(4)-a4+16=　(4+a2)(2+a)(2-a)　.
3.如图,在边长为6.8 cm正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm的小正方形,求剩余部分的面积.
解:根据题意,得6.82-4×1.62
=6.82-(2×1.6)2
=6.82-3.22
=(6.8+3.2)(6.8-3.2)
=10×3.6=36(cm2).
答:剩余部分的面积为36 cm2.
设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.
课堂小结
1.因式分解有哪些方法
2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么
3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么
4.本节用到什么研究问题的方法
5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法
设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.
相关练习.
1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.
2.相关练习.
教学反思

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