资源简介

课时目标
1.能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题,培养学生从实际问题抽象出熟悉模型的能力,增强应用意识.
2.体会图形的变换在解决最值问题中的作用,培养学生几何直观和模型观念.
3.通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.
学习重点
1.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
2.利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
学习难点
最短路径问题的解决思路及证明方法.
课时活动设计
情境引入
1.如图,连接A,B两点的所有线中,哪条最短 为什么
解:②最短,因为两点之间,线段最短.
2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短 为什么
解:PC最短,因为垂线段最短.
3.以前还学习过哪些有关线段大小的结论
解:三角形三边关系:两边之和大于第三边;斜边大于直角边.
4.如图,如何做点A关于直线l的对称点
解:过点A作直线l的垂线,交直线l于点O,延长AO到点A',使AO=A'O.
设计意图:通过四个问题的设计回顾,为解决最短路径问题提供理论依据,培养学生运用定理的意识和在实际问题中发现数学问题的能力,培养学生的几何直观和空间观念.
新知探究
利用轴对称解决最短路径问题
探究1　“饮马问题”.
问题:如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河流l边饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短
分析:即把A,B两地抽象为两点,将河流l抽象成为一条直线,在直线l上找一点C,使AC+BC最短.
学生讨论并回答,师生共同总结得出,可以转化为两点在直线异侧的问题.
追问1:能否通过图形变换(轴对称和平移)将点B“移”到l的另一侧B'处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB'的长度相等
作法:(1)作点B关于直线l的对称点B';
(2)连接AB',与直线l相交于点C.则点C即为所求.
追问2:如何证明这条路径最短
证明:如图,在直线l上任取一点C'(与点C不重合),连接AC',BC',B'C'.
由轴对称的性质知,BC=B'C,BC'=B'C'.
∴AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC'+B'C'.
在△AB'C'中,AB'∴AC+BC即AC+BC最短.
探究2　“造桥选址问题”.
问题:如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥建在何处可使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)
分析:把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点,MN垂直于直线b,交直线a于点M,把问题转化为:当点N在直线b的什么位置时,AM+MN+NB最小.
学生讨论并回答,师生共同归纳.
追问1:能否通过将AM沿着与河岸垂直的方向平移,点M移动到点N,点A移动到点A',使A'N+NB最小
作法:(1)将AM沿着与河岸垂直的方向平移,点M移动到点N,点A移动到点A';
(2)连接A'B,点N即为所求.
追问2:如何证明点N即为所求 小组合作交流,教师找学生展示答案.
分析:如图,在直线b上任意取一点N',过点N'作N'M'垂直于a,垂足为M',连接AM',A'N',N'B.
同“饮马问题”可证,AM+MN+AM'解:如图,在路径A→M→N→B的左侧和右侧各任意作一条路径,即A→M1→N1→B和A→M2→N2→B,AM+MN+NB=BC+AC,
则AM1+M1N1+N1B=N1C+N1B+AC>BC+AC,
AM2+M2N2+N2B=N2C+N2B+AC>BC+AC.
所以A→M→N→B是最短路径.
设计意图:通过问题层层递进,培养学生分析问题和解决问题的能力;培养学生用数学眼光看世界的能力,和用文字语言、图形语言、符号语言三种语言表达问题的能力以及三种语言的相互转化能力,培养学生严密的数学思维和严谨的科学态度.
典例精讲
例1　(1)如图1,在AB直线一侧C,D两点,在AB上找一点P,使C,D,P三点组成的三角形的周长最短.说明理由.
(2)如图2,在∠AOB内部有一点P,是否在OA,OB上分别存在点E,F,使得E,F,P三点组成的三角形的周长最短,找出E,F两点.
(3)如图3,在∠AOB内部有两点M,N,是否在OA,OB上分别存在点E,F,使得E,F,M,N,四点组成的四边形的周长最短,找出E,F两点.
解:(1)如图1,作C关于直线AB的对称点C',连接C'D交AB于点P.则点P就是所求作的点.理由如下:
因为C和C'关于直线对称,所以PC=PC'.
因为CD长度不变,所以DP+CP最短时,C,D,P三点组成的三角形的周长最短.
因为两点之间线段最短,所以点P就是所求作的点.
(2)如图2,作P关于OA的对称点P',关于OB的对称点P″,连接P'P″,交OA于点E,OB于点F,则点E,F就是所求作的点.
(3)如图3,作M关于OA的对称点M',作N关于OB的对称点M″,连接M'M″,交OA于点E,OB于点F,则点E,F就是所求作的点.
例2　如图,荆州古城河在CC'处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥DD',EE'(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD',E'EB的路程最短
解:如图,将A点向F平移得到点F,B点向右平移得到点G.
连接GF,与河岸相交于点E',D'.
作DD',EE'即为桥.
理由:由作图法可知,AF∥DD',AF=DD',
则四边形AFD'D为平行四边形,
于是AD=FD',同理,BE=GE',
由两点之间线段最短可知,GF最小.
设计意图:通过题目巩固所学知识,总结解决最短路径问题的方法:在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题,从而做出最短路径的选择.增强学生应用意识和创新能力.
巩固训练
1.如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是(　D　)
2.有两棵树位置如图,树的底部分别为A,B,地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行.小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树顶C处.问小鸟飞至AB之间何处时,飞行距离最短,在图中画出该点的位置.
解:如图所示.
3.如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
解:如图所示.
设计意图:通过练习,巩固所学知识,提高学生分析问题和解决问题的能力.
课堂小结
1.谈谈今天的收获.
2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
(1)本节课学习了哪些主要内容
(2)怎样解决最短路径问题
(3)本节课你学到了哪些研究问题的方法
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的核心内容,引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.
相关练习.
1.教材第93页复习题13第15题.
2.相关练习.
教学反思

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