资源简介

第2课时　含30°角的直角三角形的性质
课时目标
1.掌握含30°角的直角三角形的性质,培养学生抽象概括能力.
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行简单计算和证明,培养运算能力和应用意识.
3.经历探索含30°角的直角三角形的性质的过程,“探索——发现——猜想——证明”,让学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
学习重点
含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明.
学习难点
含30°角的直角三角形性质定理的探索与应用.
课时活动设计
回顾旧知
等边三角形的性质和判定
设计意图:本节知识是在等边三角形的基础上结合“三线合一”探究的,复习旧知体现知识的延续性,为本节课的探究做准备,培养学生研究问题的方法和几何直观性.
探究新知
1.将两个含有30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗
学生自主探究
分析:学生在得出结论的过程中可能会用到测量、观察、推理等多种方式,让学生经历观察、猜想、验证的过程,体会知识的形成原理,培养学生勇于探究的精神.
结论:将两个含30°角的三角尺拼在一起,得到一个等边三角形,再利用这个图形的轴对称性,得出BC=AB.
2.你能证明你的发现吗 有哪些方法
学生经过探究共有三种方法证明:
证法一:∵∠BAC=∠CAD=30°,∴∠BAD=60°.
又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=60°.
∴△BAD是等边三角形,线段AB=AD=BD.
又∵线段BC=CD,∴线段AB=AD=BD=2BC=2CD.
可以得出BC=AB.
证法二:延长BC到D,使BD=AB,连接AD.
在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.
∴△ABD是等边三角形.
又∵AC⊥BD,∴BC=BD.
∴BC=AB.
点拨:倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍,即1倍、2倍等.
证法三:在BA上截取BE=BC,连接EC.
∵∠B=60°,BE=BC,
∴△BCE是等边三角形.∴∠BEC=60°,BE=EC.
∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.
∴AE=EC.∴AE=BE=BC.
∴AB=AE+BE=2BC.
∴BC=AB.
点拨:在证明中,在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段的方法就是截半法.
设计意图:通过开放性问题的设置给学生提供足够的思考空间,拓宽学生的思路,体会多种方法证明的过程,开阔学生视野,培养学生发散性思维,提升学生的能力.
归纳总结
含30°角的直角三角形的性质:
文字语言:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言:
如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∴BC=AB .
设计意图:通过证明验证结论,归纳概括为定理,培养学生抽象能力.本环节通过文字语言、符号语言、图形语言三种形式表述定理,培养学生三种语言的相互转化能力和用数学语言表达问题的能力.
典例精讲
例1　如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.立柱BC,DE要多长
分析:找到两个基本条件(直角三角形,30°角)是根本.
解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,
∴BC=AB,DE=AD.
∴BC=×7.4=3.7(m).
又∵点D是AB的中点,
∴AD=AB=×7.4=3.7(m).
∴DE=AD=×3.7=1.85(m).
故立柱BC长3.7 m,DE长1.85 m.
例2　已知等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.求腰上的高.
分析:通过三角形的外角和定理找到30°角.
解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=15°.
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°.
∵CD是腰AB上的高,∴△ACD是直角三角形.
∴在Rt△ACD中,AC=2a,∠DAC=30°,∴CD=AC=a.
设计意图:使学生熟练掌握等腰三角形的性质,在解题过程中根据文字语言写图形语言和符号语言,培养几何转化能力.
巩固训练
1.在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于点A,BD=6 cm,则AD=　3 cm　.
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,若PC=3,则PD等于(　C　)
A.3　　　　　　　B.2　　　　　　　C.1.5　　　　　　　D.1
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AC.则AB AE=　4 1　.
4.(双垂直结构)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=4.则BC=　2　,BD=　1　.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度 边AB与BC之间有什么关系
解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,
∴∠B=60°,∠A=30°.
∴BC=AB.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E,BF=5 cm,求CF的长.
解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵EF为AB的垂直平分线
∴∠B=∠BAF=30°.
∴BF=AF=5,∠AFC=60°.
∴∠FAC=90°.
∴AF=CF.
∴CF=2AF=2BF=2×5=10(cm).
设计意图:通过巩固训练,培养学生知识体系的形成,提升学生学数学、用数学的能力,增强其应用意识和创新意识.
课堂小结
1.谈谈今天的收获.
2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
(1)本节课学习了哪些主要内容
(2)我们是怎么探究含30°的直角三角形的性质的
(3)含30°的直角三角形的性质的作用
(4)本节课你学到了哪些方法
设计意图:通过小结,引导学生从知识内容和学习过程及研究方法多方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.
相关练习.
1.教材第83页习题13.3第14,15题.
2.相关练习.
教学反思

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